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Formule per l'area

Tutti bene o male sanno cos'è l'area di una figura piana, ma molti non saprebbero come parlarne in termini precisi e rigorosi. In questa lezione non vi parleremo solamente della nozione di area di una superficie, ma vi daremo anche una tabella con tutte le formule per l'area delle figure piane più importanti. Buona lettura! Smile

 

Cos'è l'area di una figura

 

Il concetto di area non è così banale come si possa pensare. Per aiutare l'intuito, consideriamo due rettangoli come riportati in figura:

 

 

Rettangoli e aree

 

 

I due rettangoli non sono uguali, quello in rosso è "più grande" di quello azzurro. Cosa vuol dire? Stiamo attribuendo alle due figure un nuovo elemento distintivo, quello di "estensione di superficie" che possiamo vedere come la porzione di piano delimitata dal contorno del poligono. Va da sé che possiamo chiederci "quanta" porzione di piano occupa un poligono e cercare un modo per quantificare l'estensione della superficie utilizzando i numeri. A questo proposito si introduce la nozione di area.

 

L'area è la misura dell'estensione di un poligono, ci dice quanta porzione di piano esso occupa.

 

Formule per calcolare l'area

 

Dopo aver parlato dell'idea intuitiva di estensione e di area, il prossimo passaggio sarà quello di riportare le formule per il calcolo dell'area dei principali poligoni e del cerchioLaughing Pronti?

 

 

Figura Formula
Triangolo



\mbox{Area}=\frac{\mbox{base}\times \mbox{altezza}}{2}


Detto p il semiperimetro del triangolo e indicando con a, b, c la misura dei suoi lati allora per  la formula di Erone:

 

\mbox{Area}=\sqrt{p\times (p-a)\times (p-b)\times (p-c)}


 

Triangolo rettangolo


\mbox{Area}= \frac{\mbox{cateto}\times\mbox{cateto}}{2}
 


Triangolo rettangolo 30°-60°
 

\mbox{Area}=\frac{\sqrt{3}}{8}\times\mbox{ipotenusa}^2


Triangolo rettangolo 45°-45° 
 

\mbox{Area}= \frac{\mbox{lato}^2}{2}


Triangolo
equilatero

 


\mbox{Area}= \mbox{lato}^2\times \frac{\sqrt{3}}{4}\simeq \mbox{lato}^2\times 0.433
 
Quadrato


\mbox{Area}=\mbox{lato}\times \mbox{lato}= \mbox{lato}^2


\mbox{Area}= \frac{\mbox{diagonale}^2}{2}
 


Rettangolo
 

\mbox{Area}= \mbox{base}\times \mbox{altezza}


Parallelogramma
 

 \mbox{Area}=\mbox{base}\times\mbox{altezza}

Rombo


\mbox{Area}&=&\frac{\mbox{Diagonale}\times \mbox{diagonale}}{2}

 

Possiamo vedere il rombo come un parallelogramma
avente come base il lato, in tal caso:

 

\mbox{Area}= \mbox{base}\times \mbox{Altezza}

 

Detto r il raggio della cerchio inscritto al rombo:

 

\mbox{Area}= \frac{\mbox{perimetro}\times r}{2}

 


Trapezio 
 

\mbox{Area}= \frac{(\mbox{Base}+\mbox{base})\times \mbox{altezza}}{2}


Cerchio (non è un poligono)
 

 \mbox{Area}=\pi\times\mbox{raggio}^2\simeq 3.14\times\mbox{raggio}^2

 

Area di poligoni circoscritti a una circonferenza

 

L'area di un poligono circoscritto ad una circonferenza di raggio a, che per l'occasione chiameremo apotema, si trova come:

 

\mbox{Area}= \frac{\mbox{perimetro}\times \mbox{apotema}}{2}

 

 

Esempio: consideriamo il trapezio ABCD che ha come perimetro P= 18\,\, cm e il raggio della circonferenza inscritta è r=2\,\, cm. Il nostro obiettivo è quello di determinare l'area.

 

 

Area di un trapezio circoscritto

 

 

per come è impostato l'esercizio, non possiamo utilizzare la formula relativa al trapezio perché non conosciamo i valori della base maggiore e della base minore, però sappamo che esso circoscrive un cerchio di raggio r= 2\,\, cm, facciamo intervenire la formula 

 

\mbox{Area}= \frac{\mbox{perimetro}\times r}{2}= \frac{18\,cm\times 2\, cm}{2}= 18\,cm^2

 

Area per i poligoni regolari

 

Ogni poligono regolare può essere circoscritto a una circonferenza, quindi continua a valere la formula

 

\mbox{Area}= \frac{\mbox{perimetro}\times \mbox{apotema}}{2}

 

per essi però sussiste una relazione tra l'apotema e il lato:

 

\mbox{apotema}= \mbox{numero fisso}\times \mbox{lato}

 

dove il numero fisso dipende dal poligono regolare in questione. Oltre a questo importante coefficiente numerico dobbiamo considerarne un altro detto fattore d'area ed è quel numero che deve essere moltiplicato al quadrato del lato per ottenere l'area ovvero:

 

\mbox{Area}= \mbox{Fattore d}'\mbox{area}\times \mbox{lato}^2

 

 

Nome Numero di lati Numero fisso f Fattore d'area \phi
Triangolo equilatero  3 0.288 0.433
Quadrato 4  0.5  1
Pentagono 5  0.688  1.720
Esagono 6  0.866 2.598
Ettagono 7  1.038  3.634
Ottagono  8  1.207 4.828
Ennagono  9  1.374  6.182
Decagono  10  1.539  7.694

 

Area di poligoni qualsiasi

 

Come calcolare l'area di poligoni che non rientrano nei casi precedenti? Il trucco è decomporre il poligono in figure più semplici di cui sappiamo calcolare l'area. L'area del poligono di partenza è data dalla somma di queste aree.

 

Esempio: consideriamo il poligono come riportato in figura

 

 

Area di un poligono

 

 

Decomponiamolo in poligoni più semplici. Possiamo "spezzarlo" in tre poligoni

 

 

Scomposizione per l'area di un poligono

 

 

Il poligono 1 è un rettangolo che ha per base  3\, u mentre l'altezza  1\, u, la sua area è A_1= 3\,u\times 1\, u= 3\,u^2.

 

Il poligono 2 è ancora un rettangolo che ha per base 2\,u e altezza 4\,u. La sua area è A_2= 2\, u\times 4\, u= 8\, u^2.

 

Il poligono 3 è un triangolo che ha per base 4\, u e altezza 1\, u. La sua area è A_3= \frac{4\,u\times 1\, u}{2}= 2\, u^2.

 

Il poligono di partenza ha area 

 

A= A_1+A_2+A_3= 3\, u^2+ 8\, u^2+ 2\, u^2= 13\, u^2

 

 


 

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Alla prossima 

Salvatore Zungri

 

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