Retta esclusa da un fascio

La retta esclusa da un fascio di rette è la retta generatrice che non può essere ottenuta per alcun valore del parametro; con abuso di notazione si dice che la retta esclusa dal fascio si ottiene per il valore del parametro k=∞.

 

Quante volte gli studenti hanno sentito parlare della retta esclusa da un fascio? Questa misteriosa retta esclusa, che esiste ma non appartiene al fascio, è importantissima e fa da guida nella risoluzione di particolari problemi. A ben vedere questa lezione fornisce un approfondimento teorico e non aggiunge nulla dal punto di vista pratico rispetto a quanto abbiamo proposto nei precedenti formulari...

 

Ehi, non scappate! :) Promettiamo che la spiegazione sulla retta esclusa sarà semplice, indolore ed utile per prevenire possibili dubbi che potrebbero sorgere nel prosieguo dei vostri studi. ;)

 

Retta esclusa da un fascio proprio di rette

 

Nelle precedenti lezioni abbiamo mostrato come studiare un qualsiasi fascio di rette e abbiamo visto come determinare le equazioni delle generatrici. Nella fattispecie abbiamo scritto che, data l'equazione di un fascio qualsiasi in forma implicita

 

ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0\ \ \ (\bullet)

 

le due rette generatrici sono date da

 

\begin{cases}ax+by+c=0\\ a'x+b'y+c'=0\end{cases}

 

e si ottengono rispettivamente considerando il valore del parametro k=0 e per k\to+\infty. La consuetudine alle scuole superiori prevede di tagliare corto e dire che la seconda retta generatrice

 

a'x+b'y+c'=0

 

si ottiene per k=\infty. Questa scrittura costituisce però un enorme abuso di linguaggio, perché \infty non è un numero, e d'altra parte dire che tale generatrice viene ottenuta per k\to +\infty non è di grande aiuto perché la teoria dei limiti si studia solamente in quinta superiore.

 

Oltretutto dobbiamo tenere conto che non esiste alcun valore del parametro k che, sostituito in (\bullet), ci permetta di ottenere l'equazione della seconda generatrice. Per questo motivo la seconda retta generatrice non appartiene al fascio di rette descritto da (\bullet): lo genera algebricamente, ma non vi appartiene, e si parla pertanto di retta esclusa dal fascio.

 

La retta esclusa: un problema di rappresentazione parametrica

 

Il mistero della retta esclusa risiede nella rappresentazione algebrica che si dà di un fascio di rette e sorge tipicamente quando si ha a che fare con l'equazione di un fascio di rette ad un parametro. Quello che noi abbiamo chiamato k nella rappresentazione (\bullet).

 

L'equazione parametrica (\bullet) descrive un fascio di rette che abbiamo chiamato generatrici del fascio:

 

\\ ax + by + c = 0\ \ \ \ \ (1)\\ \\ a'x + b'y + c' = 0\ \ \ \ \ (2)

 

Ora facciamo un gioco di prestigio. Effettuandone una combinazione lineare, ossia moltiplicando entrambe le equazioni per due coefficienti \lambda,\mu e sommandole membro a membro, possiamo scrivere l'equazione

 

\lambda (ax + by + c) + \mu (a'x + b'y + c') = 0

 

Se imponiamo \mu=0 otteniamo la retta di equazione (1), mentre se imponiamo \lambda=0 otteniamo la retta di equazione (2).

 

Ragioniamo: se imponiamo \lambda \neq 0 risulta

 

ax + by + c  + \frac{\mu}{\lambda}(a'x + b'y + c')= 0\ \ \ (\bullet\bullet)

 

e se chiamiamo \frac{\mu}{\lambda} = k, allora possiamo scrivere l'equazione del fascio di rette nella forma a noi nota, in cui nell'equazione compare solamente un parametro

 

ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0\ \ \ (\bullet)

 

Attenzione però! Le rappresentazioni (\bullet) e (\bullet\bullet) descrivono due fasci di rette che differiscono per una retta: l'equazione (\bullet) non contempla la retta esclusa, che al contrario rientra nella famiglia di rette descritte dall'equazione (\bullet\bullet).

