Iperbole e iperbole equilatera

L'iperbole in Geometria Analitica è il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi, ed è una conica. L'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è un'iperbole con gli asintoti perpendicolari coincidenti con gli assi.

 

In questo formulario presentiamo tutte le principali formule dell'iperbole e le formule dell'iperbole equilatera nel piano cartesiano, presentandone le equazioni e ponendo particolare attenzione alle formule per il calcolo delle coordinate dei fuochi, per le equazioni degli asintoti e dell'eccentricità.

 

Dapprima presentiamo la definizione di iperbole mettendone in mostra l'equazione, gli elementi caratteristici ed elencando le formule utili per la risoluzione dei problemi e degli esercizi di Geometria Analitica. Nella seconda parte della lezione passiamo a trattare il caso particolare dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Non proporremo particolari esempi nel corso della spiegazione, ma troverete link di approfondimento ed una scheda di esercizi svolti che vi schiariranno le idee in caso di dubbi. ;)

 

Iperbole nel piano cartesiano

 

Per prima cosa vediamo qual è la definizione di iperbole: si definisce iperbole il luogo geometrico dei punti del piano tali per cui la differenza delle distanze da due punti fissi F_1,F_2, detti fuochi, è costante.

 

 

Definizione di iperbole

Definizione di iperbole mediante i fuochi.

 

 

Per tradurre in termini algebrici la definizione è sufficiente considerare un generico punto P dell'iperbole ed imporre

 

|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=\mbox{costante}

 

Si noti che tale condizione è simile a quella che definisce l'ellisse; qui però abbiamo a che fare con una differenza ed è necessario ricorrere al valore assoluto affinché la definizione sia ben posta: in generale non sappiamo quale tra \overline{PF_1},\overline{PF_2} sia la lunghezza maggiore.

 

 

Iperbole

 Iperbole con centro nell'origine che interseca l'asse x

Iperbole orizzontale

 Iperbole con centro nell'origine che interseca l'asse y

 

 

Come si vede dalle rappresentazioni un'iperbole è sempre caratterizzata da due assi di simmetria perpendicolari tra loro. La precedente equazione in P può produrre qualsiasi tipo di iperbole; qui di seguito ci limiteremo a considerare il caso dell'iperbole con assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani o paralleli ad essi (fatta eccezione per l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti), perché è l'unico caso che viene trattato alle scuole superiori. Il caso generale con gli assi disposti diversamente nel piano cartesiano è oggetto di studio solamente nei corsi universitari di Algebra Lineare, e chiunque voglia approfondire può leggere la lezione sulla classificazione delle coniche.

 

Prima di procedere con le formule è bene precisare quali siano gli elementi caratteristici dell'iperbole:

 

- rami dell'iperbole: sono le due curve che costituiscono l'iperbole.

 

- assi dell'iperbole: sono le rette rispetto alle quali l'iperbole viene suddivisa in due parti uguali e simmetriche. L'iperbole interseca sempre uno dei due assi.

 

- semiasse trasverso dell'iperbole: è la semidistanza tra i due rami dell'iperbole.

 

- vertici dell'iperbole: sono i punti di intersezione con uno dei due assi.

 

- centro dell'iperbole: è il punto di intersezione degli assi e corrisponde al centro di simmetria dell'iperbole.

 

- fuochi dell'iperbole: sono i due punti fissi rispetto ai quali è costante la differenza delle distanze da ogni punto appartenente all'iperbole, e appartengono sempre all'asse che interseca l'iperbole.

 

- semidistanza focale: è la semidistanza tra i due fuochi.

 

- asintoti dell'iperbole: sono le rette cui si approssimano i rami dell'iperbole all'infinito e che passanto per il suo centro.

 

- eccentricità dell'iperbole: è un valore che esprime la deformazione dell'iperbole rispetto agli assi. In termini grezzi misura quanto l'iperbole è schiacciata rispetto ad essi. 

 

Come si evince facilmente dalle precedenti definizioni e dalle figure ogni iperbole gode di simmetria assiale e di simmetria centrale.

