Esempi sulla discussione di problemi geometrici

La risoluzione e la discussione di un problema geometrico prevede spesso la discussione di un sistema parametrico. Questo accade quando il problema tratta un caso generalizzato ed accanto al parametro fisso di costruzione è presente un parametro variabile di discussione.

 

L'impostazione algebrica (il famigerato metodo di Tartinville) è sconsigliabile per due motivi: i calcoli possono essere molto laboriosi ma soprattutto è necessario imporre al parametro condizioni non sempre 'visibili' senza le quali si eseguono passaggi inutili su limitazioni divenute implicite o si perviene addirittura ad un risultato errato. Si ricorre al metodo algebrico solo quando l'equazione parametrica risulta di difficile interpretazione grafica.

 

Utilizzando invece il metodo grafico si perviene alla soluzione in modo del tutto sicuro.

 

Metodo grafico per la discussione di problemi geometrici

 

Vediamo i passaggi necessari, uno alla volta ordinatamente.

 

1) Si studia con cura il testo del problema per scegliere l'incognita o le incognite più convenienti alle quali si danno le opportune limitazioni.

 

2) Si studiano i casi limite ottenendo per il parametro gli stessi valori che si dovranno ritrovare alla fine della discussione. Se tali valori non coincidono, ricominciate tutto daccapo perché sicuramente avete sbagliato qualcosa Tongue

 

3) Si imposta l'equazione risolvente dalla quale si ricavano due equazioni ausiliarie, una fissa ed una parametrica. Se la risolvente non offre questa possibilità, si ricerca un'equazione fissa solitamente data da una relazione pitagorica o euclidea.

 

4) Si imposta e si discute il sistema parametrico formato dalle due equazioni che rappresentano analiticamente due curve. Queste possono intersecarsi in un punto (una soluzione reale) o in due o più punti (due o più soluzioni reali). Nel caso di tangenza si ha soluzione doppia (due soluzioni reali coincidenti). I valori del parametro corrispondenti ai punti chiave (limitazioni dell'incognita) devono coincidere con quelli ottenuti nella discussione dei casi limite.

 

5) È così possibile individuare la natura ed il numero delle soluzioni del problema.

 
 

Esempio 1 - Discussione di un problema geometrico con il metodo grafico

 

Determinare i cateti di un triangolo rettangolo ABC la cui ipotenusa BC misura a, in modo che risulti

 

\overline{AB} + 3\overline{AC} = k \overline BC

 

1) Imponiamo

 

\overline{AB} = x; \overline {AC} = y

 

con le limitazioni

 

0 \leq x,y \leq a

 

2) Studiamo i casi limite.

 

a)\;\; A \equiv B \rightarrow x = 0, \; y = a

 

e l'equazione risolvente equivale a

 

0 + 3a = ka \rightarrow k = 3

 

b)\;\; A \equiv C \rightarrow x = a, \; y = 0

 

e l'equazione risolvente equivale a

 

a + 0 = ka \rightarrow k = 1

 

Questi due valori del parametro dovranno coincidere con i valori finali risultanti in corrispondenza dei punti chiave.

 

3) Impostiamo l'equazione risolvente.

 

x + 3y = ka

 

L'equazione fissa è ovviamente data dalla relazione pitagorica

 

x^2 + y^2 = a^2

 

4) Impostiamo il sistema parametrico.

 

\begin{cases}x^2 + y^2 = a^2 \\ x + 3y = ka \\ 0 \leq x,y \leq a; \; k > 0\end{cases}

 

Appare chiaro che a è fisso perché parametro di costruzione mentre k è variabile perché parametro di discussione. Quest'ultimo è sicuramente positivo in quanto rapporto tra grandezze omogenee (segmenti) non identicamente nulle:

 

k = \frac{\overline{AB} + 3\overline{AC}}{\overline{BC}}

 

Non ci si meravigli se sono state accettate le limitazioni. Un cateto non è mai congruente all'ipotenusa ma in questo tipo di problemi è necessario considerare anche le situazioni che portano a figure degeneri, a meno che il corrispondente valore del parametro risulti non accettabile. In questo esempio, per ogni caso limite uno dei due cateti coicide con l'ipotenusa ed i corrispondenti risultati in k sono reali e quindi accettabili.

 

La prima equazione del sistema parametrico rappresenta analiticamente una circonferenza che ha centro nell'origine e raggio = a, di cui consideriamo solo l'arco del primo quadrante di estremi dati dalle limitazioni delle incognite (punti chiave)

 

P(a;0), Q(0;a)

 

La seconda equazione rappresenta analiticamente un fascio improprio di rette (parallele tra loro) la cui retta base ha equazione che si ottiene annullando il parametro:

 

x + 3y = 0

 

Una retta del fascio parallela alla retta base passa per P: sostituiamo le coordinate di P nell'equazione del fascio ed otteniamo

 

a + 0 = ka \rightarrow k = 1

 

Per questo valore del parametro la retta interseca l'arco di circonferenza nel solo punto P (una soluzione limite).

