Retta: formule

Una retta, o linea retta, è un insieme infinito di punti allineati nel piano o nello spazio ed è un ente geometrico fondamentale. Una retta nel piano cartesiano viene individuata da un'equazione ed è caratterizzata da alcune caratteristiche tra cui il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine.

 

In questo formulario vogliamo dare una panoramica su tutto ciò che caratterizza la retta nel piano cartesiano, partendo dalla definizione e passando in rassegna tutte le formule della retta utili per lo studio della Geometria Analitica e per la risoluzione degli esercizi. La lezione si rivolge agli studenti delle scuole superiori e, per chi volesse partire dalle basi, sono anche disponibili degli approfondimenti:

 

- su punto, retta e piano per la scuola primaria;

 

- sugli enti geometrici fondamentali (punto, retta, piano) per le scuole medie.

 

Tenete presente che qui non ci dilungheremo con esempi ed esercizi svolti: per approfondire potete consultare i formulari specifici seguendo i link relativi a ciascuna formula. ;)

 

Definizione di retta

 

Partiamo dalla definizione di retta nel caso generale per poi concentrarci sul caso di una retta nel piano. Una retta è un particolare tipo di linea ed è un insieme infinito di punti allineati, tali cioè da essere disposti lungo una specifica direzione; essa per definizione non presenta né larghezza né spessore.

 

Considerando il caso piano ed un riferimento di coordinate cartesiane è possibile individuare una qualsiasi retta mediante un'opportuna equazione nelle incognite (x,y). Sottolineiamo che qui non ci occuperemo del caso tridimensionale, ossia della retta nello spazio, cui abbiamo dedicato diverse lezioni nella sezione di Algebra Lineare rivolte agli studenti universitari e che potete leggere a partire da qui: equazioni cartesiane della retta nello spazio.

 

Retta

Una retta nel piano cartesiano.

 

Formule della retta nel piano cartesiano

 

Passiamo in rassegna le formule della retta che avremo modo di approfondire nel seguito mediante appositi formulari dedicati a ciascuna di esse. Per cominciare, come abbiamo anticipato in precedenza, un sistema di riferimento cartesiano ci permette di descrivere una qualsiasi retta mediante un'apposita equazione nelle incognite (x,y).

 

Tale equazione descriverà la retta assegnata come luogo geometrico e quindi si baserà sulla consueta logica di rappresentazione nel piano cartesiano: un punto P appartiene alla retta data se e solo se le sue coordinate P=(x,y) ne verificano l'equazione; viceversa, tutti e soli i punti con coordinate (x,y) che soddisfano l'equazione appartengono alla retta.

 

L'equazione della retta può essere espressa in due forme: esplicita o implicita. Nella sostanza non cambia nulla e si può passare agevolmente da una forma all'altra mediante semplici passaggi algebrici; nella pratica l'una o l'altra forma forniscono velocemente diverse informazioni che ci permettono di studiare la retta nel dettaglio.

 

 

Equazione della retta in forma esplicita

 

y=mx+q

 

Nell'equazione della retta in forma esplicita, espressa in favore della variabile y, il coefficiente m viene detto coefficiente angolare e come vedremo in seguito esprime la pendenza della retta rispetto all'asse x.

 

Il coefficiente q viene detto ordinata all'origine e corrisponde all'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y

 

 

Equazione della retta in forma implicita


ax+by+c=0

 

L'equazione di una retta in forma esplicita prevede di esprimere la retta mediante un'equazione in cui il membro di destra è zero, mentre il membro di sinistra è un polinomio di primo grado nelle indeterminate x,y.

 

 

Relazione tra retta in forma esplicita ed implicita

 

Le due rappresentazioni della retta in forma esplicita od implicita sono del tutto equivalenti. Ricavando la forma esplicita da quella implicita è possibile scrivere le relazioni che legano i coefficienti a,b,c con m,q.

