Fascio di rette

Un fascio di rette è una famiglia di rette nel piano cartesiano individuate da un'equazione parametrica e può essere di due tipi: fascio proprio di rette, in cui le rette si intersecano in un punto detto centro del fascio, e fascio improprio di rette parallele.

 

Dopo aver analizzato vita, morte e miracoli della retta e tutte le formule che permettono di studiarla, facciamo un passo in avanti ed introduciamo la nozione di fascio di rette. Qui ci concentreremo sul caso del fascio proprio di rette dandone la definizione e mostrando come riconoscerlo, come calcolare le coordinate del centro e come ricavare le equazioni delle rette generatrici del fascio.

 

In uno dei formulari successivi passeremo ad analizzare il caso del fascio improprio di rette, o fascio di rette parallele. Vi invitiamo sin da subito a prestare attenzione perché negli esercizi vi sarà richiesto quasi sempre di riconoscere autonomamente il tipo di fascio di rette in esame e di comportarvi di conseguenza. ;)

 

Fascio proprio di rette

 

Abbiamo scritto che un fascio di rette in generale è una famiglia di rette che vengono descritte mediante un'unica equazione dipendente da un parametro (tipicamente indicato con k). La logica prevede che, al variare dei valori assunti dal parametro, vengano individuate tutte le rette che formano il fascio.

 

Tra tutti i posibili fasci di rette che possiamo considerare una particolare tipologia è data dal fascio proprio di rette. Per definizione, un fascio proprio di rette è un insieme di rette che hanno un solo punto in comune, detto centro del fascio di rette, di coordinate

 

C=(x_C,y_C)

 

Ognuna delle rette del fascio è individuata da una particolare inclinazione (o pendenza), cioè da un determinato angolo che la retta forma con l'asse delle x.

 

Fascio di rette

 

Equazione di un fascio proprio di rette

 

Ci sono diversi modi per scrivere l'equazione di un fascio proprio di rette. Tenuto conto che il coefficiente angolare di una retta è il termine che ne esprime l'inclinazione rispetto all'asse delle ascisse, in termini generali l'idea di base non differisce di molto da quanto abbiamo imparato studiando l'equazione della retta.

 

Nei termini più generali possibili un fascio proprio di rette si può descrivere mediante l'equazione della retta passante per un punto, facendo variare il coefficiente angolare. L'equazione di un fascio proprio di rette si può anche scrivere nella forma

 

y-y_C=m(k)(x-x_C)

 

dove (x_C,y_C) sono le coordinate del centro del fascio (punto comune a tutte le rette) e m(k) è il generico coefficiente angolare. La notazione m(k) significa che il coefficiente angolare m dipende dal parametro k.

 

Un'ulteriore rappresentazione parametrica prevede di servirsi di un'equazione in forma implicita, ossia del tipo F(x,y,k)=0, dove x,y sono le incognite dell'equazione e k è il parametro che individua le rette del fascio. La rappresentazione implicita di un fascio proprio di rette più comunemente usata è un'equazione del tipo

 

ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0\ \ \ (\bullet)

 

dove a,b,c,a',b',c' sono coefficienti numerici. Questo genere di rappresentazione è quella che prediligeremo nella risoluzione degli esercizi perché mette in evidenza le cosiddette rette generatrici del fascio


\begin{cases}ax+by+c=0\\ a'x+b'y+c'=0\end{cases}

 

Da notare che le due rette generatrici del fascio proprio si ottengono per i valori del parametro k dati da k=0 e per k\to +\infty. In particolare la retta che si ottiene per k\to +\infty non appartiene al fascio rappresentato dall'equazione \bullet ed è detta retta esclusa. Ce ne occupiamo nel dettaglio in un formulario a parte.

 

Come studiare un fascio di rette e capire se è un fascio proprio di rette

 

Negli esercizi incontrerete i fasci (propri) di rette in tante salse diverse; il più delle volte vi verrà fornita un'equazione parametrica e vi verrà richiesto di riconoscere il tipo di fascio (e di fare altre cose, ma procediamo con calma... ;) ).

 

Non spaventatevi per le diverse possibili forme in cui possono manifestarsi. Ciò che conta è ricordare la definizione e avere un unico metodo che permetta di studiare un qualsiasi fascio di rette che vi venga assegnato in sede di verifica. ;)

 

Il caso più ricorrente negli esercizi è quello in cui è data un'equazione di primo grado in due incognite x,y e dipendente da un parametro k della forma (\bullet). Indipendentemente dalla disposizione dei vari termini, nella pratica seguiremo i passaggi algebrici necessari per ridurci sempre alla rappresentazione implicita

 

ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0

 

In questo modo ricaviamo le equazioni delle rette generatrici del fascio:

 

ax+by+c=0\ \ \ ;\ \ \ a'x+b'y+c'=0

 

dove la generatrice a'x+b'y+c'=0 è la retta esclusa che non appartiene ad esso.

 

Fatto ciò passiamo a calcolare le coordinate cartesiane del centro del fascio mettendo a sistema le equazioni delle generatrici; sappiamo infatti che mettendo a sistema due rette che si intersecano si ottengono le coordinate del punto di intersezione

 

\begin{cases}ax+by+c=0\\ a'x+b'y+c'=0\end{cases}

 

Quello che abbiamo di fronte è un semplice sistema lineare che possiamo risolvere con le tecniche a noi note. Nulla di difficile: in generale un sistema lineare di due equazioni in due incognite può ammettere:

 

I) nessuna soluzione → nessun punto di intersezione → non è un fascio proprio di rette;

 

II) una sola soluzione → un unico punto di intersezione C=(x_C,y_C) → è un fascio proprio di rette e ne abbiamo calcolato il centro;

 

III) infinite soluzioni → le due rette a sistema sono coincidenti → non è un fascio proprio di rette.

