Apotema

L'apotema di un poligono regolare è per definizione il raggio della circonferenza inscritta nel poligono. Nel caso dei solidi, l'apotema di un cono o di una piramide è il segmento che congiunge perpendicolarmente gli spigoli di base ed il vertice.

 

In questa lezione vedremo cos'è l'apotema di un poligono regolare e che cos'è l'apotema di un solido, inoltre vi daremo la formula relativa all'apotema e le sue proprietà.

 

Apotema di un poligono regolare

 

Dato un qualsiasi poligono regolare si dice apotema il raggio della circonferenza ad esso inscritta.

 

Prendiamo ad esempio un quadrato, un pentagono regolare ed un esagono regolare e disegniamo per ciascuno di essi la circonferenza inscritta, ossia la circonferenza che ha come centro il centro del poligono e come raggio la distanza del centro dal lato del poligono.

 

In ciascuno dei casi considerati, il raggio della circonferenza inscritta è proprio l'apotema che solitamente si indica con la lettera a.

 

 

Apotema

 

Proprietà dell'apotema

 

1) Dato un qualsiasi poligono regolare di n lati, con n>3, lo possiamo dividere in n triangoli isosceli uguali unendo il centro del poligono con tutti i suoi vertici. L'altezza di questi triangoli coinciderà proprio con l'apotema del poligono, come mostrato in figura.

 

 

Apotema come altezza

 

 

2) L'apotema di un poligono regolare coincide col segmento che unisce il centro del poligono con la sua proiezione ortogonale su un qualsiasi lato.

 

 

3) L'apotema tocca il lato del poligono esattamente nel suo punto medio ed il motivo è presto detto: il lato del poligono coincide infatti con la base di un triangolo isoscele di cui l'apotema, come abbiamo visto poco fa, coincide con l'altezza. Basta ora ricordare che in un triangolo isoscele altezza e mediana coincidono.

 

 

4) Il rapporto tra l'apotema ed il lato di un qualsiasi poligono regolare è costante e dipende solo dal numero dei lati del poligono, ovvero:

 

\frac{a}{l}=f

 

dove a \ \mbox{ed} \ l indicano rispettivamente la misura dell'apotema e del lato del poligono regolare, ed f è detto numero fisso. Nella seguente tabella riportiamo i valori del numero fisso per ciascuno dei principali poligoni regolari, che possono essere utilizzati nella formula dell'apotema

 

a=f\times l

 

 

Poligono regolare

Numero di lati

Numero fisso

Triangolo equilatero

3

0,289

Quadrato

4

0,5

Pentagono

5

0,688

Esagono

6

0,866

Ettagono

7

1,038

Ottagono

8

1,207

Ennagono

9

1,374

Decagono

10

1,539

Dodecagono

12

1,866

 

Apotema e area

 

L'apotema permette di trovare la misura del lato ed il valore dell'area di un poligono regolare, infatti:

 

1) la misura del lato è data da apotema per numero fisso f appena visto, in formule:

 

l=\frac{a}{f}

 

2) L'area è data dal semiprodotto tra perimetro e apotema, cioè

 

A=\frac{2p \times a}{2}

 

3) In particolare, la precedente formula è fondamentale nella risoluzione dei problemi e degli esercizi e può essere usata per ricavare la formula inversa dell'apotema, secondo cui la misura dell'apotema è data dal rapporto tra il doppio dell'area ed il perimetro

 

a=\frac{2A}{2p}

 

Per chi fosse interessato vediamo ora come ricavare la formula 2) e per farlo prendiamo un ottagono regolare e lo scomponiamo negli 8 triangoli isosceli da cui è formato, come mostrato nel seguente disegno

 

 

Dimostrazione formula area poligono regolare

 

 

Per trovare l'area del poligono basta quindi trovare l'area di uno dei triangoli e moltiplicare per il numero dei lati (in questo caso 8). Ricordando che l'area di un triangolo è data dal semiprodotto tra la base e l'altezza, e poiché la base di ogni triangolo coincide con il lato del poligono e l'altezza con il suo apotema, abbiamo:

 

A_{ottagono} = 8 \times A_{triangolo} = 8 \times \frac{l \times a}{2}

 

Ora basta osservare che

 

8l=2p

 

E abbiamo ricavato la formula che volevamo nel caso dell'ottagono. Generalizzando il ragionamento, si dimostra che l'area di un poligono regolare è data dal semiprodotto tra perimetro e apotema.

 

 

[Solo per le superiori] Esiste, infine, un'ultima formula che permette di trovare l'apotema ricorrendo alla tangente. Indicato con n il numero dei lati del poligono e con l la misura del suo lato, si ha che l'apotema è dato dal rapporto tra la misura del lato e il doppio della tangente di 180° diviso n, ovvero:

 

\mbox{apotema} = \frac{l}{2\tan\left( \frac{180^{\circ}}{n}\right)} 

 

Ad esempio, in un esagono regolare (n=6) di lato 12 cm l'apotema misurerà

 

a=\frac{12}{2\tan(30^{\circ})}=10,39 \ \mbox{cm} 

 

Apotema nel caso dei solidi

 

Ora passiamo a parlare della definizione di apotema di un solido. L'apotema si incontra infatti anche in geometria solida quando si ha a che fare con il cono, il tronco di cono e con le piramidi e con i tronchi di piramide.

 

Nello specifico:

 

- l'apotema di un cono è l'ipotenusa del triangolo rettangolo dalla cui rotazione attorno ad cateto si ottiene proprio il cono;

 

- l'apotema di un tronco di cono è il lato obliquo del trapezio rettangolo che lo genera;

 

- l'apotema di una piramide retta o regolare è l'altezza di uno dei triangoli che ne costituiscono una delle facce;

 

- l'apotema di un tronco di piramide è l'altezza di uno dei trapezi che ne formano la supercie laterale.

 

 

Apotema nei solidi

 

 


 

Per questa lezione è tutto. In caso di dubbi, problemi, perplessità, o nel caso foste in cerca di problemi ed esercizi svolti, potrete sempre trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna di YouMath. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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