Funzione omografica

Una funzione omografica è una funzione del tipo y=(ax+b)/(cx+d) che, nel piano cartesiano, può dar luogo a tre diversi tipi di luoghi geometrici a seconda dei valori dei coefficienti a,b,c,d: un'iperbole equilatera, una retta o una retta orizzontale.

 

In questo formulario ci occupiamo della famiglia delle cosiddette funzioni omografiche e ne proponiamo la classificazione a partire dallo studio dell'equazione. Tutta la spiegazione ruoterà intorno all'analisi dell'equazione di una funzione omografica che, come vedremo, ci rimanderà a luoghi geometrici a noi ben noti.

 

Definizione di funzione omografica

 

Per definizione una funzione omografica è una qualsiasi funzione rappresentata da un'espressione analitica, o meglio da un'equazione, della forma

 

 y=\frac{ax+b}{cx+d}

 

dove a,b,c,d\in\mathbb{R} sono coefficienti reali, da intendersi come costanti, e tali che c,d non siano entrambi nulli.

 

Al variare dei coefficienti la precedente equazione può individuare diversi tipi di luogo geometrico nel piano cartesiano. In particolare, una funzione omografica può avere come supporto (grafico):

 

- una retta;

 

- una retta orizzontale (parallela all'asse delle ascisse);

 

- un'iperbole equilatera traslata riferita agli asintoti, ossia un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti in cui gli asintoti non coincidono con gli assi cartesiani, ma sono paralleli ad essi.

 

 

Funzioni omografiche

Funzione omografica: diversi possibili luoghi geometrici.

 

 

La logica dell'equazione è la stessa che abbiamo già studiato nei vari formulari di Geometria Analitica dedicati agli altri luoghi geometrici espressi sotto forma di equazione: un punto di coordinate cartesiane P=(x,y) appartiene al luogo geometrico rappresentato dall'equazione se e solo se le sue coordinate soddisfano l'equazione.

 

Classificazione delle funzioni omografiche

 

Abbiamo appena scritto che una funzione omografica può rappresentare una retta, una retta orizzontale oppure un'iperbole equilatera. La domanda che ci poniamo è la seguente: quali sono le condizioni da imporre sui coefficienti della funzione omografica affiché si presenti uno specifico caso tra quelli possbili?

 

Prima di tutto dobbiamo spendere qualche parola riguardo ai possibili valori dei coefficienti nella definizione di funzione omografica. Dal momento che la divisione per zero non ha senso, nella generica equazione della funzione omografica i coefficienti presenti a denominatore non possono essere entrambi nulli. In simboli possiamo scrivere

 

c\neq 0\ \vee\ d\neq 0

 

Tale condizione va letta come "c diverso da zero oppure d diverso da zero", e deve valere in generale.

 

 

Retta come funzione omografica

 

Se c=0 la funzione omografica ha per grafico una retta.

 

y=\frac{ax+b}{d}\ \ \ \mbox{con }d\neq 0

 

In tal caso, infatti, abbiamo l'equazione di una retta in forma esplicita

 

y=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}

 

Se consideriamo questo caso specifico, la definizione impone automaticamente che sia d\neq 0, altrimenti la precedente equazione non avrebbe significato. Si noti in particolare che l'equazione appena scritta include le rette orizzontali per a=0 ma non contempla le rette verticali, la cui equazione è del tipo x=k con k un numero. Non è infatti possibile elidere la variabile dipendente y.

 

Per dimostrare che una funzione omografica nel caso c=0 si riduce a una retta basta osservare che la precedente equazione è della forma

 

y=mx+q

 

e quindi conoscendo i valori dei coefficienti a,b,d possiamo calcolarne immediatamente il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine con le formule

 

m=\frac{a}{d}\ \ \ ;\ \ \ q=\frac{b}{d}

 

Se intendiamo la precedente formula come l'espressione analitica di una funzione reale di variabile reale y=f(x), il dominio di una funzione omografica nel caso della retta è ovviamente

 

Dom(f)=\mathbb{R}\ \ \ (\forall x)

 

Possiamo infatti valutare il membro di destra per qualsiasi valore di x (ascissa), ottenendo un corrispondente valore di ordinata y. Notate infatti che essendo c=0 il denominatore non contiene la variabile x e non può annullarsi per alcun valore di x.

 

 

Retta orizzontale come funzione omografica

 

Se c\neq 0 e ad=bc la funzione omografica ha per grafico una retta orizzontale tranne che nel punto x=-\frac{d}{c}, in cui non è definita.

