Punto medio di un segmento

Il punto medio di un segmento è per definizione il punto che divide il segmento in due parti uguali. Nel piano cartesiano, date le coordinate degli estremi di un segmento, esistono delle semplici formule che permettono di calcolare le coordinate del punto medio.

 

Ora che sappiamo come calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano abbiamo un metodo efficace per determinare la lunghezza di un segmento qualsiasi, semplicemente conoscendo le coordinate cartesiane degli estremi. Questo formulario è dedicato agli studenti di tutte le età e propone la definizione di punto medio e la formula per il punto medio di un segmento nel piano cartesiano, o meglio le formule per calcolare le coordinate del punto medio a partire dalle coordinate cartesiane degli estremi del segmento.

 

Con queste premesse ci dedicheremo ad un paio di semplici esempi per capire come si calcola il punto medio nella pratica, e ne approfitteremo per introdurre un paio di formule inverse che possono tornare utili negli esercizi. Per chiudere in bellezza proponiamo la dimostrazione delle formule, mostrando come si ricavano a partire da semplici considerazioni geometriche, e un piccolo approfondimento 

 

Definizione di punto medio

 

Dato un segmento di estremi A,B ne definiamo il punto medio come il punto M che divide il segmento in due parti uguali. In formule, il punto medio di un segmento di estremi AB è il punto M appartenente al segmento e tale per cui

 

\overline{AM}=\overline{MB}

 

Si noti che nella definizione non abbiamo menzionato il piano, e infatti essa è valida per qualsiasi segmento in una dimensione, in due dimensioni (nel piano) o in tre dimensioni (nello spazio).

 

Formule per il punto medio di un segmento nel piano cartesiano

 

Dati due punti A,B nel piano cartesiano, di cui conosciamo le coordinate (coppia ascissa-ordinata), esistono due semplici formule per calcolare le coordinate del punto medio del segmento di estremi A,B.

 

Punto medio

 

Date le coordinate di due punti

 

A=(x_A,y_A)\ \ \ ;\ \ \ B=(x_B,y_B)

 

le formule del punto medio del segmento consentono di calcolare l'ascissa x_M e l'ordinata y_M del punto medio M, e sono date da

 

x_M=\frac{x_A+x_B}{2}\ \ \ ;\ \ \ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}

 

In termini puramente algebrici si vede facilmente che ciascuna coordinata del punto medio è semplicemente la media aritmetica delle omonime coordinate dei due estremi.

 

Da qui è facile ricavare le formule inverse del punto medio le quali, conoscendo le coordinate di un estremo di un segmento e del punto medio, ci permettono di individuare le coordinate del secondo estremo. Se ad esempio disponessimo delle coordinate di A e di M e volessimo determinare le coordinate di B, ci basterebbe calcolare

 

x_B=2x_M-x_A\ \ \ ;\ \ \ y_B=2y_M-y_A

 

Ad estremi invertiti valgono delle formule inverse del tutto analoghe

 

x_A=2x_M-x_B\ \ \ ;\ \ \ y_A=2y_M-y_B

 

Esempi sul calcolo del punto medio

 

Vediamo alcuni di esempi per capire come si calcola il punto medio e come usarlo per risolvere le tipologie di esercizi più semplici. Vi anticipiamo sin da subito che la nozione di punto medio e le relative formule torneranno a più riprese negli esercizi di Geometria Analitica, in diverse forme ed in varie salse. Non sottovalutatela! ;)

 

 

1) Dati i punti A=(1,3)\mbox{ e }B=(9,8), calcolare le coordinate del punto medio M di estremi A,B.

 

Svolgimento: dobbiamo solamente applicare le formule viste in precedenza

 

(x_M,y_M)=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{1+9}{2},\frac{3+8}{2}\right)=\left(5,\frac{5}{2}\right)

 

e dunque il punto medio è individuato da M=\left(5,\frac{5}{2}\right).

 

 

2) Conoscendo le coordinate degli estremi del segmento P_1P_2 con P_1=(-2,-3),\ P_2=(2,-5), determinarne il punto medio.

 

Svolgimento: questo esempio serve a mettere in luce che le coordinate negative non alterano in alcun modo l'applicazione della formula. Per non sbagliare ci basta riscrivere le formule delle coordinate del punto medio e sostituire i dati:

 

(x_M,y_M)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-2+2}{2},\frac{-3+(-5)}{2}\right)=\left(0,-4\right)

 

In particolare si vede che, essendo le ascisse dei due punti uguali in modulo ma di segno opposto, l'ascissa del punto medio è necessariamente nulla e dunque esso ricade sull'asse delle ordinate (x=0).

