Equazione della retta

L'equazione della retta nel piano cartesiano individua tutti e soli i punti appartenenti alla retta come soluzioni (x,y) di un'equazione di primo grado in due incognite; in altri termini, l'equazione di una retta la individua come luogo geometrico.

 

In questo formulario riprendiamo ed espandiamo il concetto di equazione di una retta che abbiamo introdotto nel formulario sulla retta. Come vedremo tra poco una retta nel piano cartesiano viene individuata da un'equazione dipendente dalle due variabili x,y, che sono rispettivamente ascissa e ordinata di un generico punto del piano. In questo formulario introdurremo due tipi di equazione della retta: l'equazione in forma implicita e quella in forma esplicita, proponendo diversi esempi ed esercizi svolti.

 

Abbiamo infine dedicato un paragrafo all'equazione parametrica della retta nel piano, la cui lettura è lasciata ad un pubblico universitario. Rimandiamo inoltre gli universitari interessati alla lettura delle lezioni di Algebra Lineare in cui trattiamo il caso delle equazioni di una retta nello spazio.

 

Equazione della retta in forma implicita ed esplicita

 

Dalla definizione di retta sappiamo che una retta nel piano cartesiano è il luogo geometrico dei punti allineati lungo una specifica direzione, e che è pure un ente geometrico fondamentale costituito da un'infinità di punti allineati, privo di lunghezza e spessore. La Geometria Analitica ed in particolare l'uso di un sistema di coordinate cartesiane ci consentono di descrivere una qualsiasi retta mediante un'equazione di primo grado in due incognite (x,y).

 

L'equazione della retta permette di individuarla e di rappresentarla univocamente nel piano cartesiano partendo dalla condizione di appartenenza dei punti, secondo cui tutti e soli i punti (x,y) che appartengono alla retta sono tutti e soli i punti le cui coordinate x,y soddisfano l'equazione della retta.

 

 

Equazione della retta

Una retta nel piano cartesiano.

 

Ci sono due tipi di equazioni della retta con cui si può descrivere una retta nel piano cartesiano, del tutto equivalenti tra loro: l'equazione di una retta si può scrivere in forma implicita o in forma esplicita.



L'equazione della retta in forma implicita è un'equazione della forma F(x,y)=0, ovvero

 

ax+by+c=0

 

dove x,y sono variabili e a,b,c sono coefficienti numerici. Da notare che:

 

- se b=0 l'equazione della retta in forma implicita diventa ax+c=0 e individua una retta verticale, riconducibile alla forma x=k e parallela all'asse delle ordinate;

 

- se a=0 l'equazione della retta in forma implicita diventa by+c=0 e individua una retta orizzontale, riconducibile alla forma y=k e parallela all'asse delle ascisse.

 

 

L'equazione della retta in forma esplicita è un'equazione della forma y=f(x), ed è del tipo

 

y=mx+q

 

dove x,y sono variabili e m,q sono costanti. In particolare, m è detto coefficiente angolare della retta e q quota all'origine della retta.

 

I due tipi di equazioni della retta sono distinti, ma naturalmente sono algebricamente equivalenti: si può sempre esprimere una delle due forme nell'altra procedendo con semplici passaggi algebrici.

 

Studiare e disegnare una retta a partire dall'equazione

 

Come abbiamo già visto nel formulario sulla retta, l'equazione di una retta in forma esplicita o implicita contiene tutte le informazioni necessarie per individuarla univocamente nel piano cartesiano e per studiarla nel dettaglio, mediante l'uso di apposite formule.

 

Riprendendo in particolare il significato analitico dell'equazione della retta possiamo usarla per ricavarne una rappresentazione grafica nel piano cartesiano. Il procedimento si basa su due osservazioni piuttosto semplici:

 

- un punto P=(x,y) appartiene ad una retta se e solo se le sue coordinate cartesiane x,y soddisfano l'equazione, riducendola ad un'uguaglianza;

 

- per due punti distinti passa una ed una sola retta;

 

Alla luce di tali considerazioni ci basterà disporre dell'equazione di una retta in forma esplicita, o eventualmente ricavarla

 

ax+by+c=0\ \to\ y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\ \ (\equiv\ y=mx+q)