 

Formule dell'iperbole

 

Come anticipato ci concentriamo sul caso dell'iperbole con assi di simmetria che coincidono con gli assi cartesiani o che sono paralleli ad essi, e distinguiamo tra i seguenti casi: iperbole che interseca l'asse x con centro nell'origine e traslata; iperbole che interseca l'asse y con centro nell'origine e traslata.

 

Non fatevi spaventare dal numero di formule: se ne comprendete la logica potete limitarvi a ricordarne solo una parte e a ricavare le restanti con il puro ragionamento. ;)

 

Iperbole che interseca l'asse delle x con centro nell'origine

 

Se l'iperbole ha gli assi di simmetria che coincidono con gli assi cartesiani e interseca l'asse delle ascisse, allora l'equazione in forma canonica è data da

 

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ \ \mbox{dove }a\neq 0,\ b\neq 0

 

e viene talvolta detta equazione dell'iperbole riferita ai propri assi.

 

L'equazione dell'iperbole è quadratica (di grado 2) nelle incognite x,y e ha senso soltanto se i coefficienti a,b sono entrambi non nulli. La condizione di appartenenza di un punto ad un'iperbole è la stessa che contraddistingue un qualsiasi luogo geometrico definito da un'equazione: un punto P=(x,y) appartiene all'iperbole se e solo se le sue coordinate ne soddisfano l'equazione.

 

Vale la pena di sottolineare che l'equazione dell'iperbole che interseca l'asse x e con centro nell'origine può presentarsi in diverse forme algebricamente equivalenti alla precedente. Non fatevi ingannare negli esercizi e concentratevi sulla struttura dell'equazione: se, mediante opportuni passaggi algebrici, riuscite a ricondurvi alla precedente equazione allora essa rappresenta un'iperbole che interseca l'asse delle ascisse e che ha il centro nell'origine. Nella forma finale gli aspetti caratteristici della struttura dell'equazione riguardano la differenza ordinata tra due termini in x^2\mbox{ e }y^2, il membro di destra pari a 1 e due denominatori positivi (in modo da poterne estrarre la radice quadrata).

 

Per gli esempi sull'equazione dell'iperbole vi rimandiamo alla pagina del link.

 

 

Centro, assi e semiassi dell'iperbole

 

Le radici dei denominatori presenti nell'equazione, a,b, corrispondono alle misure dei semiassi dell'iperbole.

 

\\ a\mbox{ semiasse orizzontale}\ \ \ ;\ \ \ b\mbox{ semiasse verticale}\\ \\ 2a\mbox{ asse orizzontale}\ \ \ ;\ \ \ 2b\mbox{ asse verticale}

 

L'asse trasverso è l'asse che congiunge i due vertici. Nel caso di un'iperbole che interseca l'asse x il semiasse trasverso è orizzontale e misura a. L'asse trasverso misura 2a e, se l'iperbole ha il centro nell'origine, è situato sull'asse delle ascisse

 

\\ a\mbox{ semiasse trasverso}\ \ \ ;\ \ \ b\mbox{ semiasse non trasverso}\\ \\ 2a\mbox{ asse trasverso}\ \ \ ;\ \ \ 2b\mbox{ asse non trasverso}

 

Si noti che indipendentemente che risulti a^2\gtreqless b^2 la precedente equazione individua sempre un'iperbole che interseca l'asse delle ascisse ed in cui l'asse trasverso giace sull'asse x. Nel caso particolare a=b si dice parla di iperbole equilatera, che è per definizione un'iperbole con i semiassi congruenti.

