Retta per un punto

Con retta passante per un punto ci si riferisce alla formula per determinare l'equazione della retta per un punto note le coordinate del punto di passaggio e il coefficiente angolare della retta.

 

Dopo aver studiato la formula per l'equazione della retta passante per due punti passiamo ad un'ulteriore formula che ricorre spesso e volentieri negli esercizi e nei problemi. Essa ci permetterà di calcolare l'equazione di una retta passante per un punto a patto di conoscerne il coefficiente angolare.

 

Oltre alla formula vedremo diversi esempi di applicazione e proporremo la dimostrazione della formula della retta per un punto, in modo da comprenderne a fondo la logica.

 

Equazione della retta passante per un punto

 

Vediamo come determinare la retta passante per un punto a partire dalle coordinate di un punto e dal coefficiente angolare.

 

Retta passante per un punto

Retta passante per un punto.

 

Dato un punto nel piano cartesiano, sia esso P con coordinate (x_P,y_P), se conosciamo il coefficiente angolare della retta di cui vogliamo scrivere l'equazione possiamo fare riferimento ad una specifica formula. 

 

L'equazione della retta passante per un punto P con coefficiente angolare m è data da

 

y-y_P=m(x-x_P)

 

È importante notare che la precedente formula non consente di determinare le rette verticali, ossia le rette parallele all'asse delle y con equazione della forma x=k, poiché in tal caso il coefficiente angolare m non è definito.

 

Esempi sull'equazione della retta passante per un punto

 

1) Determinare l'equazione della retta passante per l'origine e avente coefficiente angolare m=-1.

 

Svolgimento: usando la formula e ricordando che l'origine ha coordinate (0,0), ricaviamo

 

y-y_P=m(x-x_P)\ \to\ y-0=(-1)\cdot (x-0)\ \to\ y=-x 

 

che è l'equazione della bisettrice del secondo-quarto quadrante. Si noti che con m=1 avremmo ottenuto la bisettrice del primo-terzo quadrante.

 

 

2) Scrivere l'equazione della retta orizzontale avente ordinata all'origine q=5.

 

Svolgimento: per definizione l'ordinata all'origine è l'ordinata del punto di intersezione tra la retta e l'asse delle y, quindi sappiamo che il punto di passaggio di cui disponiamo è P=(0,5). D'altra parte una retta orizzontale ha coefficiente angolare nullo, cosicché

 

y-y_P=m(x-x_P)\ \to\ y-5=0\cdot (x-0)\ \to\ y=5

 

 

3) Calcolare l'equazione della retta s passante per il punto P=(-1,-5) e parallela alla retta di equazione r:\ y=3x+7.

 

Svolgimento: due rette parallele condividono lo stesso coefficiente angolare. Dall'equazione della retta r si vede subito che

 

m_r=3\ \to\ m_s=3

 

per cui non ci resta che usare la formula prestando attenzione ai segni

 

\\ y-y_P=m(x-x_P)\ \to\ y-(-5)=3(x-(-1))\\ \\ \to\ y+5=3(x+1)\ \to\ y=3x-2

 

 

4) Individuare la retta s passante per il punto P=(0,2) e perpendicolare alla retta di equazione r:\ 2x+y=0.

 

Svolgimento: dobbiamo solamente ricavare il coefficiente angolare della retta r e per farlo possiamo riscriverne l'equazione in forma esplicita

 

r:\ y=-2x\ \to\ m_r=-2

 

Due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari che sono l'uno il reciproco dell'opposto dell'altro, dunque 

 

m_s=-\frac{1}{m_r}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}

 

sicché

 

y-y_P=m(x-x_P)\ \to\ y-2=\frac{1}{2}(x-0)\ \to\ y=\frac{x}{2}+2

 

Dimostrazione della formula per la retta per un punto

 

La dimostrazione della formula della retta per un punto è immediata e si basa sull'equazione della retta in forma esplicita:

 

y=mx+q

 

Per ipotesi la retta passa per il punto P=(x_P,y_P) ed ha come coefficiente angolare m, dunque disponiamo delle coordinate del punto e del valore del coefficiente angolare. Imponiamo il passaggio per P

 

y_P=mx_P+q

 

da cui ricaviamo l'ordinata all'origine in funzione dei dati in nostro possesso

 

q=y_P-mx_P

 

Non ci resta che sostituire tale espressione nell'equazione in forma esplicita

 

y=mx+y_P-mx_P

 

e riordinare

 

y-y_P=m(x-x_P)

 

 


 

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Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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