Decagono

Un decagono è un poligono con 10 lati e 10 vertici. Un decagono regolare è un particolare tipo di decagono, ed è un poligono regolare con 10 lati di uguale lunghezza e 10 angoli di uguale ampiezza pari a 144°.

 

In questa pagina vi proponiamo la definizione e tutte le formule del decagono, concentrandoci sul caso specifico del decagono regolare, dal momento che nel caso generale non sono previste particolari formule. Nello specifico abbiamo riportato le formule dirette ed inverse che riguardano l'apotema, il numero fisso e l'area, nonché le formule speciali per la circonferenza inscritta e circoscritta al decagono regolare.

 

Fatto ciò passeremo in rassegna le principali proprietà che caratterizzano il decagono. A tal proposito vi raccomandiamo anche la lettura dei formulari dedicati ai poligoni ed ai poligoni regolari, cui potete accedere velocemente tramite i link sparsi qui e là nel formulario. ;)

 

Definizione di decagono

 

Riprendiamo la definizione di decagono e la definizione di decagono regolare che abbiamo scritto all'inizio, e cerchiamo di essere più specifici:

 

- un decagono è un poligono formato da 10 lati e da 10 vertici, e può essere un poligono semplice o complesso e concavo o convesso;

 

- un decagono regolare è un poligono regolare con 10 lati, per cui è necessariamente un poligono convesso equilatero ed equiangolo.

 

 

Rappresentazione di un decagono

Decagono regolare

 

Formule decagono

 

Passiamo ad elencare le formule del decagono regolare, ma non prima di aver specificato il significato dei vari simboli. Indichiamo con L il lato del decagono, con a l'apotema, con f il numero fisso, con φ la costante d'area, con R il raggio della circonferenza circoscritta, con 2p il perimetro, con p il semiperimetro e con A l'area del decagono.

 

 

Rappresentazione di un decagono inscritto

 

 

Nella seguente tabella riportiamo in grassetto le formule più importanti: le uniche da ricordare a memoria perché tutte le altre formule inverse possono essere ricavate facilmente mediante semplici passaggi algebrici.

 

 

Perimetro del decagono (con il lato)

2p=10L

Lato (con il perimetro)

L=\frac{2p}{10}

Area del decagono (dato l'apotema)

A=\frac{2p \times a}{2}

Apotema (con area e perimetro)

a=\frac{2A}{2p}

Perimetro del decagono (dato l'apotema)

2p=\frac{2A}{a}

Numero fisso del decagono

f=1,539=\frac{a}{L}

Apotema (con numero fisso e lato)

a=L \times f

Lato (dal numero fisso)

L=\frac{a}{f}

Costante d'area del decagono

\varphi=7,694=\frac{A}{L^2}

Area del decagono (dalla costante)

A=L^2 \times \varphi

Lato del decagono (dalla costante d'area)

L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}}

Decagono inscritto e circonferenza circoscritta

Lato del decagono (con il raggio)

L=\frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}

Apotema (con il raggio)

a=\frac{R\left(\sqrt{10+2\sqrt{5}} \right)}{4}

Area del decagono (con il raggio)

A=\frac{5R^2\left(\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)}{4}

 

 

Proprietà del decagono regolare

 

1) Un decagono regolare si può sia inscrivere che circoscrivere ad una circonferenza.

 

2) Il numero delle diagonali di un decagono è pari a 35, e per ogni vertice passano 7 diagonali.

 

3) Le cinque diagonali che si formano unendo due vertici diametralmente opposti (quelle in figura) si incontrano in uno stesso punto detto centro del decagono che le divide in segmenti congruenti ed è il centro sia della circonferenza inscritta sia di quella circoscritta al decagono.

 

4) Queste cinque diagonali dividono il decagono in 10 triangoli isosceli aventi gli angoli alla base di 72° e l'angolo al vertice ampio 36°.

 

5) L'apotema del decagono (raggio della circonferenza inscritta) coincide con l'altezza dei triangoli isosceli da cui è diviso dalle diagonali.

 

6) La somma degli angoli interni del decagono è pari a 1440°.

 

7) La somma degli angoli esterni del decagono è pari a 180°.

 

8) Un decagono regolare ha 10 assi di simmetria: le 5 diagonali che si formano unendo i vertici diametralmente opposti ed i 5 segmenti che uniscono i punti medi di due lati opposti.

 

9) Il centro del decagono ne è il centro di simmetria.

 

 

Ribadiamo bene che quanto fin qui detto vale per i decagoni regolari. Non ci sono infatti formule specifiche che valgano per decagoni qualsiasi.

 

 

Esercizi e problemi svolti sul decagono 

 

Se siete in cerca di problemi ed esercizi svolti sul decagono, potete usare la barra di ricerca interna e trovare tutto quello che vi serve tra le migliaia di esercizi risolti presenti su YM. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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