Retta passante per due punti

Con l'espressione retta passante per due punti ci si riferisce alla formula che permette di calcolare l'equazione di una retta a partire dalle coordinate cartesiane di due punti appartenenti ad essa.

 

Qui di seguito vi proponiamo la formula della retta per due punti, vale a dire la formula che permette di determinare l'equazione di una retta conoscendo le coordinate di due punti di passaggio distinti tra loro. Attenzione perché si tratta di una formula piuttosto ricorrente negli esercizi di Geometria Analitica, dunque è fondamentale ricordarla.

 

Per darvi un quadro completo riporteremo alcuni esempi svolti nonché la dimostrazione della formula, ed altre due formule che possono tornare utili quando si dispone di due punti appartenenti ad una retta: quelle per il coefficiente angolare e per l'ordinata all'origine.

 

Equazione della retta passante per due punti

 

Come si fa a scrivere l'equazione della retta passante per due punti del piano cartesiano? Nei precedenti formulari abbiamo visto il metodo che permette di studiare l'equazione di una retta in modo da estrapolarne tutte le informazioni possibili, ma non abbiamo detto nulla circa i possibili metodi per scrivere l'equazione di una retta.

 

Per cominciare sappiamo che, dati due punti nel piano cartesiano di coordinate A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B), esiste una e una sola retta passante per i due punti dati.

 

Retta passante per due punti

Una retta passante per due punti.

 

Per determinare l'equazione della retta passante per due punti di cui si conoscono le coordinate possiamo ricorrere alla seguente formula

 

\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}

 

La formula che abbiamo appena visto vale solamente nel caso in cui x_1\neq x_2 e y_1\neq y_2, ovvero nell'eventualità in cui i due punti non siano allineati né verticalmente né orizzontalmente.

 

 

Retta passante per due punti allineati verticalmente

 

Se x_1=x_2 e y_1\neq y_2, cioè se i due punti sono allineati verticalmente, allora l'equazione della retta passante per i due punti è data da

 

x=x_1

 

 

Retta passante per due punti allineati orizzontalmente

 

Se invece y_1=y_2 e x_1\neq x_2, cioè se i due punti sono allineati orizzontalmente, allora l'equazione della retta passante per i due punti è data da

 

y=y_1

 

 

Osservazione (i due punti devono essere distinti)

 

Osserviamo che l'unico caso non contemplato è quello per cui x_1=x_2 e y_1=y_2, eventualità in cui risulterebbe P_1=P_2. In tal caso i due punti sarebbero coincidenti e non esisterebbe una sola retta passante per il punto dato. L'unica possibilità per individuare univocamente una retta passante per un punto richiede di conoscerne anche il coefficiente angolare, come spiegato nel formulario sulla retta passante per un punto.

 

Esempi sulla retta passante per due punti

 

Vediamo alcuni esempi significativi sul calcolo dell'equazione della retta passante per due punti assegnati.

 

1) Determinare la retta passante per i due punti P_1=(2,-3),\ P_2=(2,4).

 

Svolgimento: poiché x_1=x_2 ne deduciamo che i due punti sono allineati verticalmente e dunque l'equazione della retta che li intercetta è data da

 

x=2

 

 

2) Scrivere l'equazione della retta per i due punti P_1=(3,-1),\ P_2=(0,-1).

 

Svolgimento: dal momento che y_1=y_2 si capisce che i due punti sono allineati orizzontalmente, per cui l'equazione della retta passante per i due punti assegnati è data da

 

y=-1

 

 

3) Determinare l'equazione della retta passante per i due punti P_1=(2,-3),\ P_2=(3,-1).

 

Svolgimento: i due punti non sono allineati e quindi procediamo direttamente con la formula

 

\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}

 

da cui ricaviamo (attenzione ai segni!)

 

\frac{x-2}{3-2}=\frac{y-(-3)}{-1-(-3)}\ \to\ x-2=\frac{y+3}{2}

 

Da qui possiamo ricavare la forma esplicita della retta con semplici passaggi algebrici

 

y=2x-7

 

Dimostrazione della formula per la retta passante per due punti

 

Naturalmente la formula della retta passante per due punti non è piovuta dal cielo ed è bene conoscerne la dimostrazione, in modo da capire la logica che permette di determinarla. Consideriamo due punti di coordinate P_1=(x_1,y_1)\mbox{ e }P_2=(x_2,y_2) e imponiamo la condizione di passaggio nell'equazione di una retta espressa in forma esplicita

 

y=mx+q\ \to\ \begin{cases}y_1=mx_1+q\\ y_2=mx_2+q\end{cases}

 

Ci troviamo di fronte ad un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Applichiamo il metodo del confronto

 

\begin{cases}q=y_1-mx_1\\ q=y_2-mx_2\end{cases}

 

ed effettuiamo il confronto sulla seconda equazione

 

\begin{cases}q=y_1-mx_1\\ y_1-mx_1=y_2-mx_2\end{cases}

 

Risolviamo la seconda equazione in favore di m

 

\begin{cases}q=y_1-mx_1\\ m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\end{cases}

 

e sostituiamo tale espressione nella prima equazione, ottenendo

 

\begin{cases}q=y_1-\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}x_1\\ m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\end{cases}

 

Se sostituiamo le espressioni dell'ordinata all'origine q e del coefficiente angolare m nell'equazione della retta in forma esplicita y=mx+q, otteniamo

 

y=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}x+y_1-\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}x_1

 

Portando a sinistra l'addendo y_1 ed effettuando un raccoglimento totale a destra passiamo a

 

y-y_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1)\ \ \to\ \ \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}

 

che è proprio la formula per la retta passante per due punti, la quale ammette come forma del tutto equivalente

 

\frac{y-y_2}{y_1-y_2}=\frac{x-x_2}{x_1-x_2}

 

la quale si ottiene moltiplicando entrambi i membri della precedente per -1. Com'era lecito aspettarsi non è dunque importante l'ordinamento dei punti, piuttosto è importante che ci sia coerenza nell'ordinamento tra il membro di sinistra ed il membro di destra.

 

La dimostrazione della formula per la distanza tra due punti ci ha permesso inoltre di ricavare due ulteriori formule per il coefficiente angolare e per l'ordinata all'origine noti due punti di passaggio, che avevamo già menzionato nel formulario sulla retta:

 

\begin{cases}m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\\ q=\frac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}\end{cases}\ \ \ \mbox{se }x_1\neq x_2

 

Raccogliendo un segno meno nei numeratori e nei denominatori si ricavano le formule equivalenti a pedici invertiti. ;)

 

 


 

Per chiudere in bellezza vi rimandiamo ai tool per calcolare l'equazione della retta per due punti online e per studiare la retta online. Per qualsiasi altra necessità e per scegliere tra migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna. ;)

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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