Posizioni di una retta rispetto a una ellisse

Le possibili posizioni di una retta rispetto a un'ellisse nel piano sono tre: retta esterna, retta secante e retta tangente. Nei tre casi si hanno rispettivamente zero, due e un punto di intersezione, e ciascuno di essi viene individuato da un'opportuna condizione algebrica.

 

Ora che abbiamo studiato la definizione di ellisse e le formule che la caratterizzano, passiamo ad analizzare le possibili posizioni che una retta può assumere rispetto ad una ellisse nel piano cartesiano. Oltre che da un punto di vista geometrico inquadreremo la questione da un punto di vista algebrico, e ricaveremo le condizioni algebriche che corrispondono a ciascuna delle possibili posizioni retta-ellisse.

 

Posizioni retta-ellisse nel piano cartesiano

 

Data una coppia retta-ellisse nel piano cartesiano, abbiamo tre possibili posizioni che la retta può assumere rispetto all'ellisse:

 

1) retta esterna all'ellisse r_1

 

2) retta secante l'ellisse r_2

 

3) retta tangente all'ellisse r_3

 

Rette secanti, tangenti ed esterne ad un'ellisse

Le possibili posizioni di una retta rispetto a un'ellisse nel piano.

 

 

In ciascuna delle tre eventualità abbiamo un determinato numero di intersezioni tra retta e ellisse:

 

1) retta esterna all'ellisse r_1: nessun punto di intersezione

 

2) retta secante l'ellisse r_2: due punti di intersezione

 

3) retta tangente l'ellisse r_3: un unico punto di intersezione (due punti di intersezione coincidenti).

 

Posizioni retta-ellisse in termini algebrici


Per determinare la posizione di una data retta rispetto ad una ellisse, e dunque per determinare il numero di punti di intersezione tra retta e ellisse, possiamo procedere anche in modo algebrico. Supponiamo di disporre dell'equazione della retta

 

y=mx+q

 

e dell'equazione della ellisse; per fissare le idee, consideriamo un'ellisse con centro nell'origine

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

 

Per individuare i punti di intersezione tra retta e ellisse ci basta considerare il sistema di due equazioni in due incognite

 

\begin{cases}y=mx+q\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}

 

Sostituendo l'espressione dell'ordinata della retta nell'equazione dell'ellisse otteniamo un'equazione di secondo grado in x, detta equazione risolvente

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{(mx+q)^2}{b^2}=1

 

Facendo i conti e raccogliendo i coefficienti di x^2,x\mbox{ e }1 possiamo calcolare il Delta (o discriminante) dell'equazione di secondo grado. Qui non procediamo oltre con i calcoli, perchè nel caso generale ricaveremmo una formula inutilmente complicata (negli esercizi con i numeri è tutto più facile). Piuttosto è importante concentrarsi sulla logica del procedimento.

 

Il problema a questo punto diventa puramente algebrico: il numero di punti di intersezione tra retta e parabola equivale al numero di soluzioni dell'equazione di secondo grado risultante

 

1) \Delta<0 nessuna soluzione dell'equazione → nessun punto di intersezione

 

2) \Delta>0 due soluzioni distinte dell'equazione → due punti di intersezione

 

3) \Delta=0 un'unica soluzione (due soluzioni coincidenti) → un unico punti di intersezione (punto di tangenza)

 

dove nel caso 3) si dice più precisamente che l'unica soluzione ha molteplicità algebrica pari a 2.

 

A seconda dei casi 2), 3) si possono poi calcolare i valori di ascissa dei punti di intersezione (soluzioni dell'equazione di secondo grado) e sostituirli nell'equazione della retta y=mx+q per determinare le corrispondenti ordinate dei punti di intersezione. In questo modo si individuano le coordinate cartesiane di tutti i punti di intersezione tra la retta e l'ellisse.

 

Nota bene: nel caso di una retta verticale, di equazione della forma x=k, il procedimento è del tutto analogo.

 

Esempi sulla posizione retta-ellisse

 

A) Studiare la reciproca posizione tra l'ellisse di equazione \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 e la retta y=x+5.

