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Funzione omografica

 

Le funzioni omografiche, queste sconosciute...Laughing  

 


Definizione (funzione omografica)

 

Si definisce funzione omografica una qualsiasi funzione individuata da una funzione della forma

 

 

 y=\frac{ax+b}{cx+d}

 

Dove a,b,c,d\in\mathbb{R} sono costanti reali.

 

Un'equazione del genere può individuare diversi tipi di luoghi geometrici nel piano cartesiano, a seconda dei valori che assumono le costanti a,b,c,d.

 

.. Funzioni omografiche

 

In particolare, una funzione omografica può avere come supporto (grafico):

 

 

1. Una retta;

2. Una retta orizzontale (parallela all'asse delle ascisse);

3. Un'iperbole equilatera con asintoti che non coincidono con gli assi cartesiani, ma paralleli agli assi cartesiani.

 

 

Le condizioni da richiedere sui coefficienti della funzione omografica affiché si presenti uno specifico caso tra 1, 2, e 3 sono le seguenti.

 

 

Retta

 

Una funzione omografica ha per grafico una retta se c=0. In tal caso, infatti, l'equazione diventa proprio l'equazione di una retta in forma esplicita

 

y=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}

 

 

Retta orizzontale


Una funzione omografica ha per grafico una retta orizzontale se ad=bc. In tal caso, infatti, osservando che d=bc/a otteniamo

 

y=\frac{a}{c}

 

 

Iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani, ma non coincidenti con essi 

 

Una funzione omografica ha per grafico un'iperbole equilatera se c\neq 0 e ad\neq bc. In tale eventualità:

 

le equazioni degli asintoti dell'iperbole equilatera sono dati da

 

y=\frac{a}{c}\mbox{, }x=-\frac{d}{c}

 

Il centro di simmetria ha coordinate:

 

O \left(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c} \right)

 

 

E' utile inoltre determinare la costante

 

k=\left| \frac{ad-bc}{c^2} \right|

 

grazie alla quale sarà una passeggiata determinare le coordinate di vertici e fuochi dell'iperbola equilatera. Infatti:

 

le coordinate dei fuochi sono date da

 

F_1 \left(-\frac{d}{c}+\sqrt{2k}, \ \frac{a}{c}+\sqrt{2k}\right)\ \ \mbox{ e }\ \ F_2 \left( -\frac{d}{c}-\sqrt{2k}, \ \frac{a}{c}-\sqrt{2k}\right)

 

mentre le coordinate dei vertici sono date da

 

V_1 \left(-\frac{d}{c}+\sqrt{k}, \ \frac{a}{c}+\sqrt{k} \right)\ \ \mbox{ e }\ \ V_2 \left( -\frac{d}{c}-\sqrt{k}, \ \frac{a}{c}-\sqrt{k}\right)

 

 


 

Se dovessi avere dubbi, se ci fosse qualcosa che non è chiaro, se c'è un esercizio che non riesci a svolgere...apri una discussione nel ForumLaughing

 

Namasté!

Agente Ω

 

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Utile?  

 


Tags: funzione omografica nel piano cartesiano - tutte le formule sulle funzioni omografiche - formulario  sulle funzioni omografiche.

 

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