Equivalenza tra figure piane e solidi

L'equivalenza tra figure piane e solide consiste rispettivamente nella condizione di avere la stessa area nel primo caso, e nel secondo caso di avere lo stesso volume. Due figure piane sono equivalenti se hanno la stessa area; due solidi sono equivalenti se hanno lo stesso volume.

 

Quella che segue è da considerarsi come una microlezione sul concetto di equivalenza tra figure piane e solide. Serve solo a rifrescare a voi studenti quando due figure piane sono equivalenti.

 

Cosa vuol dire che due figure piane sono equivalenti? 

 

Due figure piane sono equivalenti se hanno la stessa estensione, ovvero quando le loro aree sono uguali.

 

Tutto qui? Sì, tutto qui, bé dai non proprio, diciamo che questa è la cosa fondamentale che bisogna tenere a mente. Adesso mettiamo qualche puntino sulle i: molti studenti pensano che solo figure piane congruenti siano equivalenti, intimamente suppongono che il termine "equivalente" è sinonimo di "uguale". Non è così, ragazzuoli! Ci sono ad esempio poligoni diversi e nonostante questo sono equivalenti.

 

Proviamo a vedere un esempio semplice: consideriamo due triangoli come riportati in figura

 

 

Equivalenza tra figure piane

 

 

La base del triangolo celeste è BC= 4\, u ed è congruente alla base del triangolo rosso EF. Le altezze dei due triangoli hanno la stessa lunghezza ovvero AH= 3\,u e DG= 3\, u. Calcoliamo le aree dei due triangoli utilizzando la famosissima formula:

 

\mbox{Area}= \frac{\mbox{base}\times \mbox{altezza}}{2}

 

Il triangolo celeste ha area \mbox{Area}_{1}= \frac{BC\times AH}{2}= \frac{4\, u\times 3\, u}{2}= 6 u^2.

 

Il triangolo rosso ha area \mbox{Area}_{2}=\frac{EF\times DG}{2}= \frac{4\,u\times 3\, u}{2}= 6\, u^2 .

 

I due triangoli non sono uguali, nel senso che non sono sovrapponibili, essi però hanno la stessa area e dunque sono equivalenti.

 

Equivalenze notevoli tra poligoni

 

Ci sono alcune equivalenze tra poligoni che sono particolarmente intesessanti nella risoluzione dei problemi di Geometria piana. Ecco quelle più importanti e ricorrenti:

 

- due triangoli con la stessa base e la stessa altezza sono equivalenti.

 

- Un triangolo è equivalente ad un parallelogramma che ha come base un segmento pari alla metà della base del triangolo e la stessa altezza.

 

- Un trapezio isoscele è equivalente ad un triangolo che ha come base un segmento pari alla somma delle basi del trapezio e la stessa altezza.

 

- Un qualsiasi poligono circoscritto ad una circonferenza di raggio è equivalente ad un triangolo che ha per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza.

 

L'ultima equivalenza è fondamentale perché grazie ad essa si arriva alla formula del calcolo dell'area dei poligoni circoscritti ad una circonferenza:

 

\mbox{Area}= \frac{\mbox{Perimetro}\times \mbox{apotema}}{2}

 

Equivalenza tra solidi

 

Quando abbiamo a che fare con solidi, l'equivalenza non si esprime tramite l'uguaglianza delle aree; pittosto, due solidi sono equivalenti se hanno lo stesso volume.

 

Lo stesso termine esprime quindi due cose diverse, il suo significato dipende dal contesto: occhio!

 

 


 

Questa velocissima lezione ternina qui. C'è qualcosa di non chiaro? C'è qualche esercizio ostico che non sapete risolvere? Ricordatevi che qui su YM abbiamo risposto a migliaia di domande e risolto altrettanti esercizi: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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