 

Svolgimento: si vede subito che l'ellisse ha centro nell'origine e semiassi a=3,\ b=4, per cui è un'ellisse con asse maggiore verticale. Per capire com'è disposta la retta rispetto all'ellisse dobbiamo considerare il sistema tra le due equazioni

 

\begin{cases}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\\ y=x+5\end{cases}

 

Sostituiamo l'espressione di y fornita dall'equazione della retta in forma esplicita nella prima equazione:

 

\begin{cases}\frac{x^2}{9}+\frac{(x+5)^2}{16}=1\\ y=x+5\end{cases}

 

e concentriamoci sull'equazione risolvente

 

16x^2+9(x+5)^2=144

 

Sviluppiamo il quadrato del binomio e facciamo i conti

 

\\ 16x^2+9(x^2+10x+25)=144\\ \\ 25x^2+90x+81=0\ \ \ (\alpha x^2+\beta x+\gamma=0)

 

Calcoliamo il Delta dell'equazione risolvente

 

\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma=90^2-4\cdot 25\cdot 81=8100-8100=0

 

Poiché il discriminante è nullo si conclude che la retta è tangente all'ellisse in un punto. Per trovare l'ascissa del punto di tangenza risolviamo l'equazione con l'usuale formula per le equazioni di secondo grado

 

x_{1,2}=x_T=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}=\frac{-90\pm 0}{2\cdot 25}=-\frac{9}{5}

 

Per calcolare l'ordinata del punto di tangenza basta sostituire l'ascissa nell'equazione della retta

 

x_T=-\frac{9}{5}\ \overbrace{\to}^{y=x+5}\ y_T=-\frac{9}{5}+5=\frac{16}{5}

 

Il punto di tangenza ha coordinate T=\left(-\frac{9}{5},\frac{16}{5}\right).

 

 

Retta tangente ellisse

Esempio di retta tangente ad un'ellisse.

 

 

B) Stabilire qual è la posizione della retta di equazione 2x-y+8=0 e l'ellisse di centro \left(2,0\right) e semiassi a=5,\ b=2.

 

Svolgimento: prima di tutto scriviamo l'equazione dell'ellisse con la formula noti il centro e i semiassi

 

\frac{(x-x_C)^2}{a^2}+\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=1\ \to\ \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1

 

Possiamo evitare di sviluppare i calcoli, piuttosto osserviamo che la retta è espressa in forma implicita e la scriviamo in forma esplicita

 

y=2x+8

 

e passiamo subito al sistema per gli eventuali punti di intersezione

 

\begin{cases}\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=2x+8\end{cases}

 

Procediamo come di consueto per sostituzione

 

\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(2x+8)^2}{4}=1

 

Raccogliamo un 2 nel secondo numeratore in modo da alleggerire un po' i calcoli (e usiamo le proprietà delle potenze)

 

\\ \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{2^2(x+4)^2}{4}=1\\ \\ \frac{(x-2)^2}{25}+(x+4)^2=1\\ \\ (x-2)^2+25(x+4)^2=25

 

Sviluppiamo i quadrati

 

\\ x^2-4x+4+25(x^2+8x+16)=25\\ \\ 26x^2+196x+379=0\ \ \ (\alpha x^2+\beta x+\gamma=0)

 

Proviamo a calcolare direttamente le soluzioni dell'equazione risolvente

 

x_{1,2}=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}}{2\alpha}=\frac{-196\pm\sqrt{196^2-4\cdot 26\cdot 379}}{2\cdot 26}

 

Dalla formula si ricava \Delta=-1000<0 e ne deduciamo che la retta è esterna rispetto all'ellisse.

 

 

Retta esterna ellisse

Esempio di retta esterna ad un'ellisse.

 

 

Osservazione (generalità del metodo)

 

Osserviamo, per chi si fosse perso i precedenti formulari di Geometria Analitica, che il metodo dell'equazione risolvente e dello studio del Delta non permette di studiare solamente la posizione di una retta rispetto ad un'ellisse; il procedimento è ben più generale e consente di studiare la posizione tra una retta ed un qualsiasi luogo geometrico esprimibile mediante un'equazione di grado 2 e in 2 incognite.

 

Nella pratica avrete modo di constatare che questo stesso metodo permette di determinare la posizione di una retta rispetto ad una circonferenza, ad una parabola o ad un'iperbole. Ancor più in generale possiamo inquadrare lo studio della risolvente come un caso particolare del metodo grafico per sistemi di equazioni.

 

 


 

Non perdetevi la scheda correlata di esercizi svolti e ricordate che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna: abbiamo risolto nel dettaglio migliaia di esercizi. Da ultimo, in caso di necessità potete ricorrere al tool per calcolare le intersezioni tra luoghi geometrici online. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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