Corda

Una corda di una circonferenza è un segmento che congiunge due punti qualsiasi della circonferenza. Tra tutte le corde che possono essere tracciate in un cerchio la corda di lunghezza massima è data dal diametro.

 

In questo articolo di Geometria vedremo cosa si intende per corda, tutte le sue proprietà e tutti i teoremi (con dimostrazione) che coinvolgono le corde di una circonferenza.

 

Corda di una circonferenza

 

Disegnamo una circonferenza, prendiamo su di essa due punti A e B e congiungiamoli. Si verrà a formare così un segmento AB che sarà proprio una corda della circonferenza:

 

 

Corda di una circonferenza

 

 

In altri termini, una corda di un cerchio è un segmento che unisce due punti qualsiasi della sua circonferenza.

 

Proprietà della corda

 

1) Una circonferenza ha infinite corde e tra esse, quelli passanti per il centro si dicono diametri.

 

 

2) Una corda divide la circonferenza in due parti, dette archi di circonferenza.

 

 

3) Una retta passante per il centro di una circonferenza e perpendicolare ad una corda la dimezza.

 

Vediamo la semplicissima dimostrazione della proprietà del punto 3). Disegniamo una circonferenza di centro O, una sua corda AB (in arancione) ed una retta (in rosso) passante per il centro e perpendicolare alla corda stessa

 

 

retta per il centro e perpendicolare ad una corda

 

 

Tale retta incontrerà la corda nel punto H. Dobbiamo provare che AH=HB.

 

A tal proposito basta unire i punti A e B col centro O. Otteremo così un triangolo isoscele AOB di base AB (tale triangolo è isoscele in quanto i suoi lati AO ed OB essendo entrambi raggi sono uguali). Il segmento OH sarà quindi l'altezza del nostro triangolo. Ricordando quindi che in un triangolo isoscele altezza e mediana coincidono, si ha la tesi.

 

 

4) L'asse di una corda passa per il centro della circonferenza.

 

Non è difficile convincersi di ciò. Basta infatti ricordare che, per definizione, l'asse di un segmento (e quindi della corda AB) è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi A e B. Pertanto, essendo OA=OB (in quanto entrambi raggi) il centro ha la stessa distanza sia da A che da B e quindi, necessariamente, apparterrà all'asse.

 

 

5) Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro e, viceversa, due corde che hanno la stessa distanza dal centro sono uguali.

 

Dimostriamo la proprietà 5). Iniziamo col disegnare due corde AB e CD aventi stessa lunghezza e siano OH ed OK le loro distanze dal centro

 

 

corde-uguali-stessa-distanza-dal-centro

 

Dobbiamo dimostrare che OH=OK.

 

Congiungiamo O con A e con C. Si vengono così a formare due triangoli rettangoli OHA e OKC che sono congruenti per il terzo criterio di congruenza, in quanto hanno:

 

AO = OC (sono entrambi raggi);

 

AH=KC (in quanto le due corde sono uguali per ipotesi e OH ed OK, passando per il centro, le dimezzano per la proprietà 3) vista prima)

 

Dalla congruenza dei due triangoli segue che OH=OK.

 

Viceversa, supponendo che OH=OK, sempre considerando i due triangoli rettangoli OHA e OKC, essi continuano ad essere congruenti e quindi AH=KC. Di conseguenza anche i loro doppi, ovvero le corde AB e CD, saranno uguali.

 

 

6) In una circonferenza due corde diseguali hanno diversa distanza dal centro e, precisamente, quella maggiore ha distanza minore dal centro. Viceversa, due corde aventi dal centro distanze diseguali sono diverse e la maggiore è quella che ha distanza minore dal centro.

 

 

7) Teorema delle corde: se due corde si intersecano in un punto, i segmenti dell'una formano i medi ed i segmenti dell'altra formano gli estremi di una proporzione.

 

Per capire fino in fondo questo importantissimo teorema e vederne poi la dimostrazione, facciamo un disegnino. Tracciamo quindi due corde AB e CD che si incontrano in un punto P. Per il teorema delle corde sussiste la proporzione

 

BP:CP=DP:AP

 

 

Teorema delle corde

 

 

La dimostrazione è a dir poco immediata. Basta infatti considerare i triangoli PBD e PAC che risultano simili per il primo criterio di similitudine, infatti:

 

- gli angoli A\hat{P}C e D\hat{P}B sono uguali in quanto angoli opposti al vertice;

 

- l'angolo D\hat{B}A è uguale all'angolo D\hat{C}A in quanto entrambi insistono sullo stesso arco AD;

 

Ne risulta quindi che i lati omologhi stanno in proporzione, ovvero BP:CP=DP:AP che è quanto volevamo provare.

 

 

8) Segnalamo infine un ultimo teorema che, anche se è un risultato che si utilizza in Trigonometria ha pur sempre a che fare con la corda ed è conosciuto col nome di teorema della corda. Click per vita, morte e miracoli. ;)

 

 


 

Per questa lezione è davvero tutto! Nella lezione successiva ci occuperemo del concetto di diametro.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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