Coordinate polari

Dato un sistema di coordinate cartesiane Oxy nel piano cartesiano è sempre possibile passare ad un sistema di coordinate polari.

 

Formule per le coordinate polari

 

Se il centro del riferimento cartesiano rimane invariato, e dunque rimane l'origine degli assi (in coordinate polari prende il nome di polo), allora le formule per il passaggio ad un sistema di coordinate polari sono date da

 

\begin{cases}x=\rho\cos{(\theta)}\\ y=\rho\sin{(\theta)}\end{cases}

 

dove \rho indica il raggio in coordinate polari, è una variabile soggetta alla limitazione \rho\geq 0 ed è legata alle coordinate cartesiane dalla relazione

 

\rho=\sqrt{x^2+y^2}

 

relazione che deriva direttamente dal teorema di Pitagora: il raggio in coordinate polari individua infatti la distanza del punto (x,y) dall'origine del sistema di coordinate.

 

Coordinate polari

 

La variabile \theta, invece, individua l'angolo in coordinate polari ed è soggetto alla limitazione 0\leq \theta <2\pi, e prende talvolta il nome di anomalia. L'angolo viene misurato a partire dal semiasse delle ascisse positive, che in coordinate polari prende il nome di asse polare.

 

Per ricavare l'angolo a partire dalle coordinate cartesiane si può fare riferimento (intendendo \theta \in [0,2\pi) e non \theta\in [-\pi,\pi)) alla seguente formula di trasformazione inversa

 

\theta=\begin{cases}\frac{\pi}{2}\mbox{ se }x=0,\ y>0\\ \frac{3\pi}{2}\mbox{ se }x=0,\ y<0\\ \mbox{ non definito se }x=0,\ y=0\\ \arctan{\left(\frac{y}{x}\right)}\mbox{ se }x>0,y\ge 0\\ \arctan{\left(\frac{y}{x}\right)}+2\pi\mbox{ se }x>0, y<0\mbox{ oppure se } x<0, y>0\\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi\mbox{ se }x<0, y\le 0\end{cases}

 

 

Nel caso in cui si voglia considerare un sistema di coordinate polari traslato, tale da mandare l'origine degli assi cartesiani in un punto C=(x_C,y_C), non dovremo fare altro che comporre le formule per il passaggio alle coordinate polari con una traslazione:

 

\begin{cases}x=x_C+\rho\cos{(\theta)}\\ y=y_C+\rho\sin{(\theta)}\end{cases}

 
 

Proprietà di un sistema di coordinate polari

 

1) Le rette passanti per il polo hanno equazione della forma \theta=\mbox{costante};

 

 

2) Una circonferenza con centro nel polo ha equazione della forma \rho=\mbox{raggio}, dove "raggio" è il raggio della circonferenza.

 

 

3) Tutti i punti dell'asse polare hanno anomalia nulla.

 

 

4) Il polo ha anomalia indeterminata e raggio nullo.

 

 


 

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