Equazione della retta

Una retta nel piano cartesiano viene individuata da un'equazione dipendente dalle due variabili x,y, che sono rispettivamente ascissa e ordinata di un generico punto del piano. In questo formulario introdurremo due tipi di equazione della retta: l'equazione in forma implicita e quella in forma esplicita.

 

Abbiamo infine dedicato un paragrafo all'equazione parametrica della retta nel piano, la cui lettura è lasciata ad un pubblico universitario.

 

Equazioni della retta

 

Tutti e soli i punti (x,y) che appartengono alla retta sono tutti e soli i punti le cui coordinate x,y soddisfano l'equazione della retta.

 
 

Equazione della retta in forma implicita ed esplicita

 

Ci sono due tipi di equazioni con cui si può esprimere una retta nel piano cartesiano: l'equazione di una retta si può scrivere in forma implicita o in forma esplicita.



L'equazione della retta in forma implicita è un'equazione della forma F(x,y)=0, ovvero

 

ax+by+c=0

 

dove x,y sono variabili e a,b,c sono costanti. Da notare che:

 

- se b=0 l'equazione della retta in forma implicita diventa ax+c=0, e individua una retta verticale;

 

- se a=0 l'equazione della retta in forma implicita diventa by+c=0, e individua una retta orizzontale.

 

 

L'equazione della retta in forma esplicita è un'equazione della forma y=f(x), ed è del tipo

 

y=mx+q

 

dove x,y sono variabili e m,q sono costanti. In particolare, m è detto coefficiente angolare della retta e q quota all'origine della retta.

 

I due tipi di equazioni della retta sono distinti, ma naturalmente sono algebricamente equivalenti: si può sempre esprimere una delle due forme nell'altra procedendo con semplici passaggi algebrici.

 

 

Esempi

 

Se vuoi vedere qualche esempio, vedi:

 

- equazione della retta in forma implicita;

- equazione della retta in forma esplicita;

 

Come casi particolari:

 

- retta per l'origine;

- equazione segmentaria.

 

 

Come verificare se un punto appartiene a una retta?


Indipendentemente dal fatto che la retta sia espressa in forma implicita o esplicita, è sufficiente sostituire l'ascissa x_P del punto P e l'ordinata y_P del punto P al posto delle variabili x,y dell'equazione della retta.

 

Se l'equazione si trasforma in un'uguaglianza verificata (valida), allora il punto appartiene alla retta; in caso contrario no (ad esempio se risulta 3=0: non è un'uguaglianza verificata!).

 

Disclaimer: il paragrafo seguente lo riserviamo a lettori universitari.

 

Equazione parametrica della retta nel piano

 

Una retta del piano cartesiano risulta univocamente determinata quando conosciamo:

 

- le coordinate cartesiane di un suo punto P(x_0, y_0);

 

- la sua direzione individuata da un vettore v=(v_1,v_2) del piano.

 

Con queste informazioni possiamo immediatamente scrivere l'equazione della retta in forma parametrica:

 

\begin{cases}x=x_0+tv_1 \\ y=y_0+tv_2\end{cases}

 

dove t è un parametro reale. La retta è quindi descritta dall'insieme di tutti e soli i punti che vi appartengono; tali punti si ottengono al variare del parametro t nell'insieme dei numeri reali. Osservate che per t=0 si ottiene il punto P(x_0,y_0).

 

Come ben saprete, conoscendo le coordinate cartesiane di due punti appartenenti alla retta, sfruttando la formula sull'equazione della retta passante per due punti si risale facilmente alla sua equazione cartesiana.

 

Osservate però che la conoscenza delle coordinate di due punti della retta, diciamoli P_1(x_1, y_1) \mbox{ e } P_2(x_2,y_2) ci permette di individuare la direzione della retta la quale è data dal vettore del piano

 

v=(v_1, \ v_2)=P_2-P_1=(x_2-x_1, \ y_2-y_1)

 

oppure

 

v=(v_1, \ v_2)=P_1-P_2=(x_1-x_2, \ y_1-y_2)

 

Ricordate infatti che la direzione di una retta è unica a meno di un coefficiente di proporzionalità e, le due direzioni così ricavate, differiscono per la costante moltiplicativa -1.

 

Pertanto, se sono note le coordinate di due punti della retta possiamo scrivere le sue equazioni parametriche come:

 

\begin{cases}x=x_0+t(x_2-x_1) \\ y=y_0+t(y_2-y_1)\end{cases}

 

 


 

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Namasté!

Agente Ω

 

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