Ortocentro, incentro, baricentro, circocentro, excentro di un triangolo

In questa lezione vedremo definizioni e proprietà dei punti notevoli di un triangolo (ortocentro, baricentro, incentro, circocentro ed excentro) ovvero dei punti in cui si incontrano i suoi segmenti notevoli.

 

Prima di procedere è quindi indispensabile avere ben presente cosa sono altezza, mediana, bisettrice, asse di un triangolo.

 

Ortocentro di un triangolo

 

Si dice ortocentro il punto di incontro delle tre altezze di un triangolo. Disegniamo un triangolo qualsiasi ABC e le sue tre altezze ovvero le tre perpendicolari che partono da un vertice ed arrivano sul lato opposto (in arancione) .

 

 

Ortocentro di un triangolo

 

 

Come si può osservare esse si incontrano in uno stesso punto O che si dirà l'ortocentro del triangolo.

 

Proprietà dell'ortocentro

 

A seconda della posizione dell'ortocentro possiamo classificare i triangoli in base agli angoli (vedi angolo retto, acuto, ottuso) ovvero:

 

1) se l'ortocentro è un punto esterno al triangolo allora esso sarà ottusangolo e, viceversa, in un triangolo ottusangolo l'ortocentro è un punto esterno;

 

2) un triangolo è acutangolo se e solo se l'ortocentro è un punto interno;

 

3) in un triangolo rettangolo l'ortocentro coincide col vertice dell'angolo retto. 

 

Incentro di un triangolo

 

L'incentro è il punto in cui si incontrano le tre bisettrici del triangolo. Prendiamo un triangolo qualsiasi e tracciamo le bisettrici degli angoli interni, ovvero i tre segmenti che congiungono i vertici di ogni angolo col lato opposto ad essi, e che dividono gli angoli in due parti uguali (in arancione):

 

 

Incentro di un triangolo

 

 

Esse, come potete vedere, si incontreranno in un punto I che si dirà l'incentro del triangolo.

 

Proprietà dell'incentro

 

1) L'incentro è sempre interno al triangolo.

 

2) Come potete osservare dalla figura e come suggerisce la parola stessa, l'incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo, ovvero del cerchio che ha i tre lati del triangolo come sue tangenti. 

 

3) L'incentro divide ogni bisettrice in due parti che soddisfano una determinata proporzione: la parte contenente il vertice sta all'altra come uno dei due lati adiacenti al vertice sta alla parte del lato opposto al vertice e individuata dalla bisettrice. In formule è tutto molto più semplice.

 

- Se consideriamo la bisettrice CT:

 

CI:IT=AC:AT=BC:BT 

 

- Se consideriamo la bisettrice AS:

 

AI:IS=AB:BS=AC:CS 

 

- Presa in esame la bisettrice BR:

 

BI:IR=AB:AR=BC:CR

 

4) Nel piano cartesiano, dette A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) le coordinate dei tre vertici del triangolo e indicate con a, b, c rispettivamente le misure dei lati BC, AC ed AB, le coordinate dell'incentro sono date da:

 

I \left(\frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \ \frac{ay_A + by_B + yx_C}{a+b+c} \right)

 

Baricentro di un triangolo

 

Si definisce baricentro di un triangolo il punto di incontro tra le sue mediane. Preso cioè un triangolo qualsiasi ABC e tracciate le sue mediane, ovvero i segmenti che uniscono ogni vertice col punto medio del lato opposto, esse si incontreranno in uno stesso punto G che si dirà baricentro del triangolo.

 

 

Baricentro di un triangolo

 

Proprietà del baricentro

 

1) Il baricentro, detto anche punto di equilibrio, è un punto sempre interno al triangolo;

 

2) esso divide ciascuna mediana in due parti di cui quella che contiene il vertice è doppia dell'altra. In formule:

 

CG=2 \cdot MG, \ BG=2 \cdot GL, \ AG=2 \cdot GN

 

3) Nel piano cartesiano, indicate con A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) le coordinate dei tre vertici del triangolo, le coordinate del baricentro sono date da:

 

G \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \ \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)

 

Per approfondire dai un'occhiata a baricentro e centro di massa di tre punti.

 

Circocentro di un triangolo

 

Per definizione, il circocentro è il punto di incontro degli assi. Preso un triangolo qualsiasi tracciamo gli assi dei suoi lati, ovvero le perpendicolari ai lati passanti per il loro punto medio, come mostrato in figura:

 

 

Circocentro di un triangolo

 

 

Tali assi si incontreranno in uno stesso punto O che si dirà circocentro del triangolo.

 

Proprietà del circocentro

 

1) Come si vede dall'immagine e come suggerisce il nome stesso, il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, ovvero della circonferenza che ha, come suoi punti i tre vertici del triangolo e come raggio la distanza tra il circocentro ed uno dei vertici.

 

2) In un triangolo acutangolo il circocentro è un punto interno, nel triangolo rettangolo coincide col punto medio dell'ipotenusa e nel triangolo ottusangolo è un punto esterno.

 

Excentro di un triangolo

 

Si dice excentro di un triangolo il punto di intersezione delle bisettrici di due angoli esterni di un triangolo e della bisettrice dell'angolo interno ad essi non adiacente.

 

Per disegnare l'excentro di un triangolo ABC basta prolungare due sue lati (ad esempio AC dalla parte di C ed AB dalla parte di B), e tracciare le bisettrici dei due angoli esterni che si vengono così a formare e della bisettrice dell'angolo interno BAC ad essi non adiacente. Tali bisettrici (i 3 segmenti arancioni) si incontranno nel punto O che è uno dei tre excentri del triangolo:

 

 

Excentro di un triangolo

 

Proprietà dell'excentro

 

1) Un triangolo ha 3 excentri. Per ottenerli basta ripetere lo stesso procedimento con le altre coppie di lati, ovvero prolungare:

 

- AB dalla parte di A e BC dalla parte di C;

 

- AC dalla parte di A e BC dalla parte di B.

 

2) Ogni excentro è il centro della circonferenza che ha come tangenti i prolungamenti dei due lati che si stanno considerando ed un lato del triangolo.

 

 


 

Vi salutiamo con un'ultima proprietà: in un triangolo equilatero ortocentro, incentro, baricentro e circocentro coincidono. ;)

 

Con questo è davvero tutto. Vi ricordiamo che, utilizzando la barra di ricerca interna, potrete trovare esercizi svolti e problemi risolti sui punti notevoli di un triangolo. Qui su YM abbiamo risolto e spiegato migliaia e migliaia di esercizi!

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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