Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza

Le possibili posizioni di una retta rispetto a una circonferenza nel piano sono tre: retta esterna, retta secante e retta tangente. Per ciascuna di tali posizioni esiste una specifica relazione algebrica tra le equazioni di retta e circonferenza.

 

Dopo aver studiato le formule della circonferenza nel precedente formulario vogliamo ora approfondire lo studio e analizzare le possibili posizioni tra una retta e una circonferenza nel piano cartesiano. Come vedremo tra un istante ogni posizione corrisponde ad una precisa condizione algebrica.

 

Posizioni retta-circonferenza nel piano cartesiano

 

Data una coppia retta-circonferenza nel piano cartesiano, abbiamo tre possibili posizioni che la retta può assumere rispetto alla circonferenza:

 

1) retta esterna alla circonferenza r_1

 

2) retta secante la circonferenza r_2

 

3) retta tangente alla circonferenza r_3

 

Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza

Le possibili posizioni tra una retta e una circonferenza nel piano.

 

In ciascuna delle tre eventualità abbiamo un determinato numero di intersezioni tra retta e circonferenza:

 

1) Retta esterna alla circonferenza r_1: nessun punto di intersezione

 

2) Retta secante la circonferenza r_2: due punti di intersezione

 

3) Retta tangente alla circonferenza r_3: un unico punto di intersezione (due punti coincidenti).

 

Posizioni tra retta e circonferenza in termini algebrici


Per determinare la posizione di una data retta rispetto ad una circonferenza, e dunque per determinare il numero di punti di intersezione tra retta e circonferenza, possiamo procedere anche in modo algebrico. Supponiamo di disporre dell'equazione della retta 

 

y=mx+q

 

e dell'equazione della circonferenza in forma canonica

 

x^2+y^2+ax+by+c=0

 

Per individuare i punti di intersezione tra retta e circonferenza ci basta considerare il sistema di due equazioni in due incognite

 

\begin{cases}y=mx+q\\ x^2+y^2+ax+by+c=0\end{cases}

 

Sostituendo l'espressione dell'ordinata della retta nell'equazione della circonferenza otteniamo un'equazione di secondo grado in x, detta equazione risolvente

 

x^2+(mx+q)^2+ax+b(mx+q)+c=0

 

Facendo i conti e raccogliendo i coefficienti di x^2,\ x,\ 1 possiamo calcolare il Delta (o discriminante) dell'equazione di secondo grado (qui non li riportiamo, perché nel caso generico l'equazione appare inutilmente complicata, mentre negli esercizi con i numeri è tutto più semplice).

 

Il problema diventa quindi puramente algebrico: il numero di punti di intersezione tra retta e circonferenza equivale al numero di soluzioni dell'equazione di secondo grado risultante

 

1) \Delta<0 nessuna soluzione dell'equazione → nessun punto di intersezione

 

2) \Delta>0 due soluzioni distinte dell'equazione → due punti di intersezione

 

3) \Delta=0 un'unica soluzione (due soluzioni coincidenti) → un unico punti di intersezione (punto di tangenza)

 

Nel caso 3) si dice in termini rigorosi che la soluzione ha molteplicità algebrica pari a 2.

 

A seconda dei casi 2), 3) si possono poi calcolare i valori di ascissa dei punti di intersezione (soluzioni dell'equazione di secondo grado) e sostituirli nell'equazione della retta y=mx+q per determinare le corrispondenti ordinate dei punti di intersezione. In questo modo si individuano le coordinate di tutti i punti di intersezione tra la retta e la circonferenza.

 

Esempi sulla posizione retta circonferenza

 

A) Determinare la posizione della retta y=x+2 rispetto alla circonferenza di equazione x^2+y^2=1.

 

Svolgimento: come previsto dal metodo, consideriamo il sistema tra le equazioni della retta e della circonferenza

 

\begin{cases}y=x+2\\ x^2+y^2=1\end{cases}

 

e procediamo sostituendo l'espressione di y della prima equazione nella seconda

 

x^2+(x+2)^2=1

 

da cui, sviluppando il quadrato del binomio, ricaviamo

 

2x^2+4x+3=0\ \ \ \ \ (\alpha x^2+\beta x+\gamma=0)

 

Calcoliamo il Delta:

 

\Delta=\beta^2-4\alpha \gamma=16-4\cdot 2\cdot 3=16-24=-8

 

Poiché il discriminante dell'equazione è negativo, concludiamo che la retta è esterna alla circonferenza e non vi è alcun punto di intersezione.

 

Retta esterna circonferenza

Esempio di retta esterna ad una circonferenza. 

 

 

B) Stabilire qual è la posizione della retta y+x=0 rispetto alla circonferenza di centro C=(1,0) e raggio r=1.

 

Svolgimento: per prima cosa esprimiamo la retta in forma esplicita

 

y=-x

 

e scriviamo l'equazione della circonferenza

 

(x-1)^2+(y-0)^2=1

 

da cui determiniamo la forma canonica

 

x^2+y^2-2x=0

 

A questo punto impostiamo il sistema per le eventuali intersezioni tra retta e circonferenza

 

\begin{cases}y=-x\\ x^2+y^2-2x=0\end{cases}

 

L'equazione risolvente si ottiene per sostituzione

 

\\ x^2+(-x)^2-2x=0\\ \\ \to\ 2x^2-2x=0\\ \\ \to\ x^2-x=0\ \ \ \ \ (\alpha x^2+\beta x+\gamma=0)

 

Proviamo a calcolarne direttamente le soluzioni con la formula del discriminante (anche se più semplicemente potremmo effettuare un raccoglimento totale su x e successivamente applicare la legge di annullamento del prodotto)

 

x_{1,2}=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^2-4\alpha \gamma}}{2a}=\frac{+1\pm\sqrt{1-4\cdot 1\cdot 0}}{2}=\begin{cases}0\\ 1\end{cases}

 

Capiamo così che la retta è secante la circonferenza perché ci sono due punti di intersezione, di cui non ci resta che calcolare le ordinate

 

\\ x_1=0\ \overbrace{\to}^{y=-x}\ y_1=0\\ \\ x_2=1\ \overbrace{\to}^{y=-x}\ y_2=-1

 

e i punti di intersezione hanno coordinate (0,0),\ (1,-1).

 

Retta secante circonferenza

Esempio di retta secante una circonferenza.

 

Osservazione (generalità del metodo)

 

Il metodo del sistema e del discriminante dell'equazione risolvente non si applica solamente per individuare le intersezioni tra una retta e una circonferenza, ma più in generale per studiare la posizione reciproca tra una retta ed un qualsiasi luogo geometrico che si esprime mediante un'equazione di secondo grado in due incognite.

 

Così, ad esempio, lo stesso metodo potrà essere utilizzato per stabilire qual è la posizione di una retta rispetto ad una parabola, ad un'ellisse o ad un'iperbole. Un metodo analogo si può applicare in generale per risolvere i sistemi di equazioni per confronto grafico.

 

 


 

È tutto! Se volete esercitarvi vi raccomandiamo di consultare la scheda correlata di esercizi svolti, e nel caso non bastassero di usare la barra di ricerca interna per recuperarne molti altri. Qui su YM abbiamo risolto e spiegato migliaia di esercizi e... A proposito: c'è anche un utilissimo tool per calcolare le intersezioni dei luoghi geometrici online! ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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