 

Una retta del fascio parallela alla retta base passa per Q: sostituiamo le coordinate di Q nell'equazione del fascio ed otteniamo

 

0 + 3a = ka \rightarrow k = 3

 

Per questo valore del parametro la retta interseca la circonferenza nel punto Q ed in un altro punto (una soluzione limite ed una ordinaria)

 

Osserviamo che i due valori del parametro così ottenuti coincidono con i valori ricavati dallo studio dei casi limite :)

 

Consideriamo infine una retta del fascio tangente all'arco di circonferenza. Ricordiamo che la distanza tra il centro e la retta tangente alla circonferenza è congruente al raggio. Poiché il centro della circonferenza giace sotto la retta tangente, la formula della distanza punto-retta ci porta a

 

\frac{\frac{k}{3}a}{\sqrt{1 + \frac{1}{9}}}} = a \rightarrow k = \sqrt{10}

 

Per tale valore del parametro si hanno due soluzioni reali coincidenti (tangenza).

 

Tutte le rette del fascio appartenenti alla striscia compresa tra le retta passante per P e la retta passante per Q intersecano l'arco di circonferenza in un solo punto (una soluzione ordinaria)

 

Tutte le rette del fascio appartenenti alla striscia compresa tra la retta passante per Q e la retta tangente intersecano l'arco di circonferenza in due punti distinti (due soluzioni ordinarie)

 

Quindi 5)

 

1 \leq k < 3 \rightarrow una\;soluzione

 

3 \leq k \leq \sqrt{10} \rightarrow due\; soluzioni

 

Esempio 2 - Discussione di un problema geometrico con il metodo grafico

 

Supponiamo che un problema con parametro di costruzione unitario ci abbia condotti all'equazione risolvente

 

x + \sqrt{3 - x} = k

 

con le limitazioni

 

1 \leq x \leq 3

 

Studiamo i casi limite:

 

a)\;\; x = 1 \rightarrow k = 1 + \sqrt2

 

b)\;\; x = 3 \rightarrow k = 3

 

Dovremmo studiare il sistema

 

\begin{cases} \sqrt{3 - x} = - x + k \\ 1 \leq x \leq 3;\;k\;reale \end{cases}

 

Se volessimo risolvere algebricamente dovremmo innanzitutto imporre la realtà del radicale

 

x \leq 3

 

poi la positività del secondo membro

 

x \leq k

 

quindi la limitazione aggiunta del parametro dopo averlo confrontato con le limitazioni dell'incognita

 

k \geq 1

 

e infine considerare implicita la limitazione

 

x \leq 3

 

Tutto piuttosto complicato. Risolvendo invece con il metodo grafico, queste discussioni non sono necessarie. Spezziamo la risolvente in due equazioni ausiliarie:

 

y = \sqrt{3 - x}

 

y = - x + k

 

conservando le limitazioni date alla variabile x ed imponendo soltanto la non negatività della varibile y dovuta alla prima equazione ausiliaria. Abbiamo così il sistema parametrico

 

\begin{cases} y = \sqrt{3 - x} \rightarrow y^2 = 3 - x \rightarrow x = - y^2 + 3 \\ y = - x + k \\ 1 \leq x \leq 3;\;y \geq 0 \end{cases}

 

che risolviamo analogamente al sistema del primo esempio.

 

La prima equazione rappresenta analiticamente una parabola con asse coincidente con l'asse x e vertice in

 

V(3;0)

 

Della parabola consideriamo solo l'arco che ha per estremi i punti

 

P(1;\sqrt2), V(3;0)

 

La seconda equazione rappresenta anaiticamente un fascio improprio di rette che ha per retta base la bisettrice del II e IV quadrante, di equazione

 

y = - x

 

Una retta del fascio passa per P:

 

\sqrt2 = - 1 + k \rightarrow k = 1 + \sqrt2

 

Unica intersezione in P, una soluzione limite.

 

Una retta del fascio passa per V:

 

0 = - 3 + k \rightarrowk = 3

 

Un'intersezione in V ed un'altra intersezione: una soluzione limite ed una ordinaria.

 

Una retta è tangente all'arco di parabola. Utilizziamo l'equazione risolvente

 

\sqrt{3 - x} = -x + k

 

eleviamo i due membri al quadrato ed otteniamo

 

x^2 - (2k - 1)x + k^2 - 3 = 0

 

Per la tangenza imponiamo nullo il discriminante:

 

\Delta = (2k - 1)^2 - 4k^2 + 12 = 13 - 4k = 0 \rightarrow k = \frac{13}{4}

 

Per tale valore di k si hanno due soluzioni coincidenti.

 

Quindi:

 

1 + \sqrt2 \leq k < 3 \rightarrow una\;soluzione

 

3 \leq k \leq \frac{13}{4} \rightarrow due\;soluzioni

 

con tanti saluti alle limitazioni aggiunte Tongue

 

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