Posizioni di una retta rispetto a una parabola

Le possibili posizioni di una retta rispetto a una parabola sono quattro: retta esterna, retta secante in due punti, retta secante in un punto, retta tangente alla parabola. Per ogni posizione geometrica esiste una specifica relazione algebrica tra le equazioni della retta e della parabola.

 

Proseguiamo nello studio della parabola ampliando il bagaglio di nozioni e formule che abbiamo presentato nel precedente formulario. In questa lezione analizziamo le possibili posizioni tra una retta ed una parabola nel piano cartesiano; il nostro scopo consiste nel determinare le condizioni algebriche che corrispondono a ciascuna delle reciproche posizioni, con un particolare occhio di riguardo alla risoluzione degli esercizi di Geometria Analitica.

 

Posizioni retta-parabola nel piano cartesiano

 

Data una coppia retta-parabola nel piano cartesiano, abbiamo quattro possibili posizioni che una retta può assumere rispetto alla parabola:

 

1) retta esterna alla parabola r_1

 

2) retta secante la parabola in due punti r_2

 

3) retta secante la parabola in un punto r_3

 

4) retta tangente la parabola r_4

 

Posizione reciproca tra retta e parabola

Le possibili posizioni di una retta rispetto a una parabola.

 

In ciascuna delle quattro eventualità abbiamo un determinato numero di intersezioni tra retta e parabola.

 

1) Retta esterna alla parabola (r_1): nessun punto di intersezione.

 

2) Retta secante la parabola in due punti (r_2): due punti di intersezione.

 

3) Retta secante la parabola in un punto (r_3): un unico punto di intersezione. Se abbiamo a che fare con una parabola ad asse di simmetria verticale, succede se e solo se la retta è verticale; se abbiamo una parabola ad asse di simmetria orizzontale, succede se e solo se la retta è orizzontale.

 

4) Retta tangente alla parabola (r_4): un unico punto di intersezione (due punti di intersezione coincidenti).

 

Condizioni algebriche corrispondenti alle reciproche posizioni retta-parabola

 

Per determinare la posizione di una data retta rispetto ad una parabola, e dunque per determinare il numero di punti di intersezione tra retta e parabola, possiamo procedere anche in modo algebrico.

 

Supponiamo di disporre dell'equazione della parabola (per fissare le idee, una parabola ad asse di simmetria verticale)

 

y=ax^2+bx+c

 

e dell'equazione della retta. Supponiamo inoltre che la retta non sia verticale

 

y=mx+q

 

Per individuare i punti di intersezione tra retta e parabola ci basta considerare il sistema di due equazioni in due incognite

 

\begin{cases}y=mx+q\\ y=ax^2+bx+c\end{cases}

 

Sostituendo l'espressione dell'ordinata della retta nell'equazione della parabola otteniamo un'equazione di secondo grado in x, detta equazione risolvente

 

mx+q=ax^2+bx+c

 

Facendo i conti, riordinando i termini e raccogliendo i coefficienti di x^2,x\mbox{ e }1

 

ax^2+(b-m)x+(c-q)=0

 

possiamo calcolare il Delta (o discriminante) dell'equazione di secondo grado. Qui non ci interessa calcolare l'espressione generale del Delta, dal momento che non sarebbe granché utile. Negli esercizi avremo a che fare con i numeri e sarà tutto più semplice, ciò che più conta è concentrarsi sul significato geometrico delle soluzioni dell'equazione risolvente.

 

Il problema diventa così puramente algebrico: il numero di punti di intersezione tra retta e parabola equivale al numero di soluzioni dell'equazione di secondo grado

 

1) \Delta<0 nessuna soluzione dell'equazione → nessun punto di intersezione

 

2) \Delta>0 due soluzioni distinte dell'equazione → due punti di intersezione

 

4) \Delta=0 un'unica soluzione (due soluzioni coincidenti) → un unico punto di intersezione (punto di tangenza)

 

Nel caso 4) si dice in termini rigorosi che la soluzione ha molteplicità algebrica pari a 2.

 

A seconda dei casi 2), 4) si possono poi calcolare i valori di ascissa dei punti di intersezione (soluzioni dell'equazione di secondo grado) e sostituirli nell'equazione della retta y=mx+q per determinare le corrispondenti ordinate. In questo modo si determinanto le coordinate dei punti di intersezione tra retta e parabola.

