Circonferenza

La circonferenza nel piano cartesiano è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto centro della circonferenza; più in generale una circonferenza è una conica non degenere.

 

Attenzione: in questo formulario non proponiamo le formule geometriche per cerchio e circonferenza (come ad esempio le formule per area e perimetro) di cui ci siamo occupati in un'apposita lezione di Geometria piana. Qui trattiamo piuttosto la circonferenza nel piano cartesiano.

 

Partendo dalle definizioni elencheremo e commenteremo le formule della circonferenza in Geometria Analitica: le possibili forme che può assumere l'equazione della circonferenza, le formule per le coordinate del centro e per il calcolo del raggio, e non solo. Non ci dilungheremo con particolari esempi ed esercizi perché, a fine lezione, potrete accedere ad una scheda correlata di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

Circonferenza nel piano cartesiano

 

Definizione di circonferenza

 

Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto C, detto centro della circonferenza. La distanza di un qualsiasi punto della circonferenza dal centro è detta raggio e viene solitamente indicata con r, cosicché tutti i punti della circonferenza soddisfano la condizione

 

\overline{CP}=r

 

Definizione di cerchio


Data una circonferenza, si definisce cerchio la regione dei punti del piano interni alla circonferenza.

 

Circonferenza

Una circonferenza nel piano.

 

Formule della circonferenza

 

Le formule per la circonferenza nel piano cartesiano riprendono ed ampliano le formule per cerchio e circonferenza già note dallo studio della Geometria Euclidea, per cui è bene ricordarle tutte in modo da risolvere agevolmente gli esercizi e i problemi di Geometria analitica.

 

Chiamiamo C=(x_C,y_C) il centro della circonferenza e r il raggio della circonferenza, ossia la distanza comune di tutti i punti della circonferenza dal centro della circonferenza.

 

Equazione della circonferenza noti centro e raggio


Conoscendo le coordinate C=(x_C,y_C) del centro della circonferenza e la misura r del raggio, è possibile esprimere l'equazione della circonferenza nella forma

 

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

 

come possiamo notare si tratta di un'equazione quadratica (di grado 2) in due incognite x,y. La logica dell'equazione rispecchia la consueta condizione di appartenenza: un punto (x,y) appartiene alla circonferenza se e solo se le sue coordinate cartesiane soddisfano l'equazione della circonferenza.

 

Tale formula nel caso di una circonferenza con centro nell'origine degli assi O=(0,0) e raggio r si riduce a

 

x^2+y^2=r^2

 

Per chi si stesse domandando come si ricava l'equazione, la dimostrazione è piuttosto semplice. Potete leggerla qui insieme ad alcuni esempi: equazione della circonferenza.

 

 

Equazione canonica della circonferenza

 

L'equazione canonica della circonferenza è un'equazione quadratica in due incognite x,y che viene espressa in forma implicita, ossia con secondo membro uguale a zero

 

x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0

 

dove al primo membro è presente un polinomio di secondo grado nelle indeterminate x,y e coefficienti numerici \alpha,\beta,\gamma.

 

 

Relazioni e formule di passaggio tra le equazioni della circonferenza

 

L'equazione della circonferenza noti centro e raggio è la più immediata e semplice possibile da scrivere, ma presuppone di conoscere le coordinate cartesiane del centro e la misura del raggio. Il più delle volte negli esercizi ci capiterà di disporre sin da subito di un'equazione in forma implicita e di doverla usare per desumere le caratteristiche geometriche della circonferenza assegnata.

 

Le relazioni tra le due equazioni si ricavano usando la regola per il quadrato del binomio nella prima forma

 

\\ (x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2\\ \\ x^2-2x_Cx+x_C^2+y^2-2y_Cy+y_C^2-r^2=0\\ \\ x^2+y^2-2x_Cx-2y_Cy+x_C^2+y_C^2-r^2=0

 

e confrontare i coefficienti con la seconda forma

 

x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0

 

da cui si ricava

 

\alpha=-2x_C,\ \ \ \beta=-2y_C,\ \ \ \gamma=x_C^2+y_C^2-r^2

 

D'altra parte, partendo dall'equazione della circonferenza nella forma canonica possiamo usare le formule calcolare le coordinate del centro della circonferenza e la misura del raggio: basta invertire opportunamente le relazioni che abbiamo appena scritto

 

C=\left(-\frac{\alpha}{2},-\frac{\beta}{2}\right)\ \ ;\ \ r=\sqrt{\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}-\gamma}

 

Un'alternativa (un po' macchinosa, a dire il vero) per passare dall'equazione canonica all'equazione noti il centro e la misura del raggio consiste nell'applicare il metodo del completamento dei quadrati.

