Coordinate polari

Le coordinate polari costituiscono un sistema di coordinate nel piano della forma (ρ,θ) in cui ogni punto del piano viene individuato univocamente da una distanza dal centro, detto polo, e da un angolo misurato a partire dal semiasse delle ascisse positive.

 

Dato un sistema di coordinate cartesiane Oxy nel piano cartesiano è sempre possibile passare ad un sistema di coordinate polari. In questo formulario spieghiamo qual è la logica che permette di definire le coordinate polari e quali sono le leggi di trasformazione che le caratterizzano, vale a dire le formule che permettono di passare da un riferimento cartesiano Oxy ad un riferimento polare, e viceversa.

 

Tenete presente che questa lezione amplia ed arricchisce il ventaglio di cambiamenti di coordinate nel piano che abbiamo studiato in precedenza. Oltre ad elencare le proprietà delle coordinate polari, nella parte finale della spiegazione ci soffermeremo su alcuni approfondimento molto utili dedicati esclusivamente agli studenti universitari di ogni livello. ;)

 

Formule per le coordinate polari

 

Per introdurre le leggi di trasformazione per le coordinate polari partiamo dal caso più semplice, quello in cui il centro del sistema di coordinate rimane fisso e non cambia, per poi estendere le formule al caso delle coordinate polari traslate.

 

Se il centro del riferimento cartesiano (origine degli assi) ed il centro del riferimento polare (polo) coincidono, e dunque O non viene modificata nel cambiamento di coordinate, allora le formule per il passaggio ad un sistema di coordinate polari sono date da

 

\begin{cases}x=\rho\cos{(\theta)}\\ y=\rho\sin{(\theta)}\end{cases}\ \ \ \rho\geq 0\ ;\ 0\leq\theta<2\pi

 

dove \rho indica il raggio in coordinate polari ed è legato alle coordinate cartesiane dalla relazione

 

\rho=\sqrt{x^2+y^2}

 

Il raggio in coordinate polari, ossia la coordinata \rho, non è altro che la distanza del generico punto (x,y) dall'origine degli assi O, secondo la formula per la distanza tra due punti. Come si vede facilmente nell'immagine seguente tale relazione deriva direttamente dal teorema di Pitagora.

 

La variabile \rho è soggetta alla limitazione \rho\geq 0, poiché la radice quadrata può assumere solamente valori positivi o nulli.

 

Coordinate polari

Coordinate polari: raggio e anomalia. 

 

La variabile \theta individua l'angolo in coordinate polari. Tale coordinata prende il nome di anomalia, viene misurata in senso antiorario a partire dal semiasse delle ascisse positive (detto asse polare).

 

Per fare in modo che il riferimento polare sia ben definito e che sussista un'effettiva corrispondenza biunivoca tra i punti (x,y) ed i punti (\rho,\theta), l'anomalia deve essere limitata a un intervallo di valori di ampiezza 2\pi (angolo giro). Ciò fa sì che vi siano infinite possibili limitazioni con cui definire un sistema di coordinate polari e tra queste le più comunemente utilizzate sono:

 

- scelta 1: limitazione 0\leq \theta <2\pi;

 

- scelta 2: limitazione -\pi\leq \theta<\pi

 

Da notare che in ciascuno dei casi considerati l'estremo destro viene escluso perché individua il medesimo angolo dell'estremo sinistro. Da parte nostra prediligeremo la limitazione 1, anche se a prescindere dalla scelta si ottengono sempre definizioni del tutto equivalenti.

 

Per ricavare l'angolo a partire dalle coordinate cartesiane si può fare riferimento (intendendo \theta \in [0,2\pi) e non \theta\in [-\pi,\pi)) alla seguente formula di trasformazione inversa per l'anomalia che coinvolge l'arcotangente

 

\theta=\left\{\begin{matrix}\frac{\pi}{2} & \mbox{ se }x=0,\ y>0\\ \frac{3\pi}{2}&\mbox{ se }x=0,\ y<0\\ \mbox{non definito} & \mbox{ se }x=0,\ y=0\\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & \mbox{ se }x>0,\ y\geq 0\\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right)+2\pi & \mbox{ se }x>0,\ y<0\mbox{ oppure se }x<0,\ y>0\\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi & \mbox{ se }x<0,\ y\leq 0\end{matrix}\right.

