Retta esclusa da un fascio

Quante volte gli studenti hanno sentito parlare della retta esclusa da un fascio? Questa misteriosa retta esclusa, che esiste ma non c'è, è importantissima e fa da guida nella risoluzione di particolari problemi.

 

Per svelare il mistero della retta esclusa dobbiamo rifarci al fascio proprio di rette, quell'insieme infinito di rette incidenti in un punto detto centro del fascio.

 

Cos'è la retta esclusa?

 

Sappiamo che un fascio proprio di rette nasce da due rette, per questo dette generatrici del fascio. Scriviamo le equazioni di due rette

 

ax + by + c = 0\ \ \ \ \ (1)

 

a'x + b'y + c' = 0\ \ \ \ \ (2)

 

 

Effettuandone una combinazione lineare si ottiene l'equazione del fascio proprio di rette

 

\lambda (ax + by + c) + \mu (a'x + b'y + c') = 0

 

Se imponiamo \mu  = 0 otteniamo la retta di equazione (1), mentre se imponiamo \lambda = 0 otteniamo la retta di equazione (2).

 

Ragioniamoci un pochettino su. Se imponiamo \lambda \neq 0 risulta

 

ax + by + c  + \frac{\mu}{\lambda}(a'x + b'y + c')= 0

 

e se chiamiamo \frac{\mu}{\lambda} = k, allora possiamo scrivere l'equazione del fascio di rette nella forma

 

ax + by + c  + k(a'x + b'y + c')= 0

 

Poiché la retta di equazione (2) era stata ottenuta per \lambda = 0 e successivamente abbiamo imposto \lambda \neq 0 appare chiaro che nel fascio con equazione dipendente dal parametro k, la retta (2) non può esistere!

 

La retta di equazione (2) quindi genera il fascio ma non ne fa parte e per questo è chiamata retta esclusa.

 

Vediamo ora una tipologia di problemi che la vede protagonista.

 
 

Esempio sulla retta esclusa da un fascio

 

Dato il fascio proprio di rette di equazione

 

(k - 2)x - (k - 1)y - 3 + k = 0

 

determinare le due rette generatrici ed in particolare la retta esclusa dal fascio.

 

Svolgimento

 

Scriviamo l'equazione del fascio raccogliendo dove possibile il parametro k

 

kx - 2x - ky + y - 3 + k = 0 \rightarrow  k(x - y + 1) + (-2x + y - 3) = 0

 

Abbiamo così identificato le due generatrici e la retta esclusa è la retta che, in riferimento all'equazione parametrica in k, ha equazione

 

x - y + 1 = 0.

 

L'altra generatrice è individuata dall'equazione

 

-2x+y-3=0

 

Bonus: già che ci siamo, perché non calcoliamo le coordinate del centro del fascio di rette? :) Non dobbiamo fare altro che intersecare le due rette generatrici, mettendone le equazioni a sistema

 

\begin{cases}x-y+1=0\\ -2x+y-3=0\end{cases}

 

Si tratta di un semplice sistema di equazioni lineari che possiamo risolvere per sostituzione

 

\begin{cases}y=x+1\\ -2x+y-3=0\end{cases}

 

Sostituiamo l'espressione di y nella seconda equazione

 

\begin{cases}y=x+1\\ -2x+(x+1)-3=0\end{cases}

 

e otteniamo

 

\begin{cases}y=x+1\\ x=-2\end{cases}

 

Sostituiamo il valore ottenuto per x nella prima equazione ed arriviamo alla soluzione

 

\begin{cases}y=-1\\ x=-2\end{cases}

 

da cui le coordinate del centro del fascio: C(-2;-1).

 

 


 

Se dovessi avere dubbi, se ci fosse qualcosa che non è chiaro, se c'è un esercizio che non riesci a svolgere...apri una discussione nel Forum, e cerca le risposte ai tuoi problemi con la nostra barra di ricerca. Laughing

 

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