Diagonale

Una diagonale di un poligono in Geometria è un segmento che congiunge due vertici non consecutivi, a differenza del lato che invece congiunge due vertici consecutivi. In tre dimensioni il concetto di diagonale viene esteso allo stesso modo al caso dei poliedri.

 

In questa lezione vedremo cos'è, in quali formule entrano in gioco la diagonali e soprattutto sveleremo tutte le proprietà delle diagonali dei poligoni.

 

Definizione di diagonale

 

Si dice diagonale il segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono, ovvero quel segmento che unisce due vertici che non apparengono allo stesso lato. Nella figura seguente abbiamo disegnato tre poligoni e tracciato in arancione tutte le loro diagonali:

 

 

Diagonali di un poligono

 

Quante diagonali ha un poligono?

 

Dato un qualsiasi poligono concavo o convesso di n lati ( o n vertici), il numero delle diagonali è dato da:

 

\mbox{Numero diagonali}=\frac{n(n-3)}{2}

 

(click sull'ultimo link per la dimostrazione).

 

Ad esempio, nel caso di un triangolo (n=3) applicando la formula precedente otterremo zero. Come ci aspettavamo un triangolo non ha diagonali, giacchè i suoi vertici sono a due a due consecutivi.

 

Tutti i quadrilateri (n=4) hanno invece 2 diagonali, i poligoni di 5 lati ne hanno 5, quelli di 6 lati ne hanno 9, e così via. Insomma, per determinare il numero delle diagonali di un poligono non serve disegnarle, ma basta applicare la formula precedente sostituendo al posto di n il numero dei lati (o dei vertici) del poligono.

 

Proprietà della diagonale

 

Le diagonali di alcuni poligoni godono di specifiche proprietà e la conoscenza della loro misura permette di trovare la misura del lato, dell'area, dell'apotema o del perimetro del poligono in questione. Vediamole nel dettaglio.

 

Diagonali del quadrato

 

Un quadrato ha 2 diagonali perpendicolari tra loro che si incontrano in un punto, il centro del quadrato, che le divide entrambe in due segmenti di ugual misura. Ciascuna diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli e congruenti, con angoli alla base di 45°. Inoltre le due diagonali del quadrato sono suoi assi di simmetria e diametri della circonferenza ad esso circoscritta.

 

Nota la misura (d) di una delle due diagonali del quadrato è possibile ricavare la misura (L) del lato applicando la seguente formula:

 

L=\frac{d}{\sqrt{2}}

 

e quindi, noto il lato, si può agevolmente calcolare l'area e il perimetro del quadrato.

 

Diagonali del rettangolo

 

Un rettangolo ha due diagonali di ugual misura che si incontrano nel centro del rettangolo, il quale le divide in due segmenti congruenti. Tali diagonali sono assi di simmetria per il rettangolo e lo dividono in quattro triangoli isosceli.

 

Inoltre, note la misura della base (b) e dell'altezza (h) del rettangolo, grazie al teorema di Pitagora è possibile ricavare la misura (d) della diagonale:

 

d=\sqrt{b^2+h^2}

 

Diagonali del rombo

 

Anche il rombo ha 2 diagonali di diversa misura che si incontrano nel suo centro e che vengono divise da esso ciascuna in due segmenti congruenti. Ciascuna diagonale divide il rombo in due triangoli rettangoli, ed entrambe lo dividono in quattro triangoli isosceli. Inoltre tali diagonali sono assi di simmetria per il rombo. 

 

La misura delle due diagonali (d1 e d2) permettono di ricavare l'area del rombo, infatti:

 

\mbox{Area rombo}=\frac{d_1 \times d_2}{2}

 

Infine, nota le misura delle diagonali, grazie al teorema di Pitagora, si può trovare la misura del lato e quindi del perimetro del rombo.

 

Diagonali del parallelogramma

 

Come tutti i quadrilateri, anche il parallelogramma ha 2 diagonali, le quali si intersecano nel loro punto medio e sono assi di simmetria per esso. Ciascuna diagonale divide il parallelogramma in due triangoli congruenti.

 

Diagonali del trapezio

 

trapezi hanno due diagonali, che in un generico trapezio si dividono reciprocamente in segmenti proporzionali, mentre nel trapezio isoscele sono congruenti.

 

Diagonali di un poligono regolare

 

Se il poligono regolare ha un numero pari di lati, le diagonali che uniscono due vertici diametralmente opposti sono assi di simmetria per il poligono, come accade nel caso dell'esagono, dell'ottagono, del decagono e del dodecagono.

 

Il pentagono ha le diagonali tutte uguali e conoscendo la misura della diagonale è possibile ricavare la misura del lato e il raggio della circonferenza circoscritta.

 

 


 

È tutto! In caso di dubbi, problemi, perplessità, esercizi che proprio non tornano, non esitate a contattarci! 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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