Ellisse

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. In termini più generali un'ellisse è una conica non degenere.

 

In questo formulario presentiamo tutte le principali formule dell'ellisse nel piano cartesiano. Partendo dalla definizione ci concentreremo dapprima sul caso dell'ellisse con centro nell'origine degli assi, fornendo le definizioni e le formule per il calcolo dei suoi elementi caratteristici (centro, assi, fuochi, vertici ed eccentricità). Dopo aver presentato l'equazione dell'ellisse con centro nell'origine vedremo come estendere l'equazione al caso di un'ellisse traslata, ossia con centro in un punto arbitrario, ed elencheremo altre formule utili per la risoluzione degli esercizi di Geometria Analitica.

 

Nella lezione non ci soffermeremo sugli esempi, perché nel corso della spiegazione potrete accedere di volta in volta ad approfondimenti sugli elementi caratteristici con esempi svolti ed esercizi di applicazione. A fine lezione avete a disposizione una scheda correlata di esercizi risolti e potrete consultare ulteriori approfondimenti, dedicati in questo caso ai soli studenti universitari.

 

Definizione di ellisse

 

Partiamo dalla definizione di ellisse che abbiamo anticipato nell'introduzione e spieghiamone il significato: si definisce ellisse il luogo geometrico dei punti del piano tali per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi F_1,F_2 detti fuochi.

 

 

Definizione di ellisse

Definizione di ellisse mediante i fuochi.

 

 

Se indichiamo un generico punto dell'ellisse con P possiamo tradurre facilmente la definizione nella seguente condizione algebrica:

 

\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\mbox{costante}

 

Notate che nell'equazione \overline{PF_1},\overline{PF_2} denotano le misure dei segmenti PF_1,PF_2. Per avere un'idea di come si può tradurre geometricamente la precedente condizione, ecco un paio di rappresentazioni.

 

 

Ellisse nel piano cartesiano

Una ellisse nel piano cartesiano con asse maggiore orizzontale.

Ellisse con asse maggiore verticale

Una ellisse nel piano cartesiano con asse maggiore verticale.

 

 

Come si vede dalle immagini un'ellisse presenta due assi di simmetria che si incontrano in un punto, e tali da essere perpendicolari tra loro. Alle scuole superiori l'unico caso che viene preso in esame è quello dell'ellisse con assi paralleli agli assi cartesiani, ed è quello che tratteremo qui di seguito. Ciononostante è bene sapere che un'ellisse può presentare gli assi disposti con qualsiasi inclinazione nel piano (purché siano perpendicolari tra loro); il caso generale viene studiato all'università nei corsi di Algebra Lineare che chiunque volesse approfondire può farlo nella lezione sulla classificazione delle coniche

 

Prima di passare alle formule è necessario definire gli elementi caratteristici dell'ellisse:

 

- assi dell'ellisse: sono i segmenti rispetto ai quali l'ellisse viene divisa in parti uguali. Chiamiamo semiassi i segmenti in cui gli assi si suddividono vicendevolmente;

 

vertici dell'ellisse: sono i quattro punti di intersezione tra l'ellisse e i suoi assi;

 

- centro dell'ellisse: è il punto di intersezione degli assi e ne costituisce il centro di simmetria;

 

- fuochi dell'ellisse: sono i punti rispetto ai quali i punti dell'ellisse realizzano distanze con somma costante;

 

- semidistanza focale: è la semidistanza tra i due fuochi.

 

- eccentricità dell'ellisse: come vedremo tra poco, è un valore che esprime la deformazione dell'ellisse rispetto ad una circonferenza. 

 

Dalle definizioni e dalla figura si capisce facilmente che l'ellisse gode di simmetria assiale e di simmetria centrale.

 

Formule dell'ellisse

 

Passiamo in rassegna le formule per l'ellisse con assi paralleli agli assi cartesiani, partendo dal caso in cui il centro è situato nell'origine degli assi.

 

 

Equazione dell'ellisse (con centro nell'origine degli assi)


\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1\ \ \mbox{dove}\ \ a\ne 0,\ b\ne 0

 

L'equazione di una ellisse è di tipo quadratico, vale a dire di grado 2, nelle incognite x,y. Naturalmente l'equazione ha senso nell'eventualità in cui a\neq 0\neq b. Come di consueto vale la condizione di appartenenza: un punto P(x,y) appartiene ad un'ellisse se e solo se le sue coordinate x,y ne soddisfano l'equazione.

