Coefficiente angolare

Il coefficiente angolare di una retta è un coefficiente numerico, solitamente indicato con m, che esprime una misura della pendenza della retta rispetto all'asse x (o a qualsiasi retta orizzontale) e che compare direttamente nell'equazione esplicita y=mx+q.

 

Prima di capire qual è il legame analitico tra il coefficiente angolare di una retta e l'angolo che la retta forma con l'asse x, ossia in che modo il coefficiente angolare misura la pendenza della retta, vediamo quali formule permettono di calcolarlo a partire dalle possibili equazioni di una retta.

 

Coefficiente angolare

 

Cos'è il coefficiente angolare e come si calcola

 

Ci sono due modi per determinare il coefficiente angolare e dipendono dalla forma con cui viene espressa l'equazione della retta.

 

Se la retta r è data in forma implicita, cioè nella forma

 

ax+by+c=0

 

il coefficiente angolare m si ricava come

 

m=-\frac{a}{b}\ \mbox{ se }b\neq 0\ (\mbox{retta non verticale})

 

Nel caso di una retta verticale, ossia parallela all'asse y, il coefficiente angolare non è definito in alcun modo. Alle scuole superiori si suole anche dire che il coefficiente angolare di una retta verticale è infinito e si scrive, con abuso di notazione, m=+\infty.

 

Se la retta r è data in forma esplicita, ossia attraverso un'equazione della forma

 

y=mx+q

 

allora il coefficiente angolare è già lì, bello pronto e apparecchiato. Si tratta proprio del coefficiente m associato all'incognita x. ;)

 

Definizione di coefficiente angolare

 

Dopo aver visto come calcolare il coefficiente angolare dall'equazione di una retta in forma esplicita o implicita possiamo darne una definizione rigorosa. Per misurare la pendenza di una retta possiamo considerare tre punti che le appartengono, come P_0,P_1,P_2 in figura

 

 

Definizione di coefficiente angolare

 

 

Comunque si considerino tre punti P_0,P_1,P_2 distinti tra loro si vede facilmente che è costante il rapporto tra la differenza di ordinate e la differenza di ascisse

 

\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\mbox{costante}\ \forall P_0,P_1,P_2

 

dove per comodità abbiamo collocato il punto P_0 sull'asse delle ascisse. Per dimostrare che il suddetto rapporto è costante basta considerare i due triangoli rettangoli in figura. Applicando i teoremi sugli angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale e si riesce ad applicare il criterio di similitudine per triangoli con tutti gli angoli rispettivamente congruenti.

 

Essendo i due triangoli simili tra loro ne consegue che i lati corrispondenti sono proporzionali, cosicché

 

\\ \frac{y_2-y_1}{y_1-y_0}=\frac{x_2-x_1}{x_1-x_0}\ \to\ \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}

 

Abbiamo così dimostrato che comunque si considerino due punti P_1=(x_1,y_1)\mbox{ e }P_2=(x_2,y_2) appartenenti ad una retta, con x_2>x_1, è costante il rapporto

 

\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\mbox{costante}\ \mbox{ per ogni }x_2> x_1,\ P_1,P_2\in r

 

Di più: possiamo anche invertire l'ordine dei punti raccogliendo un segno meno sia a numeratore che a denominatore e il rapporto non cambia. Tale proprietà ci permette di parlare di pendenza della retta mediante la definizione di coefficiente angolare

 

m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\ \mbox{ per ogni }x_2\neq x_1,\ P_1,P_2\in r

 

La dimostrazione è particolarmente utile perché mette in evidenza come l'inclinazione della retta possa essere misurata a partire dall'asse delle x o, equivalentemente, mediante una qualsiasi retta orizzontale. È inoltre chiaro che il coefficiente angolare non è definito nel caso delle rette verticali, per le quali risulta sempre x_1=x_2.

