Esagono

Un esagono è un poligono formato da 6 lati e 6 vertici. Un esagono regolare è un particolare tipo di esagono, ed è un poligono regolare con 6 lati di uguale lunghezza e 6 angoli di uguale ampiezza, pari a 120°.

 

In questa pagina vi proponiamo la definizione e le formule dell'esagono, soffermandoci sul caso particolare dell'esagono regolare. Le varie formule proposte consentono di risolvere agevolmente qualsiasi problema per la scuola media e per le scuole superiori: per la vostra comodità abbiamo infatti riportato tutte le formule inverse relative all'apotema, all'area dell'esagono, e alla circonferenza inscritta e circoscritta all'esagono.

 

Per concludere riporteremo tutte le più importanti proprietà dell'esagono e vi rimanderemo ad una raccolta di esercizi e problemi svolti. Prima di procedere vi diamo un suggerimento: nel caso aveste dubbi relativi alle definizioni di apotema, numero fisso e costante d'area, vi consigliamo di leggere le lezioni dei link che troverete sparsi qui e là nel corso del formulario. ;)

 

Definizione di esagono

 

Richiamiamo velocemente la definizione di esagono e la definizione di esagono regolare scritte ad inizio lezione:

 

- un esagono è un poligono con 6 lati, di qualsiasi tipo: può essere un poligono semplice o complesso, concavo o convesso;

 

- un esagono regolare è un poligono regolare con 6 lati, dunque un poligono convesso equilatero ed equiangolo.

 

 

Rappresentazione di un esagono

Esagono regolare

 

Formule esagono

 

Ancor prima di elencare le formule dell'esagono regolare è necessario precisare qual è il significato dei simboli che adotteremo. Chiamiamo L il lato dell'esagono, a l'apotema, f il numero fisso, φ la costante d'area, R il raggio circonferenza circoscritta, 2p il perimetro, p il semiperimetro e A l'area dell'esagono.

 

 

Rappresentazione esagono inscritto

 

 

Nella seguente tabella riportiamo le formule principali in grassetto: sono le uniche da ricordare, perché tutte le altre formule inverse possono essere facilmente ricavate da esse mediante passaggi algebrici elementari.

 

 

Perimetro dell'esagono

2p=6L

Lato (dal perimetro)

L=2p/6

Area dell'esagono (dato l'apotema)

A=\frac{2p \times a}{2}

Apotema (con area e perimetro)

a=\frac{2A}{2p}

Perimetro (con area e apotema)

2p=\frac{2A}{a}

Numero fisso dell'esagono

f=0,866=\frac{a}{L}

Apotema (dato il lato)

a=L \times f

Lato (dato l'apotema)

L=\frac{a}{f}

Costante d'area dell'esagono

\varphi=2,598=\frac{A}{L^2}

Area dell'esagono (dalla costante)

A=L^2 \times \varphi

Lato dell'esagono (da area e costante)

L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}}

Esagono inscritto e circonferenza circoscritta

Lato (dato il raggio)

L=R

Apotema (dato il raggio)

a=\frac{R \times \sqrt{3}}{2}

Area dell'esagono (dato il raggio)

A=\frac{3\sqrt{3} \times R^2}{2}

Area dell'esagono (con raggio e costante)

A=R^2 \times \varphi

Perimetro dell'esagono

2p=6R

 
 

 

Proprietà dell'esagono regolare

 

1) Un esagono regolare si può sia inscrivere che circoscrivere ad una circonferenza.

 

2) Il numero delle diagonali di un esagono è pari a 9, e per ogni vertice passano 3 diagonali.

 

3) Queste tre diagonali dividono l'esagono in 6 triangoli equilateri; ecco spiegato il motivo per cui il lato dell'esagono è uguale al raggio della circonferenza circoscritta.

 

4) L'apotema dell'esagono (raggio della circonferenza inscritta) coincide con l'altezza dei triangoli equilateri in cui è diviso dalle diagonali.

 

5) Le tre diagonali che si formano unendo le coppie di vertici diametralmente opposti (quelle in figura) si incontrano in uno stesso punto detto centro dell'esagono che le divide in segmenti congruenti ed è il centro sia della circonferenza inscritta sia di quella circoscritta all'esagono.

 

6) La somma degli angoli interni dell'esagono è pari a 720°.

 

7) La somma degli angoli esterni è pari a 180°.

 

8) Un esagono regolare ha 6 assi di simmetria: le 3 diagonali che si formano unendo i vertici diametralmente opposti ed i 3 segmenti che uniscono i punti medi di due lati opposti.

 

9) Il centro dell'esagono è centro di simmetria per l'esagono.

 

Ribadiamo bene che quanto fin qui detto vale per gli esagoni regolari. Non ci sono infatti formule specifiche che valgono per esagoni qualunque.

 

 

Esercizi svolti sull'esagono 

 

Lo sai che abbiamo svolto diversi esercizi sull'esagono?

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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