Posizioni di una retta rispetto a una ellisse

Data una coppia retta-ellisse nel piano cartesiano, abbiamo tre possibili posizioni che la retta può assumere rispetto all'ellisse.

 

 

Abbiamo:

 

1) Retta esterna all'ellisse r_1

 

2) Retta secante l'ellisse r_2

 

3) Retta tangente all'ellisse r_3

 

..

Rette secanti, tangenti ed esterne ad un'ellisse

 
 

Posizioni di una retta rispetto all'ellisse e punti di intersezione

 

In ciascuna delle tre eventualità abbiamo un determinato numero di intersezioni tra retta e ellisse:

 

1) Retta esterna all'ellisse r_1: nessun punto di intersezione

 

2) Retta secante l'ellisse r_2: due punti di intersezione

 

3) Retta tangente l'ellisse r_3: un unico punto di intersezione (due punti di intersezione coincidenti).

 

Posizioni di una retta in termini algebrici


Per determinare la posizione di una data retta rispetto ad una ellisse, e dunque per determinare il numero di punti di intersezione tra retta e ellisse, possiamo procedere anche in modo algebrico. Supponiamo di disporre dell'equazione della retta

 

y=mx+q

 

e dell'equazione della ellisse (per fissare le idee, un'ellisse con centro nell'origine)

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

 

Per individuare i punti di intersezione tra retta e ellisse ci basta considerare il sistema di due equazioni in due incognite

 

\begin{cases}y=mx+q\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}

 

Sostituendo l'espressione dell'ordinata della retta nell'equazione dell'ellisse otteniamo un'equazione di secondo grado in x

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{(mx+q)^2}{b^2}=1

 

Facendo i conti e raccogliendo i coefficienti di x^2,x e 1 possiamo calcolare il Delta (o discriminante) dell'equazione di secondo grado. Il problema diventa quindi puramente algebrico: il numero di punti di intersezione tra retta e parabola equivale al numero di soluzioni dell'equazione di secondo grado risultante

 

1) \Delta<0 nessuna soluzione dell'equazione -> nessun punto di intersezione

 

2) \Delta>0 due soluzioni distinte dell'equazione -> due punti di intersezione

 

3) \Delta=0 un'unica soluzione (due soluzioni coincidenti) -> un unico punti di intersezione (punto di tangenza)

 

A seconda dei casi [2), 3)] si possono poi calcolare i valori di ascissa dei punti di intersezione (soluzioni dell'equazione di secondo grado) e sostituirli nell'equazione della retta y=mx+q per determinare le corrispondenti ordinate dei punti di intersezione.

 

In questo modo si individuano le coordinate di tutti i punti di intersezione tra la retta e l'ellisse. 

 

 


 

 

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