Cambiamenti di coordinate nel piano

Questo formulario contiene tutte le formule sui cambiamenti di coordinate nel piano, le trasformazioni di coordinate e leggi di trasformazione: è lungo, è vero, ma è meglio leggere due minuti in più piuttosto che googolare per mezz'ora. Wink

 

Formule per i cambiamenti di coordinate

 

Presentiamo tutte le principali formule che riguardano i cambiamenti di coordinate nel piano cartesiano Laughing

 
 

Traslazione

 

Una traslazione di un vettore \overline{v}=(a,b) consiste in uno spostamento di tutti i punti del piano lungo la direzione di \overline{v} di una lunghezza pari a |v|=\sqrt{a^2+b^2}

 

 \begin{cases}x'=x+a\\ y'=y+b\end{cases}

 

Rotazione di centro l'origine O e di un angolo θ

 

Una rotazione di centro l'origine degli assi e angolo \theta sposta i punti rispetto al centro (origine), che nella rotazione rimane fisso, ruotandoli in senso antiorario di un angolo pari a \theta. Le seguenti leggi permettono di passare dal riferimento Oxy al riferimento Ox'y'

 

 \begin{cases}x'=x\cos{(\theta)}-y\sin{(\theta)}\\ y'=x\sin{(\theta)}+y\cos{(\theta)}\end{cases}

 

Rototraslazione

 

Una rototraslazione è la composizione di due trasformazioni di coordinate: una rotazione e una traslazione, o viceversa. Non ci sono formule da imparare a memoria, se conosci già le formule per la rotazione e per la traslazione: è sufficiente effettuare prima una trasformazione e poi l'altra! Wink 

 

Simmetria centrale

 

Una simmetria centrale di centro C=(x_C,y_C) scambia gli estremi di qualsiasi segmento che abbia come punto medio il centro di simmetria centrale C

 

\begin{cases}x'=2x_c-x\\ y'=2y_c-y\end{cases}

 

Simmetria assiale

 

Una simmetria assiale rispecchia tutti i punti rispetto all'asse di simmetria. In altri termini, riflette i punti lungo la perpendicolare all'asse di simmetria, condotta dal punto, mantenendo inalterata la distanza dall'asse. La simmetria assiale, chiaramente, dipende dall'asse che si considera.

 

Rispetto all'asse delle ascisse y=0 :

 

 \begin{cases}x'=x\\ y'=-y\end{cases}

 

Rispetto all'asse delle ordinate x=0 :

 

 \begin{cases}x'=-x\\ y'=y\end{cases}

 

Rispetto a una retta parallela all'asse delle ascisse y=c :

 

 \begin{cases}x'=x\\ y'=-y+2c\end{cases}

 

Rispetto a una retta parallela all'asse delle ordinate x=c :

 

 \begin{cases}x'=-x+2c\\ y'=y\end{cases}

 

Rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante y=x :

 

 \begin{cases}x'=y\\ y'=x\end{cases}

 

Rispetto alla bisettrice del secondo-quarto quadrante y=-x :

 

 \begin{cases}x'=-y\\ y'=-x\end{cases}

 

Omotetia

 

Un'omotetia, fissato un centro di omotetia, lascia invariate le rette passanti per il centro dell'omotetia e, per qualsiasi punto del piano, dilata il segmento che congiunge il punto al centro dell'omotetia riflettendolo al di là del centro per un rapporto di omotetia (fissato)

 

Omotetia di centro O=(0,0) e rapporto c

 

\begin{cases}x'=cx\\ y'=cy\end{cases}

 

Omotetia di centro C=(x_C,y_C) e rapporto c

 

\begin{cases}x'=cx+x_C(1-c)\\ y'=cy+y_C(1-c)\end{cases}

 

 


 

Se dovessi avere dubbi, se ci fosse qualcosa che non è chiaro, se c'è un esercizio che non riesci a svolgere...cerca le risposte ai tuoi problemi con la nostra barra di ricerca, oppure apri una discussione nel ForumLaughing

 

Namasté!

Agente Ω

 

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