 

 

Vertici dell'iperbole

 

Nel caso di un'iperbole che interseca l'asse x con centro nell'origine i vertici sono per definizione situati sull'asse x e hanno coordinate date da

 

V_1=(-a,0)\ \ \ ;\ \ \ V_2=(+a,0)

 

 

Fuochi dell'iperbole

 

Poiché i fuochi di un'iperbole appartengono sempre all'asse che la interseca, per un'iperbole che interseca l'asse x e con centro nell'origine i fuochi giacciono su tale asse. In tal caso e coordinate dei fuochi si calcolano con le formule

 

F_1=(-c,0)\ \ \ ;\ \ \ F_2=(+c,0)\ \ \ \mbox{dove }c=\sqrt{a^2+b^2}

 

 

Semidistanza focale

 

L'asse focale di un'iperbole che interseca l'asse x e con centro nell'origine giace su tale asse, poiché è la retta che congiunge i due fuochi; la semidistanza focale è metà della distanza tra i due fuochi e si calcola mediante la formula

 

c=\sqrt{a^2+b^2}

 

 

Asintoti dell'iperbole

 

Le equazioni degli asintoti di un'iperbole che interseca l'asse delle ascisse e con centro nell'origine sono date da

 

y=\pm\frac{b}{a}x

 

Nel caso considerato gli asintoti sono rette passanti per l'origine.

 

 

Eccentricità dell'iperbole 

 

L'eccentricità dell'iperbole, ossia la grandezza che ne misura la deformazione (quanto l'iperbole è schiacciata rispetto agli assi) è definita come il rapporto tra la semidistanza focale e la lunghezza del semiasse trasverso. Nel caso di un'iperbole che interseca l'asse x e con centro nell'origine la formula per calcolarla è data da

 

e=\frac{c}{a}\ \ \ \mbox{ dove }c=\sqrt{a^2+b^2}

 

Dalla formula si evince che l'eccentricità assume valori maggiori di 1:

 

e>1

 

Al tendere di e\to 1 l'iperbole si schiaccia sempre più sull'asse delle ascisse, mentre per valori crescenti di e si approssima all'asse delle ordinate.

 

Iperbole traslata che interseca l'asse delle x

 

Un'iperbole che interseca l'asse x e con il centro C=(x_C,y_C) non nell'origine costituisce una generalizzazione del caso appena visto e presenta un'equazione della forma

 

\frac{(x-x_C)^2}{a^2}-\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=1

 

In questo caso gli assi dell'iperbole sono rette parallele agli assi cartesiani ed hanno equazioni

 

x=x_C\ \ \ ;\ \ \ y=y_C

 

Rispetto al caso dell'iperbole che interseca l'asse x con centro nell'origine restano invariate le formule per semidistanza focale ed eccentricità. Il semiasse trasverso coincide ancora con il semiasse orizzontale e misura a; il semiasse non trasverso è ancora quello verticale e misura b.

 

Le coordinate dei vertici e quelle dei fuochi possono essere ricavate con una semplice traslazione e applicando le corrispondenti formule di cambiamento delle coordinate

 

\\ V_1=(x_C-a,y_C)\ \ \ ;\ \ \ V_2=(x_C+a,y_C)\\ \\ F_1=(x_C-c,y_C)\ \ \ ;\ \ \ F_2=(x_C+c,y_C)

 

Per le equazioni degli asintoti basta ricorrere all'equazione della retta passante per un punto

 

(y-y_C)=\pm\frac{b}{a}(x-x_C)

 

Iperbole che interseca l'asse delle y con centro nell'origine

 

Se l'iperbole ha gli assi che coincidono con gli assi cartesiani, e interseca l'asse delle ordinate, allora l'equazione in forma canonica è data da

 

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

 

e viene talvolta detta equazione dell'iperbole riferita ai propri assi.

 

Attenzione alle varianti! Alcune fonti e riferimenti sostituiscono a\leftrightarrow b e riscrivono l'equazione in modo da mantenere il membro di destra uguale a +1. Noi abbiamo preferito non adottare tale scelta onde evitare di generare inutili confusioni. Per il resto valgono considerazioni del tutto analoghe rispetto al caso dell'equazione dell'iperbole che interseca l'asse delle x con centro nell'origine, solo che qui la struttura dell'equazione prevede di avere come membro di destra -1.