 

Supponiamo che b\neq 0. In tal caso possiamo scrivere

 

ax+by+c=0\ \to\ y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}

 

Quindi si vede che il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine sono dati da

 

m=-\frac{a}{b}\ \ \ ;\ \ \ q=-\frac{c}{b}

 

Nella fattispecie il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine sono definiti se e soltanto se b\neq 0.

 

 

Rette orizzontali e rette verticali

 

Nel caso b=0 ricadiamo in un'equazione della forma

 

ax+c=0\ \to\ x=-\frac{c}{a}

 

che individua una retta verticale, ossia parallela all'asse delle y. Per capirlo basta notare che un'equazione della forma x=k, con k un qualsiasi numero, ammette come soluzioni tutti e soli i punti della forma (k,y) per qualsiasi y. In altre parole individua la retta che interseca l'asse delle ascisse in x=k e che copre tutti i punti con ascissa x=k, per qualsiasi ordinata.

 

Per completare il quadro, se riprendiamo l'equazione implicita e supponiamo che sia a=0 abbiamo

 

by+c=0\ \to\ y=-\frac{c}{b}

 

In tal caso abbiamo a che fare con una retta orizzontale, ossia parallela all'asse delle ordinate: per capirlo basta considerare un'equazione del tipo y=k, con k un qualsiasi numero. Tale equazione ammette come soluzioni tutti e soli i punti del tipo (x,k) per ogni x, ossia una retta che interseca l'asse delle y in y=k e che copre tutti i punti con ordinata y=k, per qualsiasi ascissa.

 

Un piccolo trucco per non fare confusione: se nell'equazione di una retta non compare una delle due variabili x,y allora la retta corrispondente è parallela all'asse omonimo alla variabile che non compare. ;)

 

Per approfondire: equazione della retta.

 

 

Retta passante per l'origine

 

Una qualsiasi retta passante per l'origine è caratterizzata da un'equazione in cui non compare il termine di grado zero, ossia il termine puramente numerico. Esplicitamente una retta per l'origine avrà un'equazione del tipo

 

y=mx\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ ax+by=0

 

In entrambi i casi è facile vedere che l'origine degli assi O=(0,0) soddisfa le equazioni, dunque l'origine appartiene a qualsiasi retta di questo genere.

 

 

Rette notevoli

 

Tra le rette nel piano cartesiano che non richiedono particolari presentazioni annoveriamo:

 

- l'asse delle ascisse

 

y=0

 

- l'asse delle ordinate

 

x=0

 

- la bisettrice del primo-terzo quadrante

 

y=x

 

- la bisettrice del secondo-quarto quadrante

 

y=-x

 

 

Come disegnare una retta

 

Il metodo pratico per disegnare una retta si basa su un importante teorema della Geometria Euclidea, secondo il quale per due punti distinti passa una ed una sola retta. In termini pratici il metodo da adottare nella risoluzione degli esercizi è il seguente: nel caso di una retta orizzontale y=k o di una retta verticale x=k la rappresentazione è immediata. In alternativa bisogna ricavare la forma esplicita della retta assegnata

 

y=mx+q

 

e assegnare alla variabile x due valori comodi x_1,x_2, in modo da calcolare le corrispondenti ordinate y_1,y_2

 

\\ y_1=mx_1+q\\ \\ y_2=mx_2+q

 

A questo punto non resta che segnare i punti (x_1,y_1),\ (x_2,y_2) sul piano cartesiano e tracciare la retta che li congiunge, prolungandola indefinitamente (non dimenticate i trattini!).

 

Per un esempio svolto: come disegnare una retta.

 

 

Coefficiente angolare di una retta

 

Il coefficiente angolare di una retta esprime una misura della pendenza della retta rispetto all'asse x (o ad una qualsiasi orizzontale). Nel caso esplicito è dato dal coefficiente m della variabile x; nel caso implicito se b\neq 0 si può calcolare mediante la formula


m=-\frac{a}{b}\ \mbox{ se }b\neq 0

 

Nel caso b=0, ossia di una retta verticale x=k, il coefficiente angolare viene solitamente definito alle scuole superiori come m=\infty anche se matematicamente sarebbe più opportuno asserire che esso non è definito. Nel particolare caso di una retta orizzontale (y=k\to a=0) invece è facile vedere che il coefficiente angolare della retta è m=0.

