Iperbole e iperbole equilatera

In questo formulario presentiamo tutte le principali formule sull'iperbole e sull'iperbole equilatera, presentandone le equazioni e ponendo particolare attenzione alle formule per il calcolo delle coordinate dei fuochi, per le equazioni degli asintoti e dell'eccentricità.

 

 

Definizione (iperbole)


Si definisce iperbole il luogo geometrico dei punti del piano tali per cui è costante la differenza delle distanza da due punti fissi detti fuochi.

 

 

Iperbole

Iperbole

Iperbole Equilatera

Iperbole equilatera

 
 

Iperbole che interseca l'asse delle x

 

Se l'iperbole ha gli assi (di simmetria) che coincidono con gli assi cartesiani e interseca l'asse delle ascisse, allora l'equazione è data da

 

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

 

Gli asintoti dell'iperbole sono le rette che ne approssimano il comportamento all'infinito e hanno equazioni date da

 

y=\pm\frac{b}{a}x

 

Le coordinate dei fuochi si calcolano con le formule

 

F_1=(-c,0)\mbox{, }F_2=(+c,0)\mbox{ dove }c=\sqrt{a^2+b^2}

 

L'eccentricità dell'iperbole, ossia la grandezza che ne misura la deformazione ("quanto l'iperbole è schiacciata rispetto agli asintoti") è definita dalla formula

 

e=\frac{c}{a}

 

Iperbole che interseca l'asse delle y

 

Se l'iperbole ha gli assi che coincidono con gli assi cartesiani, e interseca l'asse delle ordinate y, allora l'equazione è data da

 

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

 

Gli asintoti dell'iperbole hanno equazioni date dalle formule

 

y=\pm\frac{b}{a}x

 

Le coordinate dei fuochi si calcolano con le formule

 

F_1=(0,-c)\mbox{, }F_2=(0,+c)\mbox{ dove }c=\sqrt{a^2+b^2}

 

L'eccentricità dell'iperbole, ossia la grandezza che ne misura la deformazione ("quanto l'iperbole è schiacciata rispetto agli asintoti") è definita dalla formula

 

e=\frac{c}{b}

 

 

Per approfondire puoi dare un'occhiata a qualche esempio: asintoti - eccentricità - fuochiWink

 

 

Equazione dell'iperbole con centro non nell'origine degli assi


Se consideriamo un'iperbole con assi che non coincidono con gli assi cartesiani, ma sono paralleli ad essi, detto C=(x_C,y_C) il centro di una tale iperbole, abbiamo due diverse equazioni a seconda di quale sia il semiasse maggiore. Se il semiasse maggiore è a, allora l'equazione dell'iperbole traslata è data da

 

\frac{(x-x_C)^2}{a^2}-\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=1

 

Se invece il semiasse maggiore è b, l'equazione dell'iperbole traslata è data da

 

\frac{(y-y_C)^2}{b^2}-\frac{(x-x_C)^2}{a^2}=1

 

Formule per l'iperbole equilatera

 

Si definisce iperbole equilatera un'iperbole con gli asintoti perpendicolari.

 

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

 

Un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è un'iperbole equilatera in cui gli asintoti coincidono con gli assi cartesiani (vedi la seconda figura all'inizio). L'equazione di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è del tipo

 

xy=c

 

dove c è un numero diverso da zero. Essa interseca la bisettrice del primo e del terzo quadrante se c>0, mentre interseca la bisettrice del secondo e quarto quadrante se c<0.

 

Lunghezza del semiasse trasverso: a=\sqrt{2|c|}

 

Coordinate dei fuochi

 

F_1=(-\sqrt{2c},-\sqrt{2c})\mbox{, }F_2=(\sqrt{2c},\sqrt{2c})\mbox{ se }c>0

 

F_1=(-\sqrt{2(-c)},+\sqrt{2(-c)})\mbox{, }F_2=(\sqrt{2(-c)},-\sqrt{2(-c)})\mbox{ se }c<0

 

Per approfondire, vedi fuochi dell'iperbole equilatera.

 

Coordinate dei vertici:

 

A_1=(-\sqrt{c},-\sqrt{c})\mbox{, }A_2=(\sqrt{c},\sqrt{c})\mbox{ }c>0

 

A_1=(-\sqrt{(-c)},\sqrt{(-c)})\mbox{, }A_2=(\sqrt{(-c)},-\sqrt{(-c)})\mbox{ }c<0

 

Per la spiegazione dettagliata con esempi: vertici dell'iperbole equilatera.

 

Iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani

 

Vedi il formulario sulle funzione omografiche.

 

 


 

Se dovessi avere dubbi, se ci fosse qualcosa che non è chiaro, se c'è un esercizio che non riesci a svolgere...apri una discussione nel Forum Laughing e prova a cercare tra le migliaia di esercizi che abbiamo risolto e spiegato qui su YM.

 

Namasté!

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