 

 

Centro, assi e semiassi dell'iperbole

 

I coefficienti a,b indicano ancora una volta le misure dei semiassi dell'iperbole e preservano sempre la stessa corrispondenza

 

\\ a\mbox{ semiasse orizzontale}\ \ \ ;\ \ \ b\mbox{ semiasse verticale}\\ \\ 2a\mbox{ asse orizzontale}\ \ \ ;\ \ \ 2b\mbox{ asse verticale}

 

La differenza è che l'asse trasverso nel caso di un'iperbole che interseca l'asse y è verticale e misura 2b. Il semiasse trasverso misura b e, se il centro è situato nell'origine, è collocato sull'asse delle ordinate

 

\\ a\mbox{ semiasse non trasverso}\ \ \ ;\ \ \ b\mbox{ semiasse trasverso}\\ \\ 2a\mbox{ asse non trasverso}\ \ \ ;\ \ \ 2b\mbox{ asse trasverso}

 

Indipendentemente che sia a^2\gtreqless b^2 la precedente equazione descrive sempre un'iperbole che interseca l'asse y con asse trasverso sull'asse delle ordinate. Nel caso particolare a=b viene chiamata ancora una volta iperbole equilatera (semiassi congruenti).

 

 

Vertici dell'iperbole

 

I vertici di un'iperbole che interseca l'asse y e con centro nell'origine hanno coordinate date da

 

V_1=(0,-b)\ \ \ ;\ \ \ V_2=(0,b)

 

 

Fuochi dell'iperbole

 

Le coordinate dei fuochi di un'iperbole con centro nell'origine e che interseca l'asse y si calcolano con le formule

 

F_1=(0,-c)\ \ \ ;\ \ \ F_2=(0,+c)\ \ \ \mbox{dove }c=\sqrt{a^2+b^2}

 

 

Semidistanza focale

 

L'asse focale di un'iperbole con centro nell'origine e che interseca l'asse y giace sull'asse delle ordinate. La formula per la semidistanza focale resta invariata

 

c=\sqrt{a^2+b^2}

 

 

Asintoti dell'iperbole

 

Anche le equazioni degli asintoti dell'iperbole rimangono le stesse se l'iperbole ha il centro nell'origine e interseca l'asse y:

 

y=\pm\frac{b}{a}x

 

 

Eccentricità dell'iperbole

 

Attenzione: la formula per l'eccentricità di un'iperbole che interseca l'asse delle y e con centro nell'origine è

 

e=\frac{c}{b}

 

Come si intuisce facilmente, è la definizione di eccentricità a rimanere invariata: è il rapporto tra la semidistanza focale e la lunghezza del semiasse trasverso. Anche in questo caso l'eccentricità assume valori maggiori di 1:

 

e>1

 

e per e\to 1 l'iperbole si schiaccia sempre più sull'asse delle ordinate, mentre per valori sempre più grandi di e si approssima all'asse delle ascisse.

 

Iperbole traslata che interseca l'asse y


Se consideriamo un'iperbole che interseca l'asse delle ordinate e con centro in un punto C=(x_C,y_C), l'equazione dell'iperbole traslata è data da

 

\frac{(x-x_C)^2}{a^2}-\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=-1

 

In tal caso gli assi dell'iperbole sono rette parallele agli assi cartesiani ed hanno equazioni

 

x=x_C\ \ \ ;\ \ \ y=y_C

 

Le formule per semidistanza focale ed eccentricità sono sempre le stesse. Il semiasse trasverso coincide ancora con il semiasse verticale e misura b; il semiasse non trasverso è orizzontale e misura a.

 

Per le coordinate dei vertici e dei fuochi basta ragionare per traslazione:

 

\\ V_1=(x_C,y_C-b)\ \ \ ;\ \ \ V_2=(x_C,y_C-b)\\ \\ F_1=(x_C,y_C-c)\ \ \ ;\ \ \ F_2=(x_C,y_C+c)

 

Per le equazioni degli asintoti possiamo usare l'equazione della retta passante per un punto

 

(y-y_C)=\pm\frac{b}{a}(x-x_C)

 

Esempi sull'iperbole

 

Per approfondire e leggere degli esempi potete dare un'occhiata:

 

fuochi dell'iperbole

 

asintoti dell'iperbole

 

- eccentricità dell'iperbole 

 

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

 

Fino a qui sappiamo che un'iperbole equilatera è un'iperbole in cui le misure dei semiassi coincidono, ossia a=b. Se consideriamo il centro nell'origine degli assi può presentarsi con un'equazione della forma

 

\\ x^2-y^2=a^2\\ \\ x^2-y^2=-a^2

 

dopo aver moltiplicato entrambi i membri dell'equazione in forma canonica per il comune valore dei due denominatori.

