Posizioni di una retta rispetto a una parabola

Data una coppia retta-parabola nel piano cartesiano, abbiamo quattro possibili posizioni che una retta può assumere rispetto alla parabola.

 

Abbiamo:

 

1) Retta esterna alla parabola r_1

 

2) Retta secante la parabola in due punti r_2

 

3) Retta secante la parabola in un punto r_3

 

4) Retta tangente la parabola r_4

..

Posizione reciproca tra retta e parabola

 
 

Posizioni tra retta e parabola e punti di intersezione

 

In ciascuna delle quattro eventualità abbiamo un determinato numero di intersezioni tra retta e parabola:

 

1) Retta esterna alla parabola (r_1): nessun punto di intersezione

 

2) Retta secante la parabola in due punti (r_2): due punti di intersezione

 

3) Retta secante la parabola in un punto (r_3): un unico punto di intersezione. Se abbiamo a che fare con una parabola ad asse di simmetria verticale, succede solo se la retta è verticale; se abbiamo una parabola ad asse di simmetria orizzontale, succede solo se la retta è orizzontale (occhio che è un "solo se", non un "se e solo se": ci sono nei rispettivi casi rette verticali e orizzontali esterne alla parabola!)

 

4) Retta tangente alla parabola (r_4): un unico punto di intersezione (due punti di intersezione coincidenti).

 

Condizioni algebriche corrispondenti alle reciproche posizioni retta-parabola

 

Per determinare la posizione di una data retta rispetto ad una parabola, e dunque per determinare il numero di punti di intersezione tra retta e parabola, possiamo procedere anche in modo algebrico. Supponiamo di disporre dell'equazione della retta

 

y=mx+q

 

e dell'equazione della parabola (per fissare le idee, una parabola ad asse di simmetria verticale)

 

y=ax^2+bx+c

 

Per individuare i punti di intersezione tra retta e parabola ci basta considerare il sistema di due equazioni in due incognite

 

\begin{cases}y=mx+q\\ y=ax^2+bx+c\end{cases}

 

Sostituendo l'espressione dell'ordinata della retta nell'equazione della parabola otteniamo un'equazione di secondo grado in x

 

mx+q=ax^2+bx+c

 

Facendo i conti e raccogliendo i coefficienti di x^2,x e 1 possiamo calcolare il Delta (o discriminante) dell'equazione di secondo grado. Il problema diventa quindi puramente algebrico: il numero di punti di intersezione tra retta e parabola equivale al numero di soluzioni dell'equazione di secondo grado risultante

 

1) \Delta<0 nessuna soluzione dell'equazione -> nessun punto di intersezione

 

2) \Delta>0 due soluzioni distinte dell'equazione -> due punti di intersezione

 

3, 4) \Delta=0 un'unica soluzione (due soluzioni coincidenti) -> un unico punto di intersezione (punto di tangenza)

 

A seconda dei casi [2), 3)] si possono poi calcolare i valori di ascissa dei punti di intersezione (soluzioni dell'equazione di secondo grado) e sostituirli nell'equazione della retta y=mx+q per determinare le corrispondenti ordinate dei punti di intersezione.

 

In questo modo si individuano le coordinate di tutti i punti di intersezione tra la retta e la parabola. 

 

 


 

 

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Namasté!

Agente Ω

 

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