Rette parallele e perpendicolari

Due rette parallele nel piano sono rette che non si intersecano in alcun punto (parallele distinte) oppure tali da coincidere (parallele coincidenti); due rette perpendicolari nel piano sono rette che si intersecano formando quattro angoli retti.

 

In questo semplice formulario mostreremo quali sono le condizioni e le formule che caratterizzano coppie di rette parallele e rette perpendicolari nel piano, e spiegheremo come capire se due rette sono parallele o perpendicolari a partire dalle equazioni delle rette.

 

Prima di procedere richiameremo brevemente le definizioni e le proprietà euclidee per poi procedere con le formule ed alcuni esempi di applicazione; ad eccezione delle definizioni e delle proprietà, il formulario riguarda strettamente la Geometria Analitica e si rivolge agli studenti dalla terza superiore in avanti. Gli studenti universitari che stanno studiando Algebra Lineare e che sono interessati alle rette nello spazio possono trovare le lezioni di riferimento nella sezione di Geometria dello spazio. ;)

 

Rette parallele e condizione di parallelismo tra rette


Per definizione due rette parallele nel piano sono due rette tali da non intersecarsi in alcun punto oppure tali da essere rette coincidenti. Nel primo caso parleremo di rette parallele distinte, nel secondo di rette parallele coincidenti.

 

 

Rette parallele

Due rette parallele distinte.

 

 

Esistono diverse caratterizzazioni equivalenti della definizione; tra queste la più importante ed elementare è quella relativa al teorema delle rette parallele, detto anche criterio di parallelismo, che riguarda gli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale.

 

Nel caso piano si può inoltre esprimere il parallelismo dicendo che due rette che non sono incidenti sono necessariamente parallele (attenzione a non generalizzare: questo fatto non vale in tre dimensioni, infatti due rette che non siano incidenti nello spazio possono essere eventualmente rette sghembe).

 

In termini analitici ci chiediamo quale sia la condizione di parallelismo tra due rette: due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.

 

Se disponiamo delle equazioni delle rette in forma esplicita, ossia

 

r:\ y=m_1x+q_1\ \ \ ;\ \ \ s:\ y=m_2x+q_2

 

allora le due rette r,s sono parallele (r//s)  se e solo se

 

m_1=m_2

 

Se invece le due rette sono verticali, ossia con equazioni del tipo

 

x=x_1\ \ \ ;\ \ \ x=x_2

 

allora sono necessariamente parallele perché per definizione sono parallele all'asse y.

 

Se invece le due rette sono date in forma implicita, vale a dire nella forma

 

\\ r:\ a_1x+b_1y+c_1=0\\ \\ s:\ a_2x+b_2y+c_2=0

 

allora r,s sono parallele se e solo se (condizione di parallelismo tra rette)

 

a_1b_2=a_2b_1

 

Se b_1=0=b_2 nelle precedenti equazioni abbiamo a che fare con due rette verticali e dunque parallele. Per ricavare la condizione implicita di parallelismo è sufficiente ricordare la formula per il coefficiente angolare dall'equazione implicita di una retta

 

m_r=-\frac{a_1}{b_1}\ \ \ ;\ \ \ m_s=-\frac{a_2}{b_2}

 

e imporre l'uguaglianza tra i coefficienti angolari

 

m_1=m_2\ \iff\ -\frac{a_1}{b_1}=-\frac{a_2}{b_2}\ \iff\ a_1b_2=a_2b_1

 

Esempi sulle rette parallele

 

1) Le rette r:\ y=3x+6\mbox{ e }s:\ y=3x-8 sono parallele poiché presentano lo stesso coefficiente angolare:

 

m_r=3=m_s

 

2) Le rette t:\ -x+2y+1=0\mbox{ e }u:\ -5x+10y=0 sono parallele, infatti dalla formula per il coefficiente angolare di rette in forma implicita

 

\\ m_t=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}\\ \\ m_u=-\frac{-5}{10}=\frac{1}{2}

 

Un modo alternativo per capirlo prevede di usare la formula per la condizione implicita di parallelismo

 

a_1b_2=(-1)\cdot 10=-10=(-5)\cdot 2=a_2b_1

 

Rette perpendicolari e condizione di perpendicolarità


Due rette perpendicolari nel piano si definiscono tali se esse si intersecano in un solo punto formando quattro angoli retti. In modo equivalente, due rette perpendicolari nel piano sono rette incidenti che formano quattro angoli di 90°.

 

 

Rette perpendicolari

Due rette perpendicolari.

 

 

A partire dalla precedente definizione la nozione di perpendicolarità viene estesa con logica analoga a diversi altri enti geometrici nel piano e nello spazio: segmenti, semirette, e così via.

 

In termini analitici la condizione di perpendicolarità tra due rette si traduce ancora una volta in una formula che coinvolge i coefficienti angolari: due rette sono perpendicolari se e solo se i coefficienti angolari sono l'uno il reciproco dell'opposto dell'altro.

 

Se le due rette sono date in forma esplicita, la condizione di perpendicolarità tra le due rette (r\perp s) si esprime attraverso il fatto che

 

m_1=-\frac{1}{m_2}

 

o, in alternativa, sono perpendicolari se e solo se il prodotto tra i due coefficienti angolari è uguale a -1

 

m_1m_2=-1

 

Facendo riferimento alla forma implicita delle rette, è facilissimo vedere con due conticini che la condizione di perpendicolarità equivale a

 

a_1a_2+b_1b_2=0

 

Per capirlo ci basta riscrivere la condizione esplicita servendoci della formula per il coefficiente angolare dall'equazione implicita

 

m_1=-\frac{a_1}{b_1}\ \ \ ;\ \ \ m_2=-\frac{a_2}{b_2}

 

e quindi

 

m_1m_2=-1\ \iff\ \left(-\frac{a_1}{b_1}\right)\left(-\frac{a_2}{b_2}\right)=-1\ \iff\ a_1a_2+b_1b_2=0

 

Esempi sulle rette perpendicolari

 

1) Le rette r:\ y=-5x+12\mbox{ e }s:\ y=\frac{x}{5}-\frac{6}{7} sono perpendicolari poiché

 

m_rm_s=(-5)\cdot \frac{1}{5}=-1

 

2) Le rette t:\ 4x+3y=0\mbox{ e }u:\ -6x+8y+5=0 sono perpendicolari, infatti

 

a_1a_2+b_1b_2=4\cdot (-6)+3\cdot 8=-24+24=0

 

 


 

È quasi superfluo dire che le condizioni di parallelismo e perpendicolarità torneranno a più riprese nella quasi totalità di esercizi che dovrete risolvere. Un esempio? Più avanti tratteremo la nozione di fascio di rette parallele, e già il nome è tutto un programma! :)

 

Nel frattempo potete allenarvi con le schede correlate di esercizi svolti e, all'occorrenza, servirvi dei tools per risolvere la retta online e di quello per disegnare luoghi geometrici online. Per tutto il resto servitevi pure con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: condizione di parallelismo e di perpendicolarità tra rette nel piano, condizioni sul coefficiente angolare per rette parallele e perpendicolari.

 

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