 

 

Nel caso in cui si voglia considerare un sistema di coordinate polari traslato, tale da mandare l'origine degli assi cartesiani in un punto C=(x_C,y_C), non dovremo fare altro che comporre le formule per il passaggio alle coordinate polari con una traslazione:

 

\begin{cases}x=x_C+\rho\cos(\theta)\\ y=y_C+\rho\sin(\theta)\end{cases}\ \ \ \rho\geq 0\ ;\ 0\leq\theta<2\pi

 

Proprietà di un sistema di coordinate polari

 

1) Le semirette con origine nel polo hanno equazione della forma \theta=\mbox{costante}.

 

 

2) Una circonferenza con centro nel polo e raggio R ha equazione della forma \rho=R.

 

 

3) Tutti i punti dell'asse polare hanno anomalia nulla.

 

 

4) Il polo ha anomalia indeterminata e raggio nullo.

 

Coordinate polari e circonferenza

 

Come si individuano le leggi di trasformazione che abbiamo scritto per le coordinate polari? Chi ha buona dimestichezza con la Trigonometria non avrà alcun problema nel desumere le formule partendo dalla precedente immagine; per i meno esperti vale la pena di spendere qualche parola in più.

 

Se consideriamo una circonferenza di raggio R e centro l'origine degli assi

 

x^2+y^2=R^2

 

e un punto P=(x,y) su tale circonferenza, situato nel primo quadrante, possiamo ragionare sul triangolo rettangolo con ipotenusa data dal raggio \overline{OP} e terzo vertice dato dalla proiezione H=(x,0) di P sul semiasse delle ascisse positive. Indichiamo con \theta l'angolo formato dall'ipotenusa rispetto al semiasse delle ascisse positive e misurato in senso antiorario.

 

Facendo riferimento alle definizioni di seno e coseno di un angolo possiamo calcolare:

 

\\ x=R\cos(\theta)\\ \\ y=R\sin(\theta)

 

In questo modo individuiamo univocamente ogni punto della circonferenza al variare dell'anomalia 0\leq\theta<2\pi. Immaginando di coprire il piano cartesiano con circonferenze di raggio \rho\geq 0 riusciamo ad individuare univocamente qualsiasi punto (x,y)

 

\\ x=\rho\cos(\theta)\\ \\ y=\rho\sin(\theta)

 

 Applicazioni ed approfondimenti sulle coordinate polari

 

Come promesso ecco alcuni approfondimenti che potrebbero interessare ai nostri lettori universitari e ai più curiosi:

 

- le coordinate polari si rivelano estremamente utili nello studio dei numeri complessi ed in particolare nella definizione i modulo e argomento;

 

- in Analisi 2 il passaggio ad un sistema polare può essere un vero e proprio salvavita, basti pensare ai limiti in due variabili e agli integrali doppi (in quest'ultimo caso è bene non dimenticarsi dello Jacobiano);

 

- una variante più generale delle coordinate polari è data dalle coordinate ellittiche;

 

- le coordinate polari vengono estese in modo naturale alle tre dimensioni nei cosiddetti sistemi di coordinate cilindriche; il loro equivalente tridimensionale è invece dato dalle coordinate sferiche.

 

 


 

Come potete notare non c'è alcuna scheda di esercizi correlati, perché le applicazioni delle coordinate polari sono praticamente illimitate in Matematica. Il miglior suggerimento che possiamo darvi riguarda l'uso della barra di ricerca interna per trovare tutto quello che vi serve, qui su YM. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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