 

Se volete approfondire il discorso e vedere degli esempi, vi rimandiamo alla lettura degli approfondimenti sul centro di una circonferenza e sul raggio della circonferenza. Fatto? Continuiamo. :)

 

 

Raggio conoscendo il centro e un punto della circonferenza

 

Se disponiamo delle coordinate del centro C=(x_C,y_C) e di un punto P=(x_P,y_P) appartenente alla circonferenza possiamo calcolare la misura del raggio facilmente, basta applicare la formula per la distanza tra due punti

 

r=\sqrt{(x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2}

 

 

Cerchio nel piano cartesiano

 

Per descrivere un cerchio nel piano cartesiano è sufficiente conoscere l'equazione della circonferenza che lo delimita: se, ad esempio, avessimo una circonferenza data dall'equazione

 

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

 

per individuare tutti e soli i punti interni alla circonferenza ci basterà scrivere la disequazione

 

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2< r^2

 

Se l'equazione fosse in forma canonica, cioè

 

x^2+y^2+\alpha x+\beta y +\gamma=0

 

ci basterebbe scrivere

 

x^2+y^2+\alpha x+\beta y +\gamma<0

 

Per individuare la regione dei punti esterni alla circonferenza dovremmo invece scrivere una tra le disequazioni

 

\\ (x-x_C)^2+(y-y_C)^2> r^2\\ \\ x^2+y^2+\alpha x+\beta y +\gamma>0

 

Chiunque volesse approfondire la rappresentazione delle figure piane mediante le disequazioni a due incognite può farlo qui: rappresentare le soluzioni di una disequazione nel piano. ;)

 

 

Circonferenza passante per tre punti non allineati

 

Ci sono essenzialmente due modi per individuare univocamente una circonferenza nel piano cartesiano. Il primo prevede di conoscere le coordinate del centro e la misura del raggio; il secondo si basa su un noto teorema della Geometria Euclidea, il quale stabilisce che per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza.

 

Disponendo quindi delle coordinate cartesiane di tre punti non allineati, cioè tali da non giacere su una stessa retta, saremo sempre in grado di trovare l'unica circonferenza cui appartengono. Un esempio: circonferenza passante per tre punti - un tool utile per lo scopo: circonferenza per tre punti online

 

 

Posizioni tra circonferenza e retta

 

Nel formulario successivo analizziamo nel dettaglio le possibili posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza da un punto di vista geometrico ed analitico.

 

 

Equazione della retta tangente ad una circonferenza in un punto

 

Se vogliamo calcolare l'equazione della retta tangente ad una circonferenza in un suo punto possiamo servirci di un'apposita formula, detta formula di sdoppiamento. Data una circonferenza di equazione x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0, la retta tangente ad essa nel punto P=(x_P,y_P) ha equazione

 

x_Px+y_Py+\alpha\cdot \frac{x+x_P}{2}+\beta\cdot \frac{y+y_P}{2}+\gamma=0

 

Questa è l'unica formula che vi sconsigliamo di ricordare a memoria: è molto più conveniente imparare il metodo per ricavare le formule di sdoppiamento e usarlo all'occorrenza negli esercizi.

 

 

Asse centrale di due circonferenze

 

Date due circonferenze, a prescindere dalla loro reciproca posizione si definisce asse centrale la retta passante per i loro centri.

 

 

Asse radicale di due circonferenze


Date due circonferenza secanti, cioè tali da intersecarsi in due punti, si definisce asse radicale la retta passante per i due punti di intersezione delle due circonferenze. L'asse radicale in tal caso è una retta secante le due circonferenze e perpendicolare all'asse centrale. Dette

 

\\ x^2+y^2+\alpha x+\beta y +\gamma=0\\ \\ x^2+y^2+\alpha' x+\beta' y +\gamma'=0


le equazioni delle due circonferenze possiamo determinare l'equazione dell'asse radicale con la formula

 

(\alpha-\alpha')x+ (\beta-\beta')y+\gamma-\gamma'=0

 

Nel caso limite di due circonferenze tangenti, l'asse radicale si riduce alla retta perpendicolare all'asse centrale e passante per il punto di tangenza, per cui risulta essere tangente ad entrambe le circonferenze.

 

Per qualsiasi altra posizione tra le due circonferenze l'asse radicale non esiste.

 

 


 

Vi consigliamo caldamente di allenarvi con la scheda correlata di esercizi svolti perché le formule della circonferenza nel piano cartesiano torneranno a più riprese nel prosieguo dei vostri studi.

 

Vi segnaliamo inoltre una lettura utile per chi non riesce a disegnare la circonferenza a mano libera. Per tutto il resto - dubbi, domande o altri problemi risolti - vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna e di servirvi all'occorrenza del tool per studiare la circonferenza online. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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