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Ellisse: formule

In questo formulario presentiamo tutte le principali formule dell'ellisse, presentandone le equazioni e ponendo particolare attenzione alle formule per il calcolo di vertice, assi e semiassi e coordinate del centro dell'ellisse e dei fuochi.

 

 

Definizione (ellisse):


Si definisce ellisse il luogo geometrico dei punti del piano tali per cui è costante la somma delle distanza da due punti fissi detti fuochi.

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Ellisse nel piano cartesiano

 

Equazione dell'ellisse (con centro nell'origine degli assi)


\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

 

Naturalmente la precedente equazione ha senso nell'eventualità in cui a\neq 0\neq b. Conoscendo l'equazione dell'ellisse possiamo determinare le coordinate dei fuochi dell'ellisse e le misure dei semiassi a,b.

 

I coefficienti a,b rappresentano, rispettivamente, le misure del semiasse orizzontale e del semiasse verticale dell'ellisse. L'equazione dell'ellisse è sempre la stessa indipendentemente dal fatto che sia a>b o che sia b>a.

 

Se a=b l'ellisse si riduce ad una circonferenza.

 

 

Coordinate dei fuochi (dipendono da qual è il semiasse maggiore)

 

Le coordinate dei fuochi dipendono da qual è il semiasse maggiore tra a,b:


Se a^2>b^2 i fuochi si calcolano come F_{1}=(-c,0)\mbox{, }F_2=(+c,0), dove c=\sqrt{a^2-b^2}


Se b^2>a^2 i fuochi si calcolano come F_{1}=(0,-c)\mbox{, }F_2=(0,+c), dove c=\sqrt{b^2-a^2}

 

Per la spiegazione dettagliata con relativo esempio, vedi fuochi dell'ellisse.

 

 

Coordinate dei vertici

 

Un'ellisse presenta quattro vertici, le cui coordinate sono date da (\pm a,0) e (0,\pm b).

 

 

Lunghezza dell'asse maggiore e dell'asse minore

 

Le lunghezze degli assi di un'ellisse si calcolano semplicemente come 2a e 2b.

 

 

Eccentricità

 

L'eccentricità di un'ellisse è una quantità che misura la "deformazione" dell'ellisse ("quanto l'ellisse è schiacciata"), si indica con e ed è una quantità compresa tra zero ed uno. L'eccentricità è definita come rapporto tra la distanza tra i due fuochi e la lunghezza del semiasse maggiore: a seconda che il semiasse maggiore dell'ellisse sia a oppure b abbiamo quindi

 

e=\frac{c}{a}\mbox{ se }a^2>b^2


e=\frac{c}{b}\mbox{ se }b^2>a^2

 

Per esempi e altro: eccentricità dell'ellisse.

 

 

Equazione dell'ellisse con centro non nell'origine degli assi

 

Se consideriamo un'ellisse traslata, dunque con centro non nell'origine degli assi bensì in un punto C=(x_C,y_C), dette a,b le lunghezze dei due semiassi, possiamo scrivere l'equazione dell'ellisse con centro in C con la formula

 

\frac{(x-x_C)^2}{a^2}+\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=1

 

 

Equazione della retta tangente all'ellisse in un suo punto

 

Per determinare l'equazione di una retta tangente ad un'ellisse (che per semplicità supponiamo con centro nell'origine degli assi) in un punto P=(x_P,y_P) dell'ellisse, possiamo usare la formula


\frac{xx_P}{a^2}+\frac{yy_P}{b^2}=1


Il coefficiente angolare di tale retta si calcola invece con la formula


m=-\frac{b^2x_P^2}{a^2y_P^2}

 

 

Coefficienti angolari delle rette tangenti condotte da un punto esterno all'ellisse

 

Dato un punto P=(x_P,y_P) esterno ad un'ellisse (che per semplicità supponiamo con centro nell'origine degli assi) possiamo determinare i coefficienti angolari delle due rette tangenti all'ellisse come soluzioni dell'equazione

 

m^2(a^2-x_P^2)+2mx_Py_P+b^2-y_P^2=0

 

Cerchi le formule sulle possibili posizioni di una retta rispetto a una ellisse, dai un'occhiata al formulario successivo. Wink

 

 


 

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