 

e sostituire due valori di ascissa scelti a piacere x_1\mbox{ e }x_2 (possibilmente comodi!) in modo da ricavare le corrispondenti ordinate

 

\\ y_1=mx_1+q\\ \\ y_2=mx_2+q

 

Così facendo abbiamo le coordinate di due punti (x_1,y_1),\ (x_2,y_2). Per disegnare la retta è sufficiente segnare i due punti nel piano cartesiano, congiungerli e prolungare il segmento ottenuto indefinitamente, ricordandosi sempre di riportare i trattini. ;)

 

Attenzione al caso delle rette orizzontali (y=k) o verticali (x=k), in cui la rappresentazione non richiede alcun calcolo ed è immediata.

 

Esempi sull'equazione della retta

 

Vediamo qualche esempio svolto sul metodo per disegnare una retta a partire dall'equazione, indipendentemente che essa sia in forma implicita od esplicita.

 

1) L'esempio più semplice è fornito dagli assi cartesiani: ricordiamoci sempre che l'equazione y=0 individua l'asse delle ascisse, mentre x=0 corrisponde all'asse delle ordinate.

 

 

2) Consideriamo l'equazione della retta

 

x=2

 

Poiché essa si presenta nella forma x=k sappiamo già che si tratta di una retta verticale. Qui non servono conti: ci basta disegnare la retta parallela all'asse delle ordinate che interseca l'asse x nel punto di ascissa x=2

 

 

Equazione retta verticale

Esempio di retta verticale, x=2.

 

 

3) Nel caso disponessimo dell'equazione della retta

 

y=2

 

sapendo che le rette del tipo y=k sono necessariamente orizzontali, per ottenere una rappresentazione basterebbe considerare la retta parallela all'asse delle ascisse passante per il punto di coordinate (2,0).

 

 

Equazione retta orizzontale

Esempio di retta orizzontale, y=2.

 

 

4) Consideriamo l'equazione di una retta in forma esplicita, come ad esempio

 

y=2x-5

 

e seguiamo il procedimento ormai noto per disegnarla. Ci servono le ascisse di due punti e che siano possibilmente comode per i calcoli: nulla ci vieta di considerare

 

\\ x=0\ \to\ y=2\cdot 0-5=-5\\ \\ x=2\ \to\ y=2\cdot 2-5=-1

 

La retta in esame passa per i punti di coordinate (0,-5)\mbox{ e }(2,-1) e tanto basta per disegnarla a partire dall'equazione.

 

 

Equazione della retta in forma esplicita

Esempio di retta in forma esplicita, y=2x-5.

 

Per ulteriori esempi potete leggere qui: retta in forma esplicita.

 

 

5) Come ultimo esempio ragioniamo con l'equazione di una retta in forma implicita, come ad esempio

 

3x+4y=0

 

Sappiamo come comportarci: scriviamo l'equazione della retta in forma esplicita con le usuali regole per le equazioni

 

3x+4y=0\ \to\ y=-\frac{3}{4}x

 

e scegliamo due valori di ascissa comodi per i conti:

 

\\ x=0\ \to\ y=0\\ \\ x=4\ \to\ y=-3

 

Perfetto: i punti che ci permettono di rappresentare la retta a partire dall'equazione sono (0,0)\mbox{ e }(4,-3)

 

Equazione della retta in forma implicita

Esempio di retta in forma implicita, 3x+4y=0.

 

In termini generali l'esempio 5) mette in luce un'importante caratteristica dell'equazione di una retta: se nell'equazione non compare il termine di grado zero, ossia l'ordinata all'origine q oppure il coefficiente c a seconda che essa si in forma esplicita o implicita, allora l'equazione rappresenta una retta passante per l'origine.

 

Due esempi notevoli di rette passanti per l'origine sono dati dalla bisettrice del primo e del terzo quadrante y=x e dalla bisettrice del secondo e del quarto quadrante y=-x.

 

Per ulteriori esempi potete leggere qui: retta in forma implicita.

 

 

6) Come stabilire se un punto appartiene a una retta?


