Cambiamenti di coordinate nel piano

I cambiamenti di coordinate nel piano sono trasformazioni geometriche che permettono di passare da un sistema di coordinate ad un altro e che possono essere espresse analiticamente mediante leggi di trasformazione.

 

Questo formulario contiene tutte le formule sui cambiamenti di coordinate nel piano, le trasformazioni di coordinate e leggi di trasformazione: è lungo, è vero, ma è meglio leggere due minuti in più piuttosto che googolare per mezz'ora. ;) È utile sia per gli studenti delle scuole superiori che per gli universitari, ai quali dedichiamo a fine pagina un piccolo approfondimento extra.

 

Per non appesantire troppo la lezione ci limitiamo a classificare le trasformazioni riportandone una breve definizione e le formule caratteristiche. Per una spiegazione estesa con disegni ed esempi vi rimandiamo alla lettura delle pagine dei link correlati o eventualmente alla panoramica sulle trasformazioni geometriche nel piano.

 

Formule per i cambiamenti di coordinate

 

Passiamo in rassegna tutte le principali formule che riguardano i cambiamenti di coordinate nel piano cartesiano. Tutte le le leggi di trasformazione di cui ci occupiamo riguardano il passaggio tra due sistemi di coordinate cartesiane.

 

Nel formulario successivo trattiamo a parte il caso delle celeberrime coordinate polari, mentre in una pagina a parte potete leggere a proposito delle coordinate ellittiche (molto poco frequenti alle scuole superiori, a dire il vero).

 

Traslazione

 

Una traslazione mediante un vettore \overline{v}=(a,b) consiste in uno spostamento di tutti i punti del piano lungo la direzione di \overline{v} di una lunghezza pari a |v|=\sqrt{a^2+b^2}

 

 \begin{cases}x'=x+a\\ y'=y+b\end{cases}

 

Rotazione di centro l'origine O e di un angolo θ

 

Una rotazione di centro l'origine degli assi e angolo \theta sposta i punti rispetto al centro (origine), che nella rotazione rimane fisso, ruotandoli in senso antiorario di un angolo pari a \theta. Le seguenti leggi permettono di passare dal riferimento Oxy al riferimento Ox'y'

 

 \begin{cases}x'=x\cos{(\theta)}-y\sin{(\theta)}\\ y'=x\sin{(\theta)}+y\cos{(\theta)}\end{cases}

 

Rototraslazione

 

Una rototraslazione è la composizione di due trasformazioni di coordinate: una rotazione e una traslazione, o viceversa. Non ci sono formule da imparare a memoria se ci ricordiamo le formule per la rotazione e per la traslazione: è sufficiente effettuare prima una trasformazione e poi l'altra.

 

Simmetria centrale

 

Una simmetria centrale di centro C=(x_C,y_C) scambia gli estremi di qualsiasi segmento che abbia come punto medio il centro di simmetria centrale C

 

\begin{cases}x'=2x_c-x\\ y'=2y_c-y\end{cases}

 

Simmetria assiale

 

Una simmetria assiale rispecchia tutti i punti rispetto ad un asse di simmetria. In altri termini, riflette i punti lungo la perpendicolare all'asse di simmetria, condotta dal punto, mantenendo inalterata la distanza dall'asse. La simmetria assiale, chiaramente, dipende dall'asse che si considera.

 

Rispetto all'asse delle ascisse y=0:

 

 \begin{cases}x'=x\\ y'=-y\end{cases}

 

Rispetto all'asse delle ordinate x=0:

 

 \begin{cases}x'=-x\\ y'=y\end{cases}

 

Rispetto a una retta parallela all'asse delle ascisse y=c:

 

 \begin{cases}x'=x\\ y'=-y+2c\end{cases}

 

Rispetto a una retta parallela all'asse delle ordinate x=c:

 

 \begin{cases}x'=-x+2c\\ y'=y\end{cases}

 

Rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante y=x:

 

 \begin{cases}x'=y\\ y'=x\end{cases}

 

Rispetto alla bisettrice del secondo-quarto quadrante y=-x:

 

 \begin{cases}x'=-y\\ y'=-x\end{cases}

 

Omotetia

 

Un'omotetia, fissato un centro di omotetia, lascia invariate le rette passanti per il centro dell'omotetia e, per qualsiasi punto del piano, dilata il segmento che congiunge il punto al centro dell'omotetia riflettendolo al di là del centro secondo un rapporto di omotetia (fissato).

 

Omotetia di centro O=(0,0) e rapporto c

 

\begin{cases}x'=cx\\ y'=cy\end{cases}

 

Omotetia di centro C=(x_C,y_C) e rapporto c

 

\begin{cases}x'=cx+x_C(1-c)\\ y'=cy+y_C(1-c)\end{cases}

 

Come applicare un cambiamento di coordinate

 

Quelle che abbiamo appena visto sono le formule che definiscono analiticamente i cambiamenti di coordinate piane più ricorrenti negli esercizi e nei problemi di Geometria Analitica. La domanda sorge spontanea: nella pratica come si applica una legge di cambiamento di coordinate?