 

Avete notato che il caso 3) della retta secante la parabola in un solo punto non è contemplato dall'elenco? Come abbiamo detto in precedenza, l'unica possibilità affinché una retta intersechi una parabola con asse verticale in un solo punto, e senza essere tangente ad essa, è che la retta sia verticale. Analiticamente essa deve presentare un'equazione del tipo

 

x=k\ \ \ \mbox{con }k\mbox{ un numero}

 

In tal caso se consideriamo il sistema tra l'equazione della retta e l'equazione della parabola

 

\begin{cases}x=k\\ y=ax^2+bx+c\end{cases}

 

Otteniamo per sostituzione

 

y=ak^2+bk+c

 

che è l'ordinata del punto di intersezione, infatti il membro di destra è espressione dei coefficienti k,a,b,c a noi tutti noti. Abbiamo così il caso 3):

 

3) Una retta verticale e una parabola con asse verticale si intersecano sempre in uno ed un solo punto di coordinate (k,ak^2+bk+c).

 

Nel caso di una parabola con asse orizzontale vale un discorso analogo sulle possibilità 1), 2), 3), 4), con le dovute modifiche del caso.

 

Esempi sulla posizione tra retta e parabola

 

A) Determinare la posizione della retta y=x-1 rispetto alla parabola y=x^2 e calcolare le coordinate degli eventuali punti di intersezione.

 

Svolgimento: data la semplicità delle equazioni coinvolte, nulla ci vieterebbe di disegnare la retta e di disegnare la parabola, e quindi di ottenere la soluzione graficamente. Noi però dobbiamo anche determinare le coordinate degli eventuali punti di intersezione, per cui dobbiamo procedere algebricamente.

 

\begin{cases}y=x-1\\ y=x^2\end{cases}

 

Sostituiamo l'espressione di y fornita dalla prima equazione nella seconda. Otteniamo così l'equazione risolvente

 

\\ x-1=x^2\\ \\ \to\ x^2-x+1=0\ \ \ \ \ (\alpha x^2+\beta x+\gamma=0)

 

Calcoliamo il discriminante e osserviamone il segno

 

\Delta=\beta^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=-3

 

Poiché il Delta è negativo non sono presenti intersezioni: la retta è esterna alla parabola.

 

 

Retta esterna a parabola

Esempio di retta esterna a una parabola.

 

 

B) Qual è la reciproca posizione tra la parabola x=y^2-2y+4 e la retta y=-\frac{x}{6}.

 

Svolgimento: due osservazioni preliminari. Notiamo subito che la parabola ha l'asse di simmetria orizzontale e che la retta passa per l'origine; non facciamoci distrarre e atteniamoci alla logica del procedimento che abbiamo studiato. ;)

 

\begin{cases}y=-\frac{x}{6}\\ x=y^2-2y+4\end{cases}

 

Effettuiamo la sostituzine e scriviamo l'equazione risolvente

 

\\ x=\left(-\frac{x}{6}\right)^2-2\left(-\frac{x}{6}\right)+4\\ \\ \\ x=\frac{x^2}{36}+\frac{x}{3}+4\\ \\ \\ \frac{x^2}{36}-\frac{2}{3}x+4=0\\ \\ \\ x^2-24x+144=0\ \ \ \ \ (\alpha x^2+\beta x+\gamma=0)

 

Calcoliamo il discriminante associato all'equazione

 

\Delta=\beta^2-4\alpha \gamma=(-24)^2-4\cdot 1\cdot 144=576-576=0

 

Poiché vi è un solo punto di intersezione e la retta considerata non è orizzontale (non è parallela all'asse della parabola), concludiamo che la retta è tangente alla parabola. Per calcolare le coordinate del punto applichiamo la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado

 

x_{1,2}=x_T=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}=\frac{24}{2}=12

 

e per ricavare l'ordinata del punto di tangenza valutiamo la retta in corrispondenza dell'ascissa ottenuta

 

y_T=-\frac{x_T}{6}=-\frac{12}{6}=-2

 

Finito: il punto di tangenza è T=(12,-2).

 

 

Retta tangente a una parabola

Esempio di retta tangente ad una parabola.

 

Osservazione (generalità del metodo)

 

Se avete già studiato la circonferenza il metodo appena visto dovrebbe risultarvi familiare. In effetti il procedimento per studiare la posizione tra una retta e una parabola è ben più generale e si applica per determinare le intersezioni tra una retta ed un qualsiasi luogo geometrico che sia espresso mediante un'equazione quadratica (di grado 2) in 2 incognite.

 

Tenetevelo ben stretto, perché vi consentirà di risolvere tantissimi esercizi nel prosieguo dei vostri studi: nel concreto lo applicherete per studiare la posizione di una retta rispetto ad una circonferenza, un'ellisse, un'iperbole... e così via. E se volete leggerne la generalizzazione vi rimandiamo alla lezione sui sistemi di equazioni per confronto grafico. :)

 

 


 

Abbiamo finito, ma non scappate! C'è una scheda di esercizi svolti con cui potete mettervi alla prova, e se non bastassero tantissimi altri esercizi risolti dallo Staff di YM. Potete trovare tante cose utili con la barra di ricerca interna, ad esempio c'è un comodo tool per determinare le intersezioni dei luoghi geometrici online... ;)

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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