Distanza di un punto da una retta

Con distanza punto retta, o distanza di un punto da una retta, ci si riferisce da una formula che permette di calcolare la distanza di un punto da una retta a partire dalle coordinate del punto e dall'equazione della retta.

 

In uno dei precedenti formulari abbiamo visto qual è la formula che permette di calcolare la distanza punto-punto, vale a dire la formula per la distanza tra due punti. Ora ci occupiamo della formula della distanza di un punto da una retta, analizzandola nel dettaglio e proponendone due varianti a seconda che la retta sia espressa in forma implicita o esplicita.

 

Oltre a proporre un paio di esempi svolti di calcolo, daremo una definizione formale e spiegheremo la dimostrazione della formula per la distanza punto retta. La lezione è rivolta agli studenti delle scuole superiori e agli universitari, e a quest'ultimi dedichiamo anche un piccolo approfondimento conclusivo. ;)

 

Definizione di distanza punto retta

 

Dati un punto P ed una retta r nel piano cartesiano, si definisce la distanza punto retta d(P,r) come la minima distanza tra il punto P e tutti i punti che giacciono sulla retta.

 

d(P,r)=min\{d(P,Q)\mbox{ tale che }Q\in r\}

 

In modo del tutto equivalente si può definire la distanza di un punto da una retta come la distanza tra il punto P dalla sua proiezione ortogonale sulla retta r, vale a dire la lunghezza del segmento PP' che congiunge il punto P perpendicolarmente alla retta.

 

Distanza punto retta

 

Nel caso in cui il punto appartenga alla retta la distanza d(P,r) è per definizione nulla: d(P,r)=0.

 

Formule per la distanza punto retta

 

Ora che disponiamo della definizione possiamo passare alle formule della distanza di un punto da una retta nel piano cartesiano. Siano P il punto, indichiamone le coordinate cartesiane con (x_P,y_P) e sia r la retta.

 

A seconda che l'equazione della retta r sia data in forma implicita

 

ax+by+c=0

 

o in forma esplicita

 

y=mx+q

 

possiamo ricorrere a due formule equivalenti.

 

 

1) Distanza di un punto da una retta data in forma implicita


d(P,r)=\frac{|ax_P+by_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

 

dove a numeratore abbiamo la valutazione del primo membro dell'equazione della retta in forma implicita nelle coordinate del punto, il tutto in valore assoluto, e a denominatore la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti associati ai termini di grado 1 nell'equazione della retta.

 

In effetti è più facile scrivere la formula che esprimerla a parole. :P

 

 

2) Distanza di un punto da una retta data in forma esplicita


d(P,r)=\frac{|y_P-(mx_P+q)|}{\sqrt{1+m^2}}

 

In questo caso si riscrive l'equazione in forma esplicita portando tutto al primo membro, si valuta nelle coordinate del punto e se ne considera il modulo; fatto ciò, si divide il tutto per la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti dei termini di grado 1 nell'equazione della retta.

 

 

Osservazione: quale formula della distanza punto retta conviene prediligere?

 

Come al solito ci teniamo a darvi qualche consiglio per minimizzare i vostri sforzi. ;) Basandosi sul sacro principio per cui meno si ricorda, più si ragiona e meglio è, nel caso delle distanza di un punto da una retta vi suggeriamo di ricordare solamente la prima formula. In sintesi, tenete a mente solo la formula per la distanza di un punto da una retta in forma implicita.

 

Nel caso dovessimo risolvere un esercizio in cui dobbiamo calcolare la distanza di un punto da una retta in forma esplicita

 

y=mx+q

 

ci basterà effettuare qualche passaggio algebrico per esprimere la retta in forma implicita e per ordinare i vari termini

 

-mx+y-q=0

 

e procedere quindi all'applicazione della formula a noi nota

 

d(P,r)=\frac{|ax_P+by_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\ \to\ d(P,r)=\frac{|-m\cdot x_P+1\cdot y_P-q|}{\sqrt{(-m)^2+1^2}}

 

Ehi, un momento: a ben vedere questo è proprio il metodo per ricavare la formula 2) dalla formula 1)!... ;)

 

Esempi sul calcolo della distanza punto retta

 

Vediamo un paio di esempi per capire come si calcola la distanza punto retta avendo a disposizione una retta in forma implicita ed una in forma esplicita.

 

 

1) Calcolare la distanza del punto P=(1,4) dalla retta r di equazione 2x-3y+5=0

 

Svolgimento: applichiamo la formula

 

d(P,r)=\frac{|2\cdot 1-3\cdot 4+5|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{|2-12+5|}{\sqrt{4+9}}=\frac{|-5|}{\sqrt{13}}=\frac{5}{\sqrt{13}}

 

 

2) Un secondo semplice esempio sulla distanza di un punto da una retta assegnata in forma esplicita: vogliamo stabilre quanto dista P=(-2,-3) dalla retta y=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}.