 

Un suggerimento: per verificare che l'equazione di un luogo geometrico rappresenti effettivamente un'ellisse, indipendentemente da come si presenta, dobbiamo sempre cercare di ridurci alla forma precedente mediante opportuni passaggi algebrici. Se così facendo otteniamo una struttura con una somma a sinistra, un +1 a destra e due denominatori positivi allora possiamo concludere che l'equazione assegnata rappresenta un'ellisse nel piano cartesiano. Notate infatti che se i denominatori sono positivi è sempre possibile estrarne la radice quadrata e quindi possono essere intesi come i quadrati di due numeri a,b.

 

Se volete consultare degli esempi a tal proposito oppure se siete interessati alla dimostrazione che permette di ricavare l'equazione potete leggere qui: equazione dell'ellisse.

 

 

Assi e semiassi dell'ellisse

 

I coefficienti a,b che compaiono nell'equazione rappresentano, rispettivamente, le misure del semiasse orizzontale e del semiasse verticale dell'ellisse. 

 

\\ a\ \mbox{semiasse orizzontale}\ \ ;\ \ 2a\ \mbox{asse orizzontale}\\ \\ b\ \mbox{semiasse verticale}\ \ ;\ \ 2b\ \mbox{asse verticale}

 

Il confronto tra i termini a^2,b^2 ci permette di stabilire qual è l'asse maggiore

 

\\ a^2>b^2\ \to\ \mbox{asse maggiore}=2a,\ \mbox{asse minore}=2b\\ \\ b^2>a^2\ \to\ \mbox{asse maggiore}=2b,\ \mbox{asse minore}=2a

 

Si può dimostrare che la costante introdotta nella definizione equivale proprio alla misura dell'asse maggiore dell'ellisse, per cui a seconda dei casi possiamo scrivere

 

\\ \mbox{se }a^2>b^2\ \to\ \overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a\\ \\ \mbox{se }b^2>a^2\ \to\ \overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2b

 

È inoltre importante osservare che nel caso a=b l'ellisse si riduce ad una circonferenza e che i due semiassi sono raggi.

 

 

Vertici dell'ellisse (con centro nell'origine)

 

Un'ellisse presenta quattro vertici. Se essa ha centro nell'origine le loro coordinate sono date da

 

V_{1,2}=(\pm a,0)\ \ \ ;\ \ \ V_{3,4}=(0,\pm b)

 

 

Fuochi dell'ellisse (con centro nell'origine)

 

I fuochi giacciono sempre sull'asse maggiore e sono simmetrici rispetto al centro, per cui le coordinate dei fuochi dipendono da qual è il semiasse maggiore tra quello orizzontale a e quello orizzontale b.

 

Se il centro dell'ellisse è situato nell'origine, le coordinate dei fuochi sono date da

 

\\ \mbox{se }\ a^2>b^2\ \to\ F_{1,2}=(\pm c,0)\ \mbox{ dove }\ c=\sqrt{a^2-b^2}\\ \\ \mbox{se }\ b^2>a^2\ \to\ F_{1,2}=(0,\pm c)\ \mbox{ dove }\ c=\sqrt{b^2-a^2}

 

Per la spiegazione dettagliata con esempi: fuochi dell'ellisse.

 

 

Semidistanza focale

 

La semidistanza focale è definita come la semidistanza tra i due fuochi, viene indicata con c e dipende da quale tra il semiasse orizzontale a e il semiasse verticale b è il semiasse maggiore.

 

\\ \mbox{se }\ a^2>b^2\ \to\ c=\sqrt{a^2-b^2}\\ \\ \mbox{se }\ b^2>a^2\ \to\ c=\sqrt{b^2-a^2}

 

 

Eccentricità dell'ellisse

 

L'eccentricità di un'ellisse è una grandezza che misura la deformazione dell'ellisse ("quanto l'ellisse è schiacciata") e si indica con e. Per definizione l'eccentricità è il rapporto della semidistanza focale e la lunghezza del semiasse maggiore.