Finora abbiamo visto come disegnare una retta a partire dall'equazione, ma nulla vieta che negli esercizi venga richiesto di verificare o stabilire se un punto appartiene ad una data retta. Indipendentemente dal fatto che la retta sia espressa in forma implicita o esplicita, è sufficiente sostituire l'ascissa x_P del punto P e l'ordinata y_P del punto P al posto delle variabili x,y nell'equazione della retta.

 

Se l'equazione si trasforma in un'uguaglianza verificata (valida), allora il punto appartiene alla retta; in caso contrario no (ad esempio se risulta 3=0: non è un'uguaglianza verificata!).

 

Il terzo tipo di equazione della retta: l'equazione segmentaria

 

A titolo di completezza è bene menzionare un ulteriore forma dell'equazione della retta: la cosiddetta equazione segmentaria. Poiché si tratta di un caso molto particolare e raramente utilizzato negli esercizi, preferiamo trattarla in un approfondimento a parte. ;)

 

Ricavare l'equazione di una retta

 

Finora abbiamo visto come lavorare sull'equazione di una retta indipendentemente dalla sua forma; ma se volessimo calcolare l'equazione di una retta partendo da altri dati? Non vogliamo appesantire troppo questo formulario per cui rimandiamo gli interessati ai successivi, e nella fattispecie a:

 

- equazione della retta passante per due punti;

 

- equazione della retta passante per un punto noto il coefficiente angolare.

 

Equazione parametrica della retta nel piano

 

L'ultimo paragrafo è dedicato principalmente ai lettori universitari e riguarda le equazioni parametriche di una retta nel piano. Si tratta di un argomento che difficilmente viene trattato alle scuole superiori, ciononostante invitiamo gli studenti più curiosi e attenti ad una lettura di approfondimento. ;)

 

Una retta del piano cartesiano risulta univocamente determinata quando conosciamo:

 

- le coordinate cartesiane di un suo punto P(x_0, y_0);

 

- la sua direzione individuata da un vettore v=(v_1,v_2) del piano.

 

Con queste informazioni possiamo immediatamente scrivere l'equazione della retta in forma parametrica:

 

\begin{cases}x=x_0+tv_1 \\ y=y_0+tv_2\end{cases}

 

dove t è un parametro reale. La retta è quindi descritta dall'insieme di tutti e soli i punti che vi appartengono; tali punti si ottengono al variare del parametro t nell'insieme dei numeri reali. Osservate che per t=0 si ottiene il punto P(x_0,y_0).

 

Come ben saprete, conoscendo le coordinate cartesiane di due punti appartenenti alla retta, sfruttando la formula sull'equazione della retta passante per due punti si risale facilmente alla sua equazione cartesiana.

 

Osservate però che la conoscenza delle coordinate di due punti della retta, diciamoli P_1(x_1, y_1) \mbox{ e } P_2(x_2,y_2), ci permette di individuare la direzione della retta la quale è data dal vettore del piano

 

v=(v_1, \ v_2)=P_2-P_1=(x_2-x_1, \ y_2-y_1)

 

oppure

 

v=(v_1, \ v_2)=P_1-P_2=(x_1-x_2, \ y_1-y_2)

 

Ricordate infatti che la direzione di una retta è unica a meno di un coefficiente di proporzionalità e, le due direzioni così ricavate, differiscono per la costante moltiplicativa -1.

 

Pertanto, se sono note le coordinate di due punti della retta possiamo scrivere le sue equazioni parametriche come:

 

\begin{cases}x=x_0+t(x_2-x_1) \\ y=y_0+t(y_2-y_1)\end{cases}

 

Nelle lezioni di Algebra Lineare vedremo come estendere il precedente discorso alle equazioni parametriche di una retta nello spazio.

 

 


 

È tutto. Non perdetevi la scheda correlata di esercizi sulla retta e, in caso di necessità, servitevi liberamente del tool per studiare la retta online. Qui su YM c'è tutto quello che vi serve per risolvere i vostri dubbi oltre a migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati...........Lezione successiva


Tags: equazione della retta in forma implicita e in forma esplicita - equazione parametrica della retta nel piano - come verificare se un punto appartiene a una retta attraverso le equazioni.

 

pbga