Piano cartesiano

In Geometria Analitica, e in particolare nella Geometria del piano, la rappresentazione di punti, rette e più in generale di un qualsiasi luogo geometrico passa dalla rappresentazione del piano cartesiano. In questa lezione spieghiamo cos'è il piano cartesiano (o riferimento cartesiano Oxy) e come permette di disegnare e descrivere mediante un sistema di coordinate (x,y) qualsiasi figura o ente geometrico piano.

 

Il sistema di coordinate che definiremo tra poco ci darà una relazione diretta tra la rappresentazione grafica - cioè il disegno della figura o del luogo geometrico - e la rappresentazione analitica, vale a dire la definizione del luogo mediante numeri, variabili, equazioni ed eventualmente disequazioni.

 

Cos'è il piano cartesiano, e come si rappresenta

 

Per disegnare il piano cartesiano è sufficiente tracciare due rette orientate e perpendicolari tra loro.

 

Rette perpendicolari e orientate per il piano cartesiano

 

Solitamente si disegnano le due rette, dette assi cartesiani, in modo che una di esse sia orizzontale e l'altra verticale. Il punto di incontro degli assi cartesiani è detto origine degli assi o più brevemente origine; la retta orizzontale è detta asse delle ascisse o asse delle x, mentre quella verticale si chiama asse delle ordinate o asse delle y. Fin qui tutto facile, no? :)

 

Origine degli assi e assi cartesiani nel piano cartesiano

 

Piano cartesiano e sistema di coordinate

 

Come abbiamo accennato inizialmente il piano cartesiano ci permette di costruire un sistema di coordinate, in cui poi sarà molto comodo rappresentare luoghi ed enti geometrici, e allo stesso modo ricavare una rappresentazione analitica delle figure piane.

 

Abbiamo due assi orientati (cioè con un verso individuato da una freccia): l'asse delle x e l'asse delle y. Essi sono orientati da sinistra a destra (ascisse) e dal basso verso l'alto (ordinate). L'idea consiste nell'usare ciascuno dei due assi per rappresentare l'insieme dei numeri reali \mathbb{R} (cioè l'insieme di tutti i numeri decimali, razionali e irrazionali).

 

Sistema di coordinate Oxy nel piano cartesiano

 

Scegliamo un'unità di misura |-| che corrisponde ad un'unità intera, cioè ad 1. Se usi i fogli a quadretti, ad esempio, ti basterà prendere come unità di riferimento un quadretto.

 

Decidiamo a questo punto di assegnare all'origine degli assi il valore x=0 sull'asse delle ascisse e y=0 sull'asse delle ordinate. Nel caso dell'asse delle x a sinistra dello zero avremo i numeri negativi, e a destra i numeri positivi. Andando da sinistra verso destra i numeri aumentano di valore. Per l'asse delle y avremo i numeri negativi al di sotto dell'origine e al di sopra dell'origine quelli positivi, e muovendoci dal basso verso l'alto i numeri aumentano di valore.

 

Ordinamento dei numeri sugli assi cartesiani

 

Con queste premesse possiamo finalmente introdurre un sistema di coordinate (x,y) nel piano, e possiamo rappresentare un qualsiasi punto del piano cartesiano mediante una coppia ordinata di numeri reali.

 

P=(x_P,y_P)

 

Coppia ordinata di numeri reali x_P,y_P\in\mathbb{R}

x_P si riferisce all'asse delle ascisse (orizzontale)

y_P si riferisce all'asse delle ordinate (verticale)

 

Chiamiamo il primo dei due numeri (x_P,y_P) l'ascissa del punto P, cioè il valore da prendere sull'asse delle x, mentre il secondo è l'ordinata del punto P, cioè il valore da prendere sull'asse delle ordinate.

 

Per individuare l'ascissa del punto P si proietta il punto perpendicolarmente sull'asse delle x

 

Ascissa del punto sull'asse delle x

 

e per trovare l'ordinata del punto si proietta il punto stesso perpendicolarmente sull'asse delle y.

 

Ordinata di un punto sull'asse delle ordinate

 

In questo modo abbiamo un vero e proprio sistema di coordinate che da una parte associa ad ogni punto del piano cartesiano una e una sola coppia di numeri - P\to (x_P,y_P) - e dall'altra sappiamo che ad una qualsiasi coppia di numeri reali corrisponderà uno ed un solo punto del piano - (x,y)\to \mbox{ punto}. Abbiamo realizzato così un tipo di corrispondenza coppie-punti che in Matematica si dice corrispondenza biunivoca.

 

Corrispondenza tra punti e coordinate (biunivoca!)

 

I numeri della coppia che individua il corrispondente punto nel piano cartesiano prendono il nome di coordinate del punto.

 
 

Esempio di rappresentazione nel piano cartesiano

 

Vediamo come rappresentare in un riferimento cartesiano Oxy il triangolo di vertici P_1=(3,3), P_2=(0,3), P_3=(3,0).

 

Svolgimento: ci basta disegnare gli assi del piano cartesiano Oxy come abbiamo fatto in precedenza, fissando un'unità di misura e graduando gli assi. Fatto ciò dobbiamo solo segnare i punti P_1,P_2,P_3

 

Esempio sul piano cartesiano

 

 


 

Ci fermiamo qui. :) Nei prossimi formulari entriamo nel vivo della Geometria Analitica, non perdeteveli...e nel frattempo se doveste avere dubbi o difficoltà non esitate e cercate le risposte che vi servono con la nostra barra di ricerca: abbiamo risolto migliaia di esercizi, spiegandoli fino all'ultima virgola. Wink

 

Búcsú, see you soon guys!

Agente Ω

 

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pbga