 

Per definizione il coefficiente angolare di una retta è la costante data dal rapporto tra la differenza di ordinate e la differenza di ascisse di due qualsiasi punti P_1=(x_1,y_1),\ P_2=(x_2,y_2) della retta

 

m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\ \mbox{ per ogni }x_1\neq x_2

 

Da questa definizione si capisce perché il coefficiente angolare non è definito per le rette verticali (x_1=x_2).

 

 

Angolo formato da una retta con l'asse x o con una qualsiasi orizzontale

 

In precedenza abbiamo scritto che il coefficiente angolare esprime la pendenza di una retta rispetto all'asse delle ascisse: ma in che modo? In effetti possiamo riscrivere la definizione in una forma equivalente alla precedente, e considerando la tangente dell'angolo acuto \alpha formato dalla retta e da una qualsiasi orizzontale

 

m=\tan(\alpha)\ \mbox{ dove }-90^o<\alpha<90^o

 

dove l'angolo è negativo se misurato in senso orario o positivo se misurato in senso antiorario rispetto alla retta orizzontale. Se la retta è verticale allora \alpha=90^o ed m non è definito.

 

È possibile invertire la precedente relazione per calcolare l'angolo acuto formato con una qualsiasi retta orizzontale:

 

\alpha=\arctan(m)

 

La formula è valida dunque per qualsiasi retta che non sia verticale, eventualità in cui l'angolo formato con l'asse delle ascisse è pari ad un angolo retto.

 

Una considerazione: poiché la formula coinvolge l'arcotangente, nota solamente agli studenti che hanno già studiato Trigonometria, solitamente negli esercizi che richiedono di calcolare l'angolo formato con l'asse delle x è ammesso l'uso della calcolatrice.

 

 

Coefficiente angolare conoscendo due punti della retta


m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\ \mbox{ se }x_1\neq x_2

 

Formula valida per qualsiasi retta che non sia verticale, nel qual caso avremmo x_1=x_2 e la formula sarebbe inconsistente. Non dimenticate che il coefficiente angolare non è definito nel caso di rette verticali! ;)

 

 

Termine noto o ordinata all'origine

 

L'ordinata all'origine di una retta è il coefficiente q che compare nella forma esplicita ed individua l'ordinata che la retta intercetta sull'asse delle ordinate. Per capirlo è sufficiente considerare l'equazione esplicita di una retta e calcolare l'ordinata corrispondente all'ascissa x=0, che individua per l'appunto l'asse delle ordinate:

 

\begin{cases}y=mx+q\\ x=0\end{cases}\ \to\ y=m\cdot 0+q=q

 

Nel caso implicito la formula per l'ordinata all'origine a partire dai coefficienti è data da

 

q=-\frac{c}{b}\ \mbox{ se }b\neq 0

 

e ovviamente, nel caso di una retta verticale (b=0) la quota all'origine non è definita.

 

 

Termine noto o quota all'origine conoscendo due punti


q=\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2-x_1}\ \mbox{ se }x_1\neq x_2

 

Formula valida per qualsiasi retta che non sia verticale (x_1=x_2).

 

 

Condizione di parallelismo tra due rette (rette parallele)

 

Due rette parallele presentano il medesimo coefficiente angolare:

 

m_1=m_2

 

La condizione di parallelismo si traduce per le rette in forma implicita nella forma:

 

a_1b_2-a_2b_1=0

 

 

Condizione di perpendicolarità tra due rette (rette perpendicolari)

 

Due rette perpendicolari presentano due coefficienti angolari che sono l'uno il reciproco dell'opposto dell'altro:

 

m_1=-\frac{1}{m_2}

 

o, in modo equivalente

 

m_1m_2=-1

 

La condizione di perpendicolarità per rette in forma implicita diventa

 

a_1a_2+b_1b_2=0

 

Per approfondire: rette parallele e perpendicolari.