 

Dalle formule degli asintoti si capisce subito che un'iperbole equilatera ha gli asintoti perpendicolari poiché a=b e dunque otteniamo i coefficienti angolari m=\pm1. Possiamo allora decidere di considerare il piano cartesiano scegliendo come assi gli asintoti dell'iperbole equilatera. In questo contesto di parla di iperbole equilatera riferita ai propri asintoti: niente paura, geometricamente è sempre un'iperbole equilatera, solo che cambiando il riferimento otteniamo un'equazione diversa.

 

 

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti
k>0 

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti con k<0

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti
k<0 

 

Formule dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

 

L'equazione di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è del tipo

 

xy=k\ \ \ \mbox{con }k\neq 0

 

Ovviamente essa non interseca gli assi cartesiani. Il centro è situato nell'origine degli assi; se così non fosse otterremmo un'iperbole che in nomenclatura matematica prende il nome di funzione omografica.

 

 

Centro, assi e semiassi dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

 

Il centro è sempre situato nell'origine degli assi. Gli assi di simmetria sono dati dalle due bisettrici dei quattro quadranti, e in particolare

 

- se k>0 interseca la bisettrice del primo-terzo quadrante

 

- se k<0 interseca la bisettrice del secondo-quarto quadrante 

 

 

Coordinate dei fuochi dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

 

\\ F_1=(-\sqrt{2k},-\sqrt{2k})\ \ \ ;\ \ \ F_2=(\sqrt{2k},\sqrt{2k})\ \ \ \mbox{se }k>0\\ \\ F_1=(-\sqrt{2(-k)},\sqrt{2(-k)})\ \ \ ;\ \ \ F_2=(\sqrt{2(-k)},-\sqrt{2(-k)})\ \ \ \mbox{se }k<0

 

Per approfondire, vedi fuochi dell'iperbole equilatera.

 

 

Semidistanza focale dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

 

Partendo dalle coordinate dei fuochi si può applicare la formula per la distanza tra due punti per calcolare la semidistanza focale come lunghezza del segmento \overline{OF_1}=\overline{OF_2} 

 

\mbox{semidistanza focale}=2\sqrt{|k|}

 

 

Coordinate dei vertici dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

 

\\ A_1=(-\sqrt{k},-\sqrt{k})\ \ \ ;\ \ \ A_2=(\sqrt{k},\sqrt{k})\ \ \ \mbox{se }k>0\\ \\ A_1=(-\sqrt{(-k)},\sqrt{(-k)})\ \ \ ;\ \ \ A_2=(\sqrt{(-k)},-\sqrt{(-k)})\ \ \ \mbox{se }k<0

 

Per la spiegazione dettagliata con esempi: vertici dell'iperbole equilatera.

 

 

Semiasse trasverso dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

 

La lunghezza del semiasse trasverso è la lunghezza del segmento \overline{OV_1}=\overline{OV_2}

 

\mbox{semiasse trasverso}=\sqrt{2|k|}

 

 

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e traslata

 

Vedi il formulario sulle funzione omografiche.

 

 


 

Concludiamo con una chicca: l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti non è altro che la rappresentazione grafica del rapporto di proporzionalità inversa tra due grandezze (mentre una retta passante per l'origine rappresenta la relazione tra due grandezze in proporzionalità diretta).

 

Con questo è tutto! Vi aspettiamo nella scheda correlata di esercizi risolti e vi suggeriamo, in caso di necessità, di usare il tool per studiare l'iperbole online. Ricordatevi che con la barra di ricerca interna potete reperire migliaia di esercizi e problemi svolti e spiegati dallo Staff. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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