Dodecagono

Un dodecagono è un poligono con 12 lati e 12 vertici. Un dodecagono regolare è un particolare tipo di dodecagono, ed è un poligono regolare con 12 lati di uguale lunghezza e 12 angoli di uguale ampiezza, ciascuno pari a 150°.

 

In questa lezione potete leggere la definizione e tutte le formule sul dodecagono, con particolare riferimento al dodecagono regolare. Anticipiamo sin da subito che non ci sono particolari formule degne di nota nel caso generale e per questo motivo ci concentreremo sul caso regolare. Oltre alle formule inverse e dirette per calcolare l'apotema e l'area del dodecagono, abbiamo riportato le formule speciali per la circonferenza inscritta e per la circonferenza circoscritta al dodecagono regolare.

 

A seguire trovate tutte le principali proprietà. Attenzione: nel caso vi foste persi qualche definizione sui poligoni e sui poligoni regolari, vi raccomandiamo di leggere le lezioni correlate cui potete accedere velocemente mediante i link presenti nel corso della spiegazione. ;)

 

Definizione di dodecagono

 

Vediamo nel dettaglio la definizione di dodecagono e la definizione di dodecagono regolare:

 

- un dodecagono è un qualsiasi poligono costituito da 12 lati e 12 vertici, e può essere un poligono semplice o complesso, concavo o convesso;

 

- un dodecagono regolare è un poligono regolare con 12 lati, e dunque è un poligono convesso equilatero ed equiangolo. 

 

 

Rappresentazione di un dodecagono

Dodecagono regolare

 

Formule dodecagono

 

Siamo pronti per passare all'elenco delle formule del dodecagono regolare dobbiamo assegnare un po' di nomi. Indicheremo con L il lato del dodecagono, con a l'apotema, con f il numero fisso, con φ la costante d'area, con R il raggio della circonferenza circoscritta, con 2p il perimetro, con p il semiperimetro p e con A l'area del dodecagono.

 

 

Rappresentazione di un dodecagono inscritto

 

 

Le formule in grassetto nella seguente tabella sono le uniche che vanno ricordate; tutte le altre formule inverse possono essere ricavate velocemente con dei semplici calcoli algebrici.

 

 

Perimetro del dodecagono (con il lato)

2p=12L

Lato (con il perimetro)

L=\frac{2p}{12}

Area del dodecagono (dato l'apotema)

A=\frac{2p \times a}{2}

Apotema (con area e perimetro)

a=\frac{2A}{2p}

Perimetro del dodecagono (con apotema)

2p=\frac{2A}{a}

Numero fisso del dodecagono

f=1,866=\frac{a}{L}

Apotema (con numero fisso e lato)

a=L \times f

Lato (dato l'apotema)

L=\frac{a}{f}

Costante d'area del dodecagono

\varphi=11,196=\frac{A}{L^2}

Area del dodecagono (dalla costante)

A=L^2 \times \varphi

Lato del dodecagono (dalla costante)

L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}}

Dodecagono inscritto e circonferenza circoscritta

Lato del dodecagono (dal raggio)

L=\frac{R(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}

Apotema (dal raggio)

a=\frac{R(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}

Area del dodecagono (dal raggio)

A=3R^2

 

 

Proprietà del dodecagono regolare

 

1) Un dodecagono regolare si può sia inscrivere che circoscrivere ad una circonferenza.

 

2) Il numero delle diagonali di un dodecagono è pari a 54, e per ogni vertice passano 9 diagonali.

 

3) Le sei diagonali che si formano unendo due vertici diametralmente opposti (quelle in figura) si incontrano in uno stesso punto detto centro del dodecagono che le divide in segmenti congruenti ed è il centro sia della circonferenza inscritta sia di quella circoscritta al dodecagono.

 

4) Queste sei diagonali dividono il dodecagono in 12 triangoli isosceli aventi gli angoli alla base di 75° e l'angolo al vertice ampio 30°.

 

5) L'apotema del dodecagono (raggio della circonferenza inscritta) coincide con l'altezza dei triangoli isosceli in cui è diviso dalle diagonali.

 

6) La somma degli angoli interni del dodecagono è pari a 1800°.

 

7) La somma degli angoli esterni di un dodecagono è pari a 180°

 

8) Un dodecagono regolare ha 12 assi di simmetria: le 6 diagonali che si formano unendo i vertici diametralmente opposti ed i 6 segmenti che uniscono i punti medi di due lati opposti.

 

9) Il centro del dodecagono ne è il centro di simmetria.

 

 

Ribadiamo bene che quanto fin qui detto vale per i dodecagoni regolari. Non ci sono infatti formule specifiche che valgano per i dodecagoni qualsiasi.

 

 

Esercizi svolti sul dodecagono 

 

Lo sapete che abbiamo svolto molti esercizi sul dodecagono? Per raggiungerli vi basta utilizzare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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