 

Svolgimento: memori del precedente suggerimento scriviamo la retta in forma esplicita

 

y=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ \to\ -\frac{x}{3}+y-\frac{2}{3}=0

 

Dato che quella che abbiamo scritto è a tutti gli effetti un'equazione, possiamo moltiplicare entrambi i membri per -3 in modo da sbarazzarci delle frazioni ed esprimerla in una forma più comoda per i calcoli. Ricordatevi sempre che una retta non ammette un'unica rappresentazione analitica sotto forma di equazione, e che qualsiasi equazione equivalente a quella data rappresenta la medesima retta. :)

 

x-3y+2=0

 

Ora applichiamo la formula per la distanza punto retta in forma implicita

 

d(P,r)=\frac{|1\cdot (-2)-3\cdot (-3)+2|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\frac{|-2+9+2|}{\sqrt{1+9}}=\frac{|9|}{\sqrt{10}}=\frac{9}{\sqrt{10}}

 

Dimostrazione della formula della distanza punto retta

 

Riguardo alla dimostrazione della formula per la distanza di un punto da una retta, qui di seguito riportiamo le linee guida che permettono di ricavarla. Non fraintendeteci: non riporteremo tutti i calcoli perché non sarebbero in alcun modo utili da un punto di vista didattico, essendo inutilmente impegnativi da scrivere e da leggere. Ciò che ci preme è mostrare quali ragionamenti e presupporti teorici permettono di ricavare la formula per la distanza punto retta in forma implicita, e nulla più. :)

 

L'idea di base consiste nel considerare l'equazione di una retta r in forma implicita

 

r:\ ax+by+c=0

 

e le coordinate di un punto P=(x_P,y_P). In accordo con la definizione, per determinare la distanza punto retta ci serve la retta s perpendicolare a r e passante per il punto P.

 

Dalla formula per la retta passante per un punto:

 

y=mx+q

 

Per individuare tale retta ci servono due condizioni per due parametri incogniti: m,q. La prima condizione è quella relativa al passaggio per il punto P, secondo cui le coordinate del punto devono verificare l'equazione della retta

 

y_P=mx_P+q\ \ \ \bullet

 

La seconda condizione riguarda il fatto che s sia una retta perpendicolare ad r, da cui la nota condizione relativa al coefficiente angolare: il coefficiente angolare di s deve essere il reciproco dell'opposto del coefficiente angolare di r

 

m_r=-\frac{a}{b}\ \to\ m_s=\frac{b}{a}\ \ \ \bullet\bullet

 

Mettendo a sistema le condizioni \bullet,\bullet\bullet riusciamo a determinare l'equazione della retta s.

 

Mettendo a sistema le equazioni delle rette r,s ricaviamo le coordinate della proiezione di P sulla retta r, vale a dire il punto che per definizione realizza la distanza punto-retta.

 

Usando infine la formula per la distanza tra due punti giungiamo alla formula per la distanza del punto dalla retta.

 

La morale della favola è che la dimostrazione per ricavare distanza punto-retta non è altro che un'applicazione diretta della definizione e della formula per la distanza tra due punti. ;)

 

Approfondimento: distanza di un punto da una retta nello spazio

 

Per concludere la lezione proponiamo un piccolo approfondimento rivolto ai soli studenti universitari che studiano Geometria dello spazio in Algebra Lineare. Gli studenti delle scuole superiori possono passare direttamente alla fine del formulario. ;)

 

Nello spazio euclideo \mathbb{E}^3 le cose si complicano e in generale non è possibile fornire una formula per la distanza punto-retta che sia pronta all'uso; possiamo però cavarcela sempre con considerazioni geometriche piuttosto semplici e a tal proposito c'è una guida qui su YM in cui spieghiamo i passaggi da seguire per calcolare la distanza di un punto da una retta nello spazio.

 

Nel passaggio alle tre dimensioni è altrettanto interessante scoprire che c'è una corrispondenza cristallina tra la formula per la distanza punto-retta e la formula per la distanza punto-piano. Date infatti le coordinate di un punto P e l'equazione cartesiana di un piano,

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0

 

La distanza del punto dal piano considerati si determina mediante la formula

 

d(P,\pi)=\frac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

 

Anche in questo caso, nell'eventualità per cui il punto P appartenga al piano, la distanza è per definizione nulla.

 

 


 

È tutto! Se siete in cerca di problemi ed esercizi svolti vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna, dal momento che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. Tra le altre cose c'è anche un tool per calcolare la distanza punto retta online. ;)

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: formula per il calcolo della distanza di un punto da una retta e formulario sulla distanza punto-retta.

 

pbga