Fascio improprio di rette

Un fascio improprio di rette (o fascio di rette parallele) è un insieme di rette tutte parallele tra loro, e che dunque non hanno alcun punto in comune.

 

Proseguiamo lo studio dei fasci di rette e passiamo ad analizzare nel dettaglio il caso del fascio improprio di rette. Nella precedente lezione abbiamo introdotto la nozione di fascio proprio di rette e abbiamo fornito un metodo che permette di studiare e classificare un fascio qualsiasi partendo semplicemente da un'equazione.

 

Potremmo accontentarci e chiudere il discorso, ma è molto meglio approfondire e prepararsi ad ogni possibile esercizio. Le verifiche alle scuole superiori sono tante e i professori sanno essere molto creativi... ;)

 

Fascio improprio di rette parallele

 

La definizione di fascio improprio di rette è molto semplice: si tratta di un fascio costituito da infinite rette tutte parallele tra loro. A differenza del caso proprio non vi sarà dunque alcun punto comune alle rette del fascio e, condizione ancor più forte, le rette non si intersecano nemmeno se prese a due a due. 

 

 

Fascio improprio di rette

Un fascio di rette parallele.

 

Dalla condizione di parallelismo tra rette sappiamo che due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare: un fascio improprio di rette è dunque, per definizione, un insieme di rette che presentano lo stesso coefficiente angolare.

 

Come ben sappiamo i fasci di rette in generale ammettono diverse possibili rappresentazioni mediante equazioni parametriche di primo grado in due incognite. Esattamente come nel caso proprio, l'equazione di un fascio improprio di rette può essere scritta in diversi modi: in analogia con l'equazione di una retta possiamo fare riferimento ad una forma esplicita

 

y=mx+q(k)

 

dove il coefficiente angolare m è costante tra tutte le rette del fascio, mentre la scrittura q(k) denota che l'ordinata all'origine q varia in funzione di un parametro k.

 

Una variante a noi nota prevede di ricorrere ad una rappresentazione implicita del fascio di rette parallele, ossia del tipo F(x,y,k), dove x,y sono le incognite e k è un parametro reale, della forma

 

ax+by+c+k(a'x+b'y+c)=0\ \ \ (\bullet)

 

Qui a,b,c,a',b',c' sono coefficienti numerici e possiamo scrivere la condizione affinché (\bullet) rappresenti un fascio di rette parallele: considerate le equazioni

 

\begin{cases}ax+by+c=0\\ a'x+b'y+c'=0\end{cases}

 

(\bullet) individua un fascio improprio se e solo se esiste un numero \lambda per cui

 

a=\lambda a'\ \ \mbox{ e } \ \ b=\lambda b'\ \ \mbox{ ma }\ \ c\neq \lambda c'

 

Niente di complicato a ben vedere: dalla formula per il coefficiente angolare di una retta in forma implicita sappiamo che m=-\frac{a}{b} e che m'=-\frac{a'}{b'}. Le due rette sono parallele se e solo se i due coefficienti angolari coincidono, il che tenuto conto dei rapporti consente ai coefficienti a,a' e b,b' di differire a meno di un multiplo reale \lambda

 

m=-\frac{a}{b}=-\frac{\lambda a'}{\lambda b'}=-\frac{a'}{b'}=m'

 

La condizione aggiuntiva c\neq \lambda c' fa sì che le due rette non siano coincidenti, altrimenti ci ritroveremmo nel caso di un fascio degenere di rette.

 

Le due rette

 

ax+by+c=0\ \ \ ;\ \ \ a'x+b'y+c'=0

 

generano algebricamente il fascio improprio anche se solitamente non si parla di rette generatrici di un fascio improprio, a differenza del caso proprio.

 

Bisogna però tenere conto che in una rappresentazione del tipo (\bullet) la retta ax+by+c=0 viene ottenuta per il valore del parametro k=0, mentre a'x+b'y+c=0 non corrisponde ad alcun valore del parametro k. Per questo motivo essa non appartiene al fascio si suol dire che tale retta viene individuata per k\to +\infty e prende il nome di retta esclusa.

 

Esempi sul fascio improprio di rette

 

Abbiamo capito che un fascio di rette parallele può presentarsi in diverse forme e negli esercizi sarà nostro compito classificare un qualsiasi fascio di rette, determinandone la natura. Se non avete già letto il metodo proposto nella lezione sul fascio di rette vi suggeriamo di farlo, perché qui lo daremo per buono. ;)

 

 

1) Partiamo da un esempio semplice. Vogliamo studiare il fascio di equazione

 

y=4x+k

 

Svolgimento: è immediato capire che l'equazione rappresenta un fascio di rette parallele perché tutte le rette condividono il medesimo coefficiente angolare m=4. Per rappresentarlo ci basta considerare la retta corrispondente ad un qualsiasi valore di k, come k=0, e considerare tute le possibili rette parallele ad essa nel piano cartesiano

 

 

Esempio fascio di rette parallele

Alcune rette del fascio improprio. In blu y=4x.

 

 

2) L'equazione

 

y=-x+\frac{k+1}{2}

 

rappresenta un fascio improprio poiché tutte le rette condividono il medesimo coefficiente angolare, m=-1, e l'unico termine che varia è l'ordinata all'origine q=\frac{k+1}{2}. Per disegnarle ci conviene considerare la retta più comoda possibile, vale a dire la bisettrice del secondo-quarto quadrante y=-x ottenuta per k=-1

 

 

Esempio su un fascio di rette improprio

Le rette del fascio con ordinata all'origine -4, 0, 1, 4.

 

 

3) Gli esercizi non sono sempre rose e fiori come negli esempi precedenti:

 

(2k+1)x+(4k+2)y-5k+1=0

 

Data la forma implicita dell'equazione dobbiamo applicare il procedimento visto nella lezione sul fascio proprio di rette e separare i termini dipendenti dal parametro k

 

x+2y+1+k(2x+4y-5)=0

 

Da qui abbiamo due rette generatrici e non sappiamo ancora di che tipo sia il fascio considerato. Consideriamo il sistema lineare per determinare l'eventuale punto di intersezione

 

\begin{cases}x+2y+1=0\\ 2x+4y-5=0\end{cases}

 

Se operiamo per sostituzione sulla seconda equazione

 

\begin{cases}x=-2y-1\\ 2(-2y-1)+4y-5=0\end{cases}\ \to\ \begin{cases}x=-2y-1\\ -7=0\end{cases}

 

scopriamo che il sistema è impossibile e quindi le due rette sono necessariamente parallele. La retta 2x+4y-5=0 è esclusa dal fascio improprio e tutte le altre sono parallele alla retta di equazione x+2y+1=0, dalla cui forma esplicita

 

y=-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}

 

deduciamo che il coefficiente angolare delle rette del fascio è m=-\frac{1}{2}.

 

 

Retta esclusa da un fascio improprio

In rosso la retta esclusa dal fascio improprio.

 

 


 

Come promesso nella lezione successiva tratteremo nel dettaglio il concetto di retta esclusa da un fascio. Nel frattempo potete consultare la scheda correlata di esercizi svolti e, in caso di necessità, servirvi del tool per studiare la retta online. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: equazione del fascio improprio di rette parallele, coefficiente angolare e rette generatrici.

 

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