Baricentro e centro di massa

Il baricentro di un insieme di punti, detto anche baricentro geometrico, è il punto le cui coordinate sono date dalla media aritmetica delle rispettive coordinate dei punti. Non va confuso con il baricentro fisico né con il centro di massa. 

 

In questo formulario, dedicato agli studenti di scuole superiori ed universitari, spieghiamo la definizione di baricentro geometrico e mostriamo le formule per il baricentro di 3 punti, estendendole poi al caso di n punti. Per completezza introduciamo anche la nozione di centro di massa, proponendone le formule e mettendo in luce le differenze che lo contraddistinguono rispetto al baricentro geometrico.

 

 

Poiché i concetti di baricentro e di centro di massa vengono trattati a diversi livelli e a più riprese nello studio della Matematica e della Fisica, è bene fare un po' di chiarezza. In questo formulario ci limitiamo a fornire le formule del baricentro e le formule del centro di massa per gli usi e che riguardano la Geometria Analitica. Nel caso foste interessati ad approfondire, sappiate che qui su YM sono presenti diverse altre lezioni che trattano l'argomento.

 

- In Geometria piana: definizione e formule del baricentro di un triangolo (inteso come baricentro geometrico e punto notevole).

 

- In Analisi 2, esistono delle formule che estendono il calcolo al caso di insiemi continui: baricentro con gli integrali (inteso come baricentro geometrico).

 

- In Fisica viene trattato approfonditamente il concetto di centro di massa e viene introdotta la nozione di baricentro fisico, da non confondere con il concetto di baricentro geometrico di cui parliamo qui di seguito.

 

Definizione e formule del baricentro geometrico

 

Per introdurre la definizione di baricentro geometrico cominciamo considerando il caso di 3 punti nel piano cartesiano. Dati tre punti A,B,C aventi coordinate cartesiane

 

A=(x_A,y_A)\ \ \ ;\ \ \ B=(x_B,y_B)\ \ \ ;\ \ \ C=(x_C,y_C)

 

Baricentro di un sistema di tre punti nel piano

 

definiamo il baricentro dei tre punti, e lo chiamiamo G, mediante le formule per le coordinate (ascissa-ordinata)

 

 

x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\ \ \ ;\ \ \ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}

 

 

Le formule del baricentro geometrico possono essere estese al caso di n punti P_1,P_2,...,P_n:

 

 

x_G=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ \ \ ;\ \ \ y_G=\frac{y_1+y_2+...+y_n}{n}

 

 

che possono essere riscritte mediante il simbolo di sommatoria

 

 

x_G=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\ \ \ ;\ \ \ y_G=\frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n}

 

 

In altri termini, dalla definizione si vede che il baricentro geometrico di un insieme di punti non è altro che il punto le cui coordinate sono date dalla media aritmetica delle rispettive coordinate dei punti.

 

 

Osservazione (baricentro e punto medio)

 

Nel caso di un sistema di due punti A,B è immediato verificare che il baricentro geometrico si riduce semplicemente al punto medio del segmento di estremi A,B.

 

Esempio di calcolo del baricentro geometrico

 

Vediamo un semplice esempio per capire come si calcola il baricentro geometrico. Negli esercizi di Geometria Analitica la richiesta standard coinvolge nel 99% dei casi il triangolo, dunque vale la pena di vedere un esempio al riguardo.

 

Calcolare le coordinate del baricentro del triangolo di vertici A=(1,-2),\ B=(3,-2),\ C=(2,5)

 

Svolgimento: se avete la pazienza di disegnare i 3 punti nel piano cartesiano, vi accorgerete velocemente che ci troviamo di fronte ad un triangolo isoscele. Poco importa: la richiesta dell'esercizio è chiara e possiamo procedere subito con le formule

 

\\ x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{1+3+2}{3}=2\\ \\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{-2+(-2)+5}{3}=\frac{1}{3}

 

Come sapevamo già dallo studio della Geometria Piana, e come si capisce rappresentando i punti graficamente, il baricentro di tre punti è sempre interno al triangolo avente come vertici i tre punti.