 

y=\frac{ax+b}{cx+d}\ \ \ \mbox{con }\begin{cases}c\neq 0\mbox{ condizione base}\\ ad=bc\end{cases}

 

Per la dimostrazione è sufficiente osservare che le due condizioni ci permettono di scrivere

 

b=\frac{ad}{c}

 

e sostituendo tale espressione nell'equazione, ricaviamo

 

y=\frac{ax+\frac{ad}{c}}{cx+d}\ \to\ y=\frac{acx+ad}{c(cx+d)}

 

Ora possiamo effettuare un raccoglimento a fattor comune a numeratore e semplificare

 

y=\frac{a(cx+d)}{c(cx+d)}\ \to\ y=\frac{a}{c}

 

Abbiamo così dimostrato che in ogni caso, nelle ipotesi c\neq 0 e ad=bc, le funzioni omografiche corrispondono ad una retta orizzontale priva di un punto. È importante sottolineare che sotto tali ipotesi l'espressione della funzione omografica si riduce a y=\frac{a}{c} per tutti i punti x\neq -\frac{c}{d}. L'espressione iniziale non può essere valutata nel punto x=-\frac{d}{c} .

 

Riguardo al dominio: se in questo caso vogliamo considerare la funzione omografica come una funzione reale di variabile reale, dobbiamo considerare l'espressione analitica nella sua forma iniziale. Poiché non è possibile dividere per zero, il denominatore non deve annullarsi e quindi dobbiamo escludere il valore x=-\frac{d}{c}

 

Dom(f)=\mathbb{R}-\left\{-\frac{d}{c}\right\}\ \ \ \left(\forall x\neq -\frac{d}{c}\right)

 

Per qualsiasi altro valore di ascissa l'espressione originaria, intesa come frazione algebrica, è equivalente ad una costante, per cui ci riduciamo ad una funzione costante (assume lo stesso valore per ogni scelta di x\neq -\frac{d}{c}).

 

 

Osservazione (funzioni omografiche e rette)

 

Unendo le possibilità fornite dal primo e dal secondo caso si vede che la famiglia delle funzioni omografiche include le rette ad eccezione delle rette verticali (click per le formule).

 

 

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e traslata come funzione omografica

 

Nel formulario sull'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti abbiamo trattato unicamente le iperboli equilatere con centro nell'origine degli assi, esprimendole con un'equazione della forma xy=k, e non ci siamo occupati delle iperboli equilatere riferite ai propri asintoti e traslate.

 

Se c\neq 0 e ad\neq bc la funzione omografica ha per grafico un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e traslata

 

y=\frac{ax+b}{cx+d}\ \ \ \mbox{con }\begin{cases}c\neq 0\mbox{ condizione base}\\ ad\neq bc\end{cases}

 

Notate che la condizione ad\neq cd congiunta alla condizione c\neq 0 esclude qualsiasi tipo di retta.

 

In questo contesto ci sono alcune formule per gli elementi caratteristici della funzione omografica (intesa come iperbole equilatera) che possono risultare utili nella risoluzione degli esercizi.

 

Le equazioni degli asintoti dell'iperbole equilatera sono dati da

 

y=\frac{a}{c}\ \ \ ;\ \ \ x=-\frac{d}{c}

 

Il centro di simmetria ha coordinate:

 

C=\left(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right)

 

È utile inoltre determinare la costante

 

k=\frac{bc-ad}{c^2}

 

che consente di determinare le coordinate di vertici e fuochi dell'iperbola equilatera.

 

Le coordinate dei vertici sono date da

 

\\ \mbox{se }k>0\ \to\ V_1=\left(-\frac{d}{c}-\sqrt{k},\frac{a}{c}-\sqrt{k}\right)\ ;\ V_2=\left(-\frac{d}{c}+\sqrt{k},\frac{a}{c}+\sqrt{k}\right)\\ \\ \\ \mbox{se }k<0\ \to\ V_1=\left(-\frac{d}{c}-\sqrt{|k|},\frac{a}{c}+\sqrt{|k|}\right)\ ;\ V_2=\left(-\frac{d}{c}+\sqrt{|k|},\frac{a}{c}-\sqrt{|k|}\right)

 

e la lunghezza del semiasse trasverso è

 

\mbox{semiasse trasverso}=\sqrt{2|k|}

 

Le coordinate dei fuochi sono date da

 

\\ \mbox{se } k>0\ \to\ F_1=\left(-\frac{d}{c}-\sqrt{2k},\frac{a}{c}-\sqrt{2k}\right)\ \ \ ;\ \ \ F_2=\left(-\frac{d}{c}+\sqrt{2k},\frac{a}{c}+\sqrt{2k}\right)\\ \\ \\ \mbox{se } k<0\ \to\ F_1=\left(-\frac{d}{c}-\sqrt{2|k|},\frac{a}{c}+\sqrt{2|k|}\right)\ \ \ ;\ \ \ F_2=\left(-\frac{d}{c}+\sqrt{2|k|}, \ \frac{a}{c}-\sqrt{2|k|}\right)

 

e la semidistanza focale è pari a

 

\mbox{semidistanza focale}=2\sqrt{|k|}

 

Si osservi che a causa dell'eventualità k<0 abbiamo dovuto utilizzare il valore assoluto. Non fatevi intimorire dalle formule che abbiamo appena scritto: se fate riferimento alle formule per l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, noterete che differiscono da esse a meno di una traslazione!