 

A seconda che il semiasse maggiore dell'ellisse sia quello orizzontale a oppure quello verticale b abbiamo rispettivamente

 

\\ e=\frac{c}{a}\ \mbox{ se }a^2>b^2\\ \\ e=\frac{c}{b}\ \mbox{ se }b^2>a^2

 

Come si deduce dalle formule, l'eccentricità è un valore compreso tra 0 (incluso) ed 1 (escluso)

 

0\leq e<1

 

e in particolare:

 

- se e=0 la deformazione è nulla e l'ellisse si riduce ad una circonferenza. Poiché c=0, essendo la semidistanza focale nulla, i due fuochi collassano in un unico punto che è proprio il centro della circonferenza. Come sappiamo, e come si capisce dalle formule per la semidistanza focale c, in questo caso risulta a=b.

 

- se e=1 la deformazione è massima e l'ellisse si riduce ad un segmento, che coincide con l'asse maggiore ed i cui estremi sono dati dai fuochi. Pur trattandosi di un caso degenere si nota come la definizione di ellisse continui a valere: per qualunque punto del segmento la somma delle distanze dai due fuochi è costante.

 

Per esempi e altro: eccentricità dell'ellisse.

 

 

Equazione dell'ellisse traslata (con centro non nell'origine degli assi)

 

Se consideriamo un'ellisse traslata, dunque con centro non nell'origine degli assi bensì in un punto C=(x_C,y_C), dette a,b le lunghezze dei due semiassi, possiamo scrivere l'equazione dell'ellisse con centro in C con la formula

 

\frac{(x-x_C)^2}{a^2}+\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=1

 

In questo caso le formule per le lunghezze degli assi, dei semiassi, per la semidistanza focale e per l'eccentricità restano le stesse. Le formule per i vertici e i fuochi si adattano di conseguenza e possono essere facilmente ricavate con un'opportuna traslazione.

 

\\ V_1=(x_C-a,y_C)\ \ ;\ \ V_2=(x_C+a,y_C)\\ \\ V_3=(x_C,y_C-b)\ \ ;\ \ V_4=(x_C,y_C+b)

 

Per i fuochi dell'ellisse traslata dobbiamo considerare la solita distinzione relativa al semiasse maggiore, a seconda che sia orizzontale o verticale

 

\\ \mbox{se }\ a^2>b^2\ \to\ F_{1,2}=(x_C\pm c,y_C)\ \mbox{ dove }\ c=\sqrt{a^2-b^2}\\ \\ \mbox{se }\ b^2>a^2\ \to\ F_{1,2}=(x_C,y_C\pm c)\ \mbox{ dove }\ c=\sqrt{b^2-a^2}

 

Come disegnare un'ellisse nel piano cartesiano

 

Il metodo per rappresentare un'ellisse a partire dalla sua equazione è estremamente semplice. Per procedere basta individuare il centro dell'ellisse, calcolare le lunghezze dei semiassi a,b e determinare le coordinate dei quattro vertici. Ricordando che il disegno deve essere preciso, ma non esatto, con queste informazioni possiamo già cavarcela: basta unire i vertici disegnando quattro archi simmetrici rispetto al centro.

 

Possibili posizioni di una retta rispetto a un'ellisse

 

Un tipico problema della Geometria Analitica prevede di studiare le possibili posizioni di una retta rispetto a un'ellisse nel piano cartesiano. Per non appesantire troppo questo formulario ne parliamo in dettaglio nel successivo. Nonostante ciò ci sono alcune formule che possiamo presentarvi sin da subito e che all'occorrenza potrebbero risultare molto utili.

 

 

Equazione della retta tangente all'ellisse con centro nell'origine

 

Per determinare l'equazione della retta tangente in un punto P=(x_P,y_P) ad un'ellisse con centro nell'origine degli assi, possiamo usare la cosiddetta formula di sdoppiamento

 

\frac{xx_P}{a^2}+\frac{yy_P}{b^2}=1

 

Vi consigliamo di non imparare quest'ultima formula a memoria: conviene molto di più imparare il metodo che permette di scrivere le formule di sdoppiamento, anche perché si può applicare nel caso generale.

 

 


 

Concludiamo con un paio di approfondimenti utili per gli studenti universitari e relativi al calcolo del perimetro dell'ellisse e dell'area dell'ellisse. Tutti gli altri possono allenarsi sin da subito con la scheda correlata di esercizi svolti e in caso di necessità aiutarsi con il tool per risolvere l'ellisse online.

 

Non sottovalutate mai questo meraviglioso luogo geometrico perché si ripresenterà moltissime volte nel prosieguo dei vostri studi. Un esempio? Che dire della prima legge di Keplero?... ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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