 

Questo è il metodo che vi permetterà di studiare un fascio di rette qualsiasi e di capire se si tratta di un fascio proprio di rette. Che dire a proposito dei casi I) e III)? Come vedremo nel seguito nel caso I) ricadiamo in un fascio di rette parallele, mentre nel caso III) abbiamo a che fare con un fascio degenere in cui per ogni valore di k otteniamo sempre la medesima retta.

 

Esempi sui fasci di rette

 

1) Studiare il fascio di rette di equazione

 

y=\frac{k+1}{2}x+6

 

Svolgimento: portiamo l'equazione alla forma implicita con semplici passaggi algebrici

 

\\ 2y=(k+1)x+12\\ \\ kx+x+12-2y=0

 

e separiamo i termini che non contengono il parametro dagli altri

 

x-2y+12+kx=0

 

Abbiamo già individuato le equazioni delle rette generatrici del fascio

 

x-2y+12=0\ \ \ ;\ \ \ x=0

 

dove la generatrice esclusa dal fascio è x=0. Mettiamole a sistema:

 

\begin{cases}x-2y+12=0\\ x=0\end{cases}

 

Procediamo per sostituzione e ricaviamo come unica soluzione C=(0,6). Abbiamo quindi un fascio proprio di rette, con centro dato dal punto C e rette generatrici date da x=0 (asse delle ordinate) e x-2y+12=0.

 

 

Rette generatrici del fascio

Le generatrici del fascio proprio. 

 

 

2) Classificare il fascio di rette dato dall'equazione

 

(k+1)x+(2k-1)y+k+2=0

 

Svolgimento: sappiamo come procedere. Espandiamo i prodotti e ove possibile effettuiamo un raccoglimento a fattor comune su k

 

x-y+2+k(x+2y+1)=0

 

Le generatrici del fascio sono

 

x-y+2=0\ \ \ ;\ \ \ x+2y+1=0

 

e la seconda è la retta esclusa dal fascio. Mettiamole a sistema:

 

\begin{cases}x-y+2=0\\ x+2y+1=0\end{cases}

 

Possiamo ricorrere a diversi metodi del tutto equivalenti tra loro. Se optiamo per il metodo di riduzione conviene sostituire la seconda equazione con la differenza tra la seconda e la prima equazione

 

\begin{cases}x-y+2=0\\ 3y-1=0\end{cases}\ \to\ \begin{cases}x-y+2=0\\ y=\frac{1}{3}\end{cases}

 

da cui scopriamo che le due rette generatrici del fascio si intersecano in un (unico) punto C=\left(-\frac{5}{3},\frac{1}{3}\right), ragion per cui il fascio è proprio.

 

 

Esempio di fascio proprio di rette

Le generatrici del fascio proprio di rette.

 

 

3) Che tipo di fascio di rette rappresenta la seguente equazione?

 

(k-3)x-(3k-9)y+k=0

 

Svolgimento: cerchiamo le rette generatrici del fascio

 

-3x+9y+k(x-3y+1)=0

 

e mettiamole a sistema

 

\begin{cases}-3x+9y=0\\ x-3y+1=0\end{cases}

 

Lasciamo a voi il piacere di constatare che il sistema lineare è impossibile (i.e. non ammette soluzioni), per cui non abbiamo a che fare con un fascio proprio di rette (che per definizione deve avere un punto comune a tutte le rette). Nel seguito approfondiremo il discorso, ma un'occhio allenato dovrebbe vedere facilmente che le generatrici sono rette parallele e quindi genereranno necessariamente un fascio di rette parallele.

 

Dubbi al riguardo? Non abbiatene e calcolate i coefficienti angolari delle due rette con la formula per equazioni implicite

 

\\ m=-\frac{a}{b}=-\frac{-3}{9}=\frac{1}{3}\\ \\ \\ m'=-\frac{a'}{b'}=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}

 

 

Fascio di rette parallele

Generatrici parallele: non è un fascio proprio!

 

 

4) Ultimo esempio:

 

(3k+1)x+(-3k-1)y=0

 

Svolgimento: si ricava

 

x-y+k(3x-3y)=0

 

e mettendo a sistema le equazioni delle generatrici

 

\begin{cases}x-y=0\\ 3x-3y=0\end{cases}

 

si ottiene un sistema indeterminato, ossia con infinite soluzioni. Le due rette generatrici coincidono e più in generale, per ogni valore di

 

3k+1\neq 0\ \to\ k\neq -\frac{1}{3} 

 

tutte le rette del fascio collassano sulla bisettrice del primo-terzo quadrante x-y=0. Come si intuisce facilmente in questa eventualità la questione della retta esclusa non si pone, perché 3x-3y=0 coincide con la retta x-y=0 che viene individuata dal valore del parametro k=0.

 

 


 

Abbiamo finito: c'è una scheda correlata di esercizi svolti che vi aspetta e per ogni necessità un comodo tool che consente di studiare la retta online. Non dimenticate che qui su YM abbiamo risolto migliaia di esercizi e di problemi e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: equazione del fascio proprio di rette parallele, coefficiente angolare e rette generatrici.

 

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