 

In questa sede preferiamo omettere la dimostrazione per cui l'equazione della funzione omografica, soggetta alle precedenti condizioni, porta a concludere che essa individua un'iperbole equilatera traslata riferita ai propri asintoti. Niente di difficile comunque: si tratta di applicare una semplice traslazione dal centro C=\left(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right) all'origine degli assi O=(0,0) e applicare le opportune formule di cambiamento delle coordinate:

 

\begin{cases}x'=x+\frac{d}{c}\\ y'=y-\frac{a}{c}\end{cases}

 

Sostituendo le leggi di trasformazione inversa nell'equazione y=\frac{ax+b}{cx+d}

 

\begin{cases}x=x'-\frac{d}{c}\\ y=y'+\frac{a}{c}\end{cases}

 

con una manciata di calcoli si ricava l'equazione

 

x'y'=k\ \ \ \ \ \mbox{con }k=\frac{bc-ad}{c^2}

 

Per concludere, il dominio della funzione omografica intesa come iperbole equilatera traslata è banalmente

 

Dom(f)=\mathbb{R}-\left\{-\frac{d}{c}\right\}\ \ \ \left(\forall x\neq -\frac{d}{c}\right)

 

Il valore di ascissa x=-\frac{d}{c} va escluso perché annullerebbe il denominatore e non a caso individua proprio l'equazione dell'asintoto verticale.

 

Esempi sulla funzione omografica

 

Vediamo degli esempi sulle funzioni omografiche e sulla classificazione in base ai coefficienti che compaiono nell'equazione.

 

1) Che tipo di luogo geometrico individua la funzione omografica di equazione y=\frac{3x+4}{6}\ ?

 

Svolgimento: poiché nel denominatore non compare la variabile x ne deduciamo che c=0 e quindi la funzione omografica è una retta. In particolare essa ha equazione

 

y=\frac{x}{2}+\frac{2}{3}

 

2) Classificare la funzione omografica di equazione y=\frac{2x+5}{4x+10}.

 

Svolgimento: osservando i coefficienti di numeratore e denominatore sorge un sospetto. Prima di tutto notiamo che c\neq 0, per cui non ricadiamo nel primo caso.

 

Lavoriamo sull'altra condizione caratteristica e calcoliamo

 

\\ ad=2\cdot 10=20\\ \\ bc=5\cdot 4=20

 

Poiché risulta ad=bc concludiamo che la funzione omografica individua una retta orizzontale tranne che per il valore

 

x=-\frac{d}{c}=-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}

 

Per tutti gli altri valori possiamo semplificare numeratore e denominatore e passare ad un'espressione algebrica equivalente

 

y=\frac{2x+5}{2(2x+5)}=\frac{1}{2}

 

In termini generali, se escludiamo il valore d'ascissa che annulla il denominatore, una funzione omografica si riduce ad una retta orizzontale se e solo se numeratore e denominatore sono l'uno un multiplo dell'altro.

 

 

3) Qual è il grafico della funzione omografica di equazione y=\frac{-2x+7}{x+2}\ ?

 

Svolgimento: poiché c\neq 0 passiamo alla seconda condizione caratteristica:

 

\\ ad=(-2)\cdot 2=-4 \\ \\ bc=7\cdot 1=7

 

Essendo ad\neq bc e c\neq 0 ne deduciamo che la funzione omografica ha per grafico un'iperbole equilatera traslata riferita ai propri asintoti.

 

Il dominio della funzione omografica è costituito da ogni valore d'ascissa ad eccezione di

 

x=-\frac{d}{c}=-2

 

che è proprio l'equazione dell'asintoto verticale.

 

 


 

Abbiamo finito! Se volete esercitarvi vi raccomandiamo di consultare la scheda correlata di esercizi svolti, e se non bastassero di usare la barra di ricerca interna per ulteriori esempi e problemi risolti. Infine, ricordate che potrete sempre usufruire del tool per il grafico online per correggere i risultati dei vostri esercizi. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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