 

Definizione e formule del centro di massa

 

Se a ciascuno dei tre punti A,B,C è associata una massa, dette esse m_A,m_B,m_C, possiamo calcolare le coordinate del centro di massa dei tre punti, che chiamiamo \mbox{CM}, con le formule

 

 

x_{CM}=\frac{m_Ax_A+m_Bx_B+m_Cx_C}{m_A+m_B+m_C}\ \ \ ;\ \ \ y_{CM}=\frac{m_Ay_A+m_By_B+m_Cy_C}{m_A+m_B+m_C}

 

 

Esattamente come nel caso del baricentro geometrico è possibile estendere la definizione mediante le formule del centro di massa di N punti P_1,...,P_n con n rispettive masse m_1,...,m_n

 

 

x_{CM}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+...+m_nx_n}{m_1+m_2+...+m_n}\ \ \ ;\ \ \ y_{CM}=\frac{m_1y_1+m_1y_1+...+m_ny_n}{m_1+m_2+...+m_n}

 

 

le quali possono essere espresse in termini di sommatorie

 

 

x_{CM}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^{n}{m_i}}\ \ \ ;\ \ \ y_{CM}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{m_iy_i}}{\sum_{i=1}^{n}{m_i}}

 

 

In termini algebrici il centro di massa di un sistema di punti non è altro che il punto le cui coordinate sono date dalla media ponderata delle omonime coordinate, rispetto alle masse assegnate.

 

Si osservi inoltre che, considerando masse identiche m_1=m_2=...=m_n, le formule del centro di massa si riducono alle formule del baricentro geometrico.

 

Ricapitolando: baricentro geometrico, baricentro fisico e centro di massa

 

Anche se ci troviamo nella sezione di formulari di Geometria Analitica, riteniamo che sia utile fornirvi una panoramica delle varie definizioni. Chi vuole approfondire, approfondisca; chi vuol tralasciarle, è libero di farlo e nel caso si trovasse di fronte al termine baricentro in un esercizio di Geometria Analitica sappia che può limitarsi a ricordare le formule viste in precedenza. ;)

 

- Il baricentro geometrico di un insieme di punti è una caratteristica puramente geometrica dell'insieme di punti. È il punto le cui coordinate corrispondono alla media aritmetica delle omonime coordinate dei punti.

 

- Il centro di massa di un insieme di punti (o di un corpo) è una caratteristica puramente fisica ed è il punto per cui il sistema si comporta come se la massa fosse concentrata tutta in tale punto. In termini geometrico-algebrici è il punto le cui coordinate corrispondono alla media ponderata delle omonime coordinate dei punti rispetto alle corrispondenti masse.

 

- Il baricentro fisico di un corpo è il punto in cui possiamo immaginare che venga applicata la forza peso agente sul corpo.

 

Per la cronaca, leggendo la lezione sul baricentro fisico avrete modo di scoprire che baricentro fisico e centro di massa sono concetti distinti. ;)

 

Approfondimento: baricentro e centro di massa in 3 dimensioni e in n dimensioni

 

Per concludere proponiamo un approfondimento rivolto agli studenti universitari alle prese con lo studio della Geometria dello spazio in Algebra Lineare. Gli studenti delle scuole medie e delle superiori possono saltare a pié pari alla fine della lezione. ;)

 

Com'è facilmente intuibile le definizioni di baricentro geometrico e di centro di massa vengono estese facilmente al caso tridimensionale

 

 

\\ P_1=(x_1,y_1,z_1)\ \ \ ;\ \ \ P_2=(x_2,y_2,z_2)\ \ \ ...\ \ \ P_n=(x_n,y_n,z_n)\\ \\ \\ G=\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\ ,\ \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n}\ ,\ \frac{\sum_{i=1}^{n}z_i}{n}\right)\\ \\ \\ \mbox{CM}=\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}m_ix_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}\ ,\ \frac{\sum_{i=1}^{n}m_iy_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}\ ,\ \frac{\sum_{i=1}^{n}m_iz_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}\right)

 

 

e in modo ovvio al caso n-dimensionale nello spazio euclideo \mathbb{E}^n.

 

 


 

Ci fermiamo qui. Nel formulario successivo tratteremo la retta. Se siete in cerca di problemi ed esercizi svolti vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna, perché qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. Non solo, c'è anche un tool per il calcolo del baricentro online! ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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