 

Come potete vedere il problema è puramente algebrico. Poiché la retta di equazione (2) era stata ottenuta per \lambda=0 e successivamente abbiamo imposto \lambda\neq 0 appare chiaro che nel fascio con equazione dipendente dal singolo parametro k, la retta (2) non può esistere

 

La retta generatrice di equazione (2) genera algebricamente il fascio di rette (\bullet) ma non vi appartiene e per questo è chiamata retta esclusa. Morale della favola: rappresentando il fascio in modi diversi può esserci una retta che non appartiene al fascio, oppure sì.

 

Esempi sulla retta esclusa da un fascio

 

I docenti tendono a concentrarsi esclusivamente sul caso della retta esclusa da un fascio proprio di rette, il che molto spesso insinua un semplice dubbio nella mente degli studenti: che dire a proposito di un fascio improprio di rette? Il dubbio sorge perché, come sappiamo, la rappresentazione

 

ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0\ \ \ (\bullet)

 

può descrivere un fascio proprio, un fascio improprio o un fascio degenere, e dunque è normale domandarsi se si possa parlare di retta esclusa da un fascio di rette parallele.

 

 

1) Nel caso di un fascio degenere, come ad esempio

 

x+y+k(2x+2y)=0

 

il problema non si pone, perché come sappiamo la famiglia rappresentata da (\bullet) si riduce ad una singola retta: la retta esclusa per k\to+\infty coincide quindi con la retta generatrice che si ottiene per k=0.

 

 

 

2) Nel caso di un fascio proprio, ad esempio

 

x-y+2+k(x+2y+1)=0

 

abbiamo due generatrici x-y+2=0,\ x+2y+1=0 e la seconda retta generatrice non appartiene al fascio di rette individuate dall'equazione. Per includerla potremmo pensare ad una nuova equazione parametrica, come ad esempio

 

\lambda(x-y+2)+\mu(x+2y+1)=0

 

che ci permette di individuarla mediante i valori dei parametri \lambda=0,\ \mu=1. In alternativa dopo aver calcolato il centro del fascio proprio e aver scoperto che è dato da C=\left(-\frac{5}{3},\frac{1}{3}\right) potremmo servirci dell'equazione per la retta passante per un punto per ottenere una nuova rappresentazione parametrica che includa la retta originariamente esclusa

 

y-\frac{1}{3}=m\left(x+\frac{5}{3}\right)

 

che individua la retta esclusa per m=-\frac{1}{2}.

 

 

3) Nel caso di un fascio improprio, come

 

-3x+9y+k(x-3y+1)=0

 

Le generatrici sono -3x+9y=0,\ x-3y+1=0 e sono parallele tra loro. Il fascio rappresentato dall'equazione è costituito da tutte e sole le rette parallele alla generatrice -3x+9y=0, ad eccezione della retta x-3y+1=0 perché non esiste alcun valore del parametro k che consente di ottenerla nella precedente equazione.

 

Se volessimo includere la retta esclusa dovremmo considerare un'altra rappresentazione algebrica, come

 

\lambda(-3x+9y)+\mu(x-3y+1)=0

 

che include la retta esclusa tramite i valori dei parametri \lambda=0,\ \mu=1.

 

Ancora, potremmo servirci della generica equazione della retta in forma esplicita e tenere conto del comune valore del coefficiente angolare delle rette del fascio \left(m=\frac{1}{3}\right) per scrivere una nuova rappresentazione 

 

y=\frac{x}{3}+q

 

dove la retta originariamente esclusa si ottiene per q=\frac{1}{3}.

 

 


 

Vi aspettiamo nel formulario successivo, si parte con lo studio delle coniche! ;)


 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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