 

Coefficiente angolare e pendenza della retta: angolo di inclinazione

 

La definizione che abbiamo appena fornito è quella che tipicamente viene proposta al terzo anno delle scuole superiori. Per chi ha già studiato Trigonometria è possibile fornire una definizione equivalente del coefficiente angolare, ben più immediata e geometricamente intuitiva. Gli studenti del terzo anno possono limitarsi a prendere per buona la relativa formula e le considerazioni che ne derivano. ;)

 

In che modo il coefficiente angolare misura l'inclinazione di una retta? Consideriamo l'angolo \alpha formato da una retta r rispetto all'asse delle ascisse, o equivalentemente l'angolo che la retta forma con qualsiasi orizzontale. Possiamo definire il coefficiente angolare in relazione all'angolo formato con una qualsiasi retta orizzontale:

 

m=\tan(\alpha)\ \ \mbox{ per }-90^o<\alpha<90^o

 

In altri termini il coefficiente angolare è la tangente dell'angolo \alpha. Si noti che tale relazione si riferisce all'angolo acuto che la retta forma una qualsiasi orizzontale e che la sua ampiezza rimane sempre la stessa. In particolare:

 

- il coefficiente angolare è negativo se la retta taglia l'orizzontale con ordinate decrescenti. L'angolo ottenuto giace al di sotto della retta orizzontale e si intende misurato in senso orario.

 

- È nullo per qualsiasi retta orizzontale.

 

- È positivo se la retta taglia l'orizzontale con ordinate crescenti. L'angolo ottenuto giace al di sopra della retta orizzontale e si intende misurato in senso antiorario.

 

Il caso \alpha=90^o non è contemplato dalla formula ed individua banalmente le rette verticali per le quali, come sappiamo, il coefficiente angolare non è definito.

 

La formula inversa per calcolare l'angolo dal coefficiente angolare di una retta prevede di ricorrere alla funzione arcotangente

 

\alpha=\begin{cases}\arctan(m)\ \mbox{ retta non verticale }\\ 90^o\ \mbox{ retta verticale }\end{cases}

 

e, come ci aspettavamo, nel caso di una retta parallela all'asse delle ascisse, ossia con equazione della forma y=k, otteniamo \alpha=0, mentre per qualsiasi altra retta che non sia né verticale né orizzontale ricaviamo l'angolo acuto formato con l'asse delle ascisse.

 

 

Esempi sul coefficiente angolare

 

1) La bisettrice del primo-terzo quadrante y=x ha coefficiente angolare m=1, e l'angolo che essa forma con l'asse x è dato da \alpha=45^o.

 

2) La bisettrice del secondo-quarto quadrante y=-x ha coefficiente angolare negativo dato da m=-1 e forma un angolo \alpha=-45^o con l'asse delle ascisse. Il segno meno sta ad indicare che l'angolo viene percorso in senso orario e, volendo determinare l'angolo che essa individua nel semipiano delle ordinate positive, ci basterà osservare che è l'angolo supplementare di \alpha

 

180^o-\alpha=45^o=135^o

 

3) La retta y=-4 ha coefficiente angolare nullo.

 

4) La retta 2x+y+1=0 ha coefficiente angolare m=-\frac{2}{1}=-2 e forma un angolo non notevole con l'asse x, misurato in senso orario.

 

 

Esempi sul coefficiente angolare

L'angolo di inclinazione può essere misurato con qualsiasi retta orizzontale!

 

Coefficiente angolare di una retta passante per due punti

 

La prima definizione che abbiamo fornito ha una valenza pratica oltre che teorica, perché conoscendo le coordinate di due diversi punti appartenenti ad una retta, siano esse (x_1,y_1)\mbox{ e }(x_2,y_2), possiamo calcolare il coefficiente angolare della retta passante per i due punti con la seguente formula

 

m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \ \mbox{ se } \ x_2\neq x_1

 

Se x_1=x_2 allora abbiamo a che fare con una retta verticale, e quindi il coefficiente angolare della retta non è definito. L'equazione della retta in tal caso è x=x_1.

 

Altre formule che coinvolgono il coefficiente angolare

 

Nei formulari successivi apprezzeremo l'utilità pratica del coefficiente angolare studiando alcune formule che lo coinvolgono in prima persona. Tra queste:

 

- le relazioni per le rette parallele e perpendicolari;

 

- la formula della retta passante per un punto noto il coefficiente angolare;

 

- l'equazione di un fascio proprio di rette.

 

 


 

Le formule del coefficiente angolare che abbiamo commentato in questo formulario sono riproposte, insieme a diverse altre e a una scheda di esercizi svolti, nel formulario sulla retta. Non perdetevi inoltre il tool per studiare la retta online, grazie al quale riportando l'equazione di una retta qualsiasi potrete conoscerne immediatamente il coefficiente angolare (in inglese slope).

 

Per gli studenti universitari e di quinta superiore che stanno ripassando, invece, è importante conoscere il legame tra il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di una funzione e la nozione di derivata della funzione.

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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