Ottagono

Un ottagono è un poligono formato da 8 lati e 8 vertici. Un ottagono regolare è un particolare tipo di ottagono, ed è un poligono regolare con 8 lati di uguale lunghezza e 8 angoli di uguale ampiezza, ciascuno ampio 135°.

 

Questo formulario si propone di raccogliere la definizione, tutte le formule dell'ottagono e le varie proprietà che lo caratterizzano. Attenzione: nel caso generale non ci sono formule particolarmente rilevanti, per cui ci limiteremo alle formule del caso regolare e ci soffermeremo nello specifico sulle formule dirette e inverse per l'area, per l'apotema e per il numero fisso.

 

Per un ripasso più generale sui poligoni e sui poligoni regolari vi rimandiamo agli omonimi formulari, cui potete accedere tramite i vari link sparsi qui e là nel corso della spiegazione. ;)

 

Definizione di ottagono

 

Riprendiamo per un istante la definizione di ottagono e la definizione di ottagono regolare:

 

- un ottagono è un poligono costituito da 8 lati e 8 vertici, e può essere un poligono semplice o complesso e concavo o convesso;

 

- un ottagono regolare è un poligono regolare, e di conseguenza è un poligono convesso equilatero ed equiangolo.

 

 

Rappresentazione di un ottagono

Ottagono regolare

 

Formule ottagono

 

Vediamo ora le formule dell'ottagono regolare, ma prima precisiamo un po' di nomi. Indichiamo con L il lato dell'ottagono, con a l'apotema, con f il numero fisso, con φ la costante d'area, con R il raggio della circonferenza circoscritta, con 2p il perimetro, con p il semiperimetro e con A l'area dell'ottagono.

 

 

Rappresentazione di un ottagono inscritto

 

 

Nella tabella che segue riportiamo in grassetto le formule più importanti. Tutte le altre formule inverse possono essere ricavate da esse mediante semplici passaggi algebrici.

 

 

Perimetro dell'ottagono (dato il lato)

2p=8L

Lato (con il perimetro)

L=\frac{2p}{8}

Area dell'ottagono (dato l'apotema)

A=\frac{2p \times a}{2}

Apotema (con area e semiperimetro)

a=\frac{2A}{2p}

Perimetro dell'ottagono (dato l'apotema)

2p=\frac{2A}{a}

Numero fisso dell'ottagono

f=1,207=\frac{a}{L}

Apotema (con numero fisso e lato)

a=L \times f

Lato (dal numero fisso)

L=\frac{a}{f}

Costante d'area dell'ottagono

\varphi=4,828=\frac{A}{L^2}

Area dell'ottagono (dalla costante)

A=L^2 \times \varphi

Lato dell'ottagono (dalla costante d'area)

L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}}

Ottagono inscritto e circonferenza circoscritta

 

Lato dell'ottagono (dato il raggio)

L=R\sqrt{2-\sqrt{2}}

Apotema (dato il raggio)

a=\frac{R\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

Area dell'ottagono (dato il raggio)

A=2\sqrt{2} \times R^2

 

 

Proprietà dell'ottagono regolare

 

1) Un ottagono regolare si può sia inscrivere che circoscrivere ad una circonferenza.

 

2) Il numero delle diagonali di un ottagono è pari a 20, e per ogni vertice passano 5 diagonali.

 

3) Le quattro diagonali che si formano unendo due vertici diametralmente opposti (quelle in figura) si incontrano in uno stesso punto detto centro dell'ottagono che le divide in segmenti congruenti ed è il centro sia della circonferenza inscritta sia di quella circoscritta all'ottagono.

 

4) Queste quattro diagonali dividono l'ottagono in 8 triangoli isosceli aventi gli angoli alla base di 67,5° e l'angolo al vertice ampio 45°.

 

5) L'apotema dell'ottagono (raggio della circonferenza inscritta) coincide con l'altezza dei triangoli isosceli da cui è diviso dalle diagonali.

 

6) La somma degli angoli interni dell'ottagono è pari a 1080°.

 

7) La somma degli angoli esterni dell'ottagono è pari a 180°.

 

8) Un ottagono regolare ha 8 assi di simmetria: le 4 diagonali che si formano unendo i vertici diametralmente opposti ed i 4 segmenti che uniscono i punti medi di due lati opposti.

 

9) Il centro dell'ottagono è centro di simmetria per esso.

 

 

Ribadiamo bene che quanto fin qui detto vale per gli ottagoni regolari. Non ci sono infatti formule specifiche che valgono per ottagoni qualunque.

 

 

Problemi ed esercizi svolti sull'ottagono 

 

Lo sai che abbiamo svolto diversi esercizi sull'ottagono? Per consultarli ti basta fare utilizzare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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