Pentagono

Un pentagono è un poligono formato da 5 lati e 5 vertici. Un pentagono regolare è un particolare tipo di pentagono, ed è un poligono regolare con 5 lati di uguale lunghezza e 5 angoli di uguale ampiezza, pari a 108°.

 

In questo formulario ci concentreremo sulla definizione e sulle formule del pentagono, con particolare riferimento al pentagono regolare. Riporteremo tutte le formule che possono essere usate nei problemi di scuola media e delle scuole superiori, con particolare riferimento alle formule inverse per calcolare l'apotema e l'area del pentagono, comprese le formule speciali per la circonferenza inscritta e circoscritta al pentagono.

 

Oltre a ciò ne elencheremo le principali proprietà. Nel caso vi foste persi le definizioni relative ai poligoni e ai poligoni regolari, quali ad esempio quelle relative all'apotema, al numero fisso e alla costante d'area, non perdetevi le lezioni dei link che troverete nel corso della spiegazione. ;)

 

Definizione di pentagono

 

Abbiamo già anticipato la definizione di pentagono e la definizione di pentagono regolare. Ciononostante, poiché repetita iuvant:

 

- un pentagono è un poligono con 5 lati, e può essere un poligono semplice o complesso, concavo o convesso;

 

- un pentagono regolare è un poligono regolare con 5 lati, quindi un poligono convesso equilatero ed equiangolo.

 

 

Rappresentazione di un pentagono

Pentagono regolare

 

Formule pentagono

 

È giunto il momento di elencare tutte le formule del pentagono regolare. Se vi state domandando perché ci limitiamo al caso regolare e non a quello generale, basti sapere che nel caso di un pentagono qualsiasi non sussistono particolari formule degne di nota. Chiamiamo quindi L il lato del pentagono, a l'apotema, f il numero fisso, φ la costante d'area, d la diagonale, R il raggio della circonferenza circoscritta, 2p il perimetro, p il semiperimetro e A l'area del pentagono.

 

 

Rappresentazione pentagono inscritto

 

 

Nella seguente tabella riportiamo in grassetto le formule principali, dalle quali è possibile ricavare le formule inverse con passaggi algebriche immediate.

 

 

Perimetro del pentagono (dato il lato)

2p=5L

Lato (con il perimetro)

L=\frac{2p}{5}

Area del pentagono (con l'apotema)

A=\frac{2p \times a}{2}

Apotema (con area e perimetro)

a=\frac{2A}{2p}

Perimetro del pentagono (con apotema)

2p=\frac{2A}{a}

Numero fisso del pentagono

f=0,688=\frac{a}{L}

Apotema (con numero fisso e lato)

a=L \times f

Lato (dal numero fisso)

L=\frac{a}{f}

Costante d'area del pentagono

\varphi=1,720=\frac{A}{L^2}

Area del pentagono (dalla costante)

A=L^2 \times \varphi

Lato del pentagono (dalla costante d'area)

L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}}

Diagonale del pentagono (dato il lato)

d=\frac{L(\sqrt{5}+1)}{2}

Lato del pentagono (con diagonale)

L=\frac{d(\sqrt{5}-1)}{2}

Pentagono inscritto e circonferenza circoscritta

Lato del pentagono (dato il raggio)

L=\frac{R\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}

Apotema (dato il raggio)

a=\frac{R \times (\sqrt{5}+1)}{4}

Area del pentagono (dato il raggio)

A=\frac{R^2 \times 5\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}

Raggio della circonferenza circoscritta

R=d\left[\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}\right]

Diagonale

d=R\left[\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\right]

 

 

Proprietà del pentagono regolare

 

1) Un pentagono regolare si può sia inscrivere che circoscrivere ad una circonferenza.

 

2) Il numero delle diagonali di un pentagono è pari a 5, e per ogni vertice passano 2 diagonali.

 

3) Congiungendo il centro del pentagono con i suoi vertici si ottengono 5 triangoli isosceli aventi gli angoli alla base ampi 54° e l'angolo al vertice di 72°.

 

4) L'apotema del pentagono (il raggio della circonferenza inscritta) coincide con l'altezza dei triangoli isosceli.

 

5) Il centro del pentagono è il punto di intersezione tra gli assi dei suoi lati o tra le bisettrici degli angoli interni, ed è il centro sia della circonferenza inscritta sia di quella circoscritta al pentagono.

 

6) La somma degli angoli interni del pentagono è pari a 540°.

 

7) La somma degli angoli esterni è pari a 180°.

 

8) Un pentagono regolare ha 5 assi di simmetria: i 5 assi dei suoi lati.

 

Ribadiamo bene che quanto fin qui detto vale per i pentagoni regolari. Non ci sono infatti formule specifiche che valgono per pentagoni qualunque.

 

 

Esercizi e problemi svolti sul pentagono

 

Lo sapete che abbiamo svolto molti problemi sul pentagono? Per reperirli vi basta utilizzare la barra di ricerca interna. Inoltre qui su YM è anche disponibile un tool per risolvere il pentagono online. ;)

 

 


 

 

Con questo abbiamo finito. Nel caso foste interessati, in una pagina a parte spieghiamo come effettuare la costruzione del pentagono con riga e compasso. Vi aspettiamo nel formulario successivo, interamente dedicato all'esagono. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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