Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza

Data una coppia retta-circonferenza nel piano cartesiano, abbiamo tre possibili posizioni che la retta può assumere rispetto alla circonferenza.

 

 

Abbiamo:

 

1) Retta esterna alla circonferenza r_1

 

2) Retta secante la circonferenza r_2

 

3) Retta tangente alla circonferenza r_3

..

Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza

 
 

Possibili intersezioni tra una retta e una circonferenza

 

In ciascuna delle tre eventualità abbiamo un determinato numero di intersezioni tra retta e circonferenza:

 

1) Retta esterna alla circonferenza r_1: nessun punto di intersezione

 

2) Retta secante la circonferenza r_2: due punti di intersezione

 

3) Retta tangente alla circonferenza r_3: un unico punto di intersezione (due punti coincidenti).

 

Posizioni tra retta e circonferenza in termini algebrici


Per determinare la posizione di una data retta rispetto ad una circonferenza, e dunque per determinare il numero di punti di intersezione tra retta e circonferenza, possiamo procedere anche in modo algebrico. Supponiamo di disporre dell'equazione della retta 

 

y=mx+q

 

e dell'equazione della circonferenza

 

x^2+y^2+ax+by+c=0

 

Per individuare i punti di intersezione tra retta e circonferenza ci basta considerare il sistema di due equazioni in due incognite

 

\begin{cases}y=mx+q\\ x^2+y^2+ax+by+c=0\end{cases}

 

Sostituendo l'espressione dell'ordinata della retta nell'equazione della circonferenza otteniamo un'equazione di secondo grado in x

 

x^2+(mx+q)^2+ax+b(mx+q)+c=0

 

Facendo i conti e raccogliendo i coefficienti di x^2,\ x,\ 1 possiamo calcolare il Delta (o discriminante) dell'equazione di secondo grado. Il problema diventa quindi puramente algebrico: il numero di punti di intersezione tra retta e circonferenza equivale al numero di soluzioni dell'equazione di secondo grado risultante

 

1) \Delta<0 nessuna soluzione dell'equazione -> nessun punto di intersezione

 

2) \Delta>0 due soluzioni distinte dell'equazione -> due punti di intersezione

 

3) \Delta=0 un'unica soluzione (due soluzioni coincidenti) -> un unico punti di intersezione (punto di tangenza)

 

A seconda dei casi [2), 3)] si possono poi calcolare i valori di ascissa dei punti di intersezione (soluzioni dell'equazione di secondo grado) e sostituirli nell'equazione della retta y=mx+q per determinare le corrispondenti ordinate dei punti di intersezione.

 

In questo modo si individuano le coordinate di tutti i punti di intersezione tra la retta e la circonferenza.

 

 


 

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Agente Ω

 

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