 

 

Equazione della retta passante per due punti

 

Disponendo delle coordinate di due punti appartenenti ad una retta possiamo servirci di una comoda formula per calcolare l'equazione della retta passante per due punti

 

\\ \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\ \mbox{ se }x_1\neq x_2\mbox{ e }y_1\neq y_2\\ \\ \\ x=x_1\ \mbox{ se }x_1=x_2\\ \\ y=y_1\ \mbox{ se }y_1=y_2

 

 

Equazione della retta passante per un punto (conoscendo il coefficiente angolare)

 

Se invece disponiamo del coefficiente angolare di una retta e di un punto di passaggio, possiamo usare la formula per la retta passante per un punto

 

y-y_P=m(x-x_P)

 

 

Distanza di un punto da una retta

 

Conosciamo piuttosto bene la formula per calcolare la distanza tra due punti. E se volessimo calcolare la distanza di un punto da una retta? In tale eventualità possiamo utilizzare due diverse formule a seconda che la retta sia data in forma implicita o esplicita: chiamiamo P=(x_P,y_P) le coordinate del punto.

 

Nel caso di una retta in forma implicita ax+by+c=0

 

d(P,r)=\frac{|ax_P+by_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

 

Per una retta in forma esplicita y=mx+q

 

d(P,r)=\frac{|y_P-(mx_P+q)|}{\sqrt{1+m^2}}

 

 

Angolo formato da due rette

 

La formula per calcolare l'angolo acuto tra due rette prevede di conoscerne i coefficienti angolari:

 

\alpha=\arctan{\left(\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right)}

 

Nel caso di due rette perpendicolari (m_1m_2=-1) la formula non è valida e nemmeno necessaria dal momento che \alpha=90^o.

 

Attenzione: poiché due rette formano quattro angoli a due a due congruenti (due coppie di angoli opposti al vertice), per calcolare la comune ampiezza dell'altra coppia di angoli è sufficiente osservare che essi sono supplementari a quelli già calcolati.

 

 

Fascio proprio di rette (rette che hanno un solo punto in comune)

 

Come avremo modo di approfondire nel formulario sul fascio di rette, un fascio di rette aventi un punto in comune viene descritto da un'equazione parametrica della forma

 

y-y_C=m(k)(x-x_C)

 

dove la scrittura m(k) indica che il coefficiente angolare m dipende dal parametro k. In modo equivalente:

 

ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0

 

dove ax+by+c=0\mbox{ e }a'x+b'y+c'=0 vengono dette le rette generatrici del fascio.

 

 

Fascio improprio di rette (fascio di rette parallele)

 

Un fascio improprio di rette, o fascio di rette parallele, viene individuato da un'equazione parametrica del tipo

 

y=mx+q(k)

 

dove la scrittura q(k) indica che l'ordinata all'origine q dipende dal parametro k. Da notare che tutte le rette del fascio hanno lo stesso coefficiente angolare.

 

 

Equazione parametrica della retta nel piano (per studenti universitari)

 

\begin{cases}x=x_0+tv_1 \\ y=y_0+tv_2 \end{cases}, \ t\in \mathbb{R}

 

dove P(x_0,y_0) è un punto appartenente alla retta e v=(v_1,v_2) è un vettore del piano che ne individua la direzione. Per chi volesse approfondire ne parliamo più dettagliatamente nel formulario successivo.

 

 


 

 

Non perdetevi i formulari successivi né la scheda di problemi ed esercizi sulla retta, sono tutti svolti e spiegati nel dettaglio! :) Più in generale ricordate che qui su YM ci sono tantissime cose che potrebbero togliervi dai guai e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. Un esempio? Abbiamo un comodo tool per risolvere la retta online.. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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