 

Immaginiamo di avere un riferimento cartesiano Oxy e di voler passare ad un nuovo sistema di coordinate O'x'y' mediante una particolare trasformazione. Per applicarla ad un punto o ad un luogo geometrico procederemo nel modo seguente:

 

- per trasformare un punto P=(x_P,y_P) ne sostituiremo semplicemente le coordinate x_P,y_P nelle leggi di trasformazione al posto di x,y, ottenendo così le coordinate x_P',y_P' del punto P' nel nuovo riferimento;

 

- per trasformare un luogo geometrico dobbiamo partire dall'equazione che lo definisce. Per procedere ricaviamo dal cambiamento di coordinate le leggi di trasformazione inversa, vale a dire le formule che esprimono x,y in funzione di x',y', e le sostituiamo nell'equazione del luogo geometrico.

 

Esempi sui cambiamenti di coordinate

 

1) Effettuare una traslazione mediante il vettore (1,2) ed individuare:

 

- le coordinate del punto P=(5,5) nel nuovo riferimento di coordinate;

 

- l'equazione della circonferenza x^2+y^2=1 nel nuovo riferimento.

 

Svolgimento: partiamo dalle leggi che definiscono la traslazione

 

\begin{cases}x'=x+1\\ y'=y+2\end{cases} 

 

Per calcolare le coordinate del punto nel nuovo riferimento sostituiamo le coordinate del punto nelle leggi che descrivono la traslazione

 

\begin{cases}x'_P=x_P+1\\ y'_P=y_P+2\end{cases}\ \to\ \begin{cases}x'_P=5+1=6\\ y'_P=5+2=7\end{cases}\ \to\ P'=(5,6)

 

Per determinare l'equazione della circonferenza nel nuovo riferimento invertiamo le leggi del cambiamento di coordinate

 

\begin{cases}x=x'-1\\ y=y'-2\end{cases}

 

e le sostituiamo nell'equazione della circonferenza

 

(x'-1)^2+(y'-2)=1

 

Come ci aspettavamo la traslazione conduce alla circonferenza di centro (1,2) e ne lascia invariato il raggio.

 

 

2) Effettuare una rotazione con centro l'origine degli assi, in senso antiorario e di un angolo pari a 90°. Scrivere:

 

- le coordinate del punto P=(1,0);

 

- dell'ellisse \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1

 

nel nuovo sistema di coordinate.

 

Svolgimento: anche in questo esempio dobbiamo scrivere le leggi che esprimono il cambiamento di coordinate, ossia una rotazione di 90° in senso antiorario

 

\begin{cases}x'=x\cos(90^o)-y\sin(90^o)\\ y'=x\sin(90^o)+y\cos(90^o)\end{cases} 

 

Seno e coseno di 90° valgono rispettivamente 1 e 0

 

\begin{cases}x'=-y\\ y'=x\end{cases}

 

Da qui è facile calcolare le coordinate del punto P'

 

\begin{cases}x'_P=-y_P\\ y'_P=x_P\end{cases}\ \to\ \begin{cases}x'_P=0\\ y'_P=1\end{cases}\ \to\ P'=(0,1)

 

Com'era facilmente intuibile, nel nuovo riferimento il punto P è passato dall'asse x all'asse y. Per quanto concerne l'equazione dell'ellisse ricaviamo le leggi della trasformazione inversa

 

\begin{cases}x=y'\\ y=-x'\end{cases}

 

da cui

 

\frac{y'^2}{2}+\frac{(-x')^2}{3}=1\ \to\ \frac{x'^2}{3}+\frac{y'^2}{2}=1

 

e si vede che nell'ellisse vengono invertiti gli assi mentre il centro resta invariato, poiché il suo centro coincide con il centro della rotazione O=(0,0)

 

 

Cambiamento di coordinate: rotazione ellisse

In blu l'ellisse nel sistema di coordinate Oxy;
in lilla l'ellisse per come appare nel nuovo riferimento. 

 

 


 

Eccoci alla conclusione. Nel formulario successivo passeremo a parlare delle coordinate polari, un caso notevole di passaggio da un riferimento di coordinate cartesiane ad un sistema non cartesiano.

 

Nell'introduzione avevamo promesso una chicca per gli universitari e non intendiamo di certo deluderli: chiunque stesse affrontando il corso di Analisi 2 troverà sicuramente conforto nella lettura della lezione sullo Jacobiano dei cambiamenti di coordinate... ;)

 

È tutto! Se volete consultare degli esercizi svolti vi rimandiamo all'uso della barra di ricerca interna; se invece volete correggere i risultati dei vostri problemi potete aiutarvi con il tool per disegnare luoghi geometrici online

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: formule per i cambiamenti di coordinate nel piano e leggi di trasformazione delle coordinate.

 

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