 

 

3) Consideriamo un segmento di estremi A=(-1,5),\ B=(2,-1). Immaginando di prolungare il segmento fino ad un punto C in modo che B sia il punto medio di AC, si calcolino le coordinate di C.

 

Svolgimento: qui non dobbiamo fare altro che usare le formule inverse:

 

\\ x_C=2x_B-x_A=2\cdot 2-(-1)=4+1=5\\ \\ y_C=2y_B-y_A=2\cdot (-1)-5=-7

 

Com'era prevedibile il punto C appartiene al quarto quadrante e C=(5,-7). Come potete vedere in presenza di coordinate negative conviene sempre fare buon uso delle parentesi onde evitare errori di segno. ;)

 

Come ricavare le formule per il punto medio di un segmento

 

La dimostrazione delle formule del punto medio prevede di ricorrere al teorema di Talete.

 

Vediamo come ricavare la formula per il calcolo dell'ascissa del punto medio M (per l'ordinata si procede in modo del tutto analogo). Per ipotesi sappiamo che

 

\overline{AM}=\overline{MB}

 

Consideriamo le proiezioni dei punti A,M,B sull'asse delle ascisse e chiamiamole A',M',B'. In quanto proiezioni sull'asse x, per definizione di ascissa risulta che

 

\\ A'=(x_A,0)\\ \\ M'=(x_M,0)\\ \\ B'=(x_B,0)

 

Essendo le rette verticali parallele, per il teorema di Talete sappiamo che

 

\overline{A'M'}=\overline{M'B'}

 

Usiamo la formula per la distanza tra due punti nel caso particolare di due punti allineati orizzontalmente

 

x_{M'}-x_{A'}=x_{B'}-x_{M'}

 

ossia

 

x_M-x_A=x_B-x_M

 

da cui, con semplici calcoli

 

x_M=\frac{x_A+x_B}{2}

 

Nel caso dell'ordinata del punto medio y_M ci si comporta in modo del tutto analogo e si ricava

 

y_M=\frac{y_A+y_B}{2}

 

Proprietà del punto medio di un segmento

 

Se volessimo fare riferimento alla Geometria Piana che si inizia a studiare alla scuola media, il concetto di punto medio rientra in un'infinità di proprietà delle figure piane. Pensate ad esempio al triangolo isoscele o ai poligoni regolari: nel primo caso sappiamo che il punto medio della base corrisponde al piede dell'altezza relativa alla base, mentre nel secondo caso sappiamo che il punto medio di un qualsiasi lato è il punto di incontro dell'apotema con il lato.

 

Qui però stiamo studiando la Geometria analitica del piano e siamo più che altro interessati allo studio delle figure mediante un sistema di coordinate individuato dal piano cartesiano, per cui non ci dilungheremo su questo genere di proprietà. Il succo del discorso è che la Geometria piana e la Geometria analitica non sono branche della Matematica separate, a discapito di ciò che pensano moltissimi studenti: la seconda fornisce strumenti pratici per studiare la prima in un'altra prospettiva. ;)

 

In termini generali possiamo limitarci a due semplici proprietà del punto medio:

 

1) Dato un segmento AB il punto medio M esiste sempre ed è unico.

 

2) Il punto medio di un segmento è il punto a partire dal quale viene definito l'asse del segmento, vale a dire la retta che divide il segmento perpendicolarmente in due parti uguali.

 

Approfondimento: punto medio di un segmento nello spazio e in N dimensioni

 

Eccoci ad un approfondimento utile per gli studenti universitari alle prese con lo studio della Geometria dello spazio in Algebra lineare. Gli studenti delle scuole medie e delle superiori possono passare direttamente alla fine della lezione. ;)

 

Le formule per il punto medio di un segmento possono essere estese velocemente al caso tridimensionale e, più in generale, al caso di punti in spazi euclidei n dimensionali del tipo \mathbb{E}^n.

 

In tre dimensioni

 

\\ A=(x_A,y_A,z_A)\ \ \ ;\ \ \ B=(x_B,y_B,z_B)\\ \\ M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)

 

In n dimensioni

 

\\ A=(a_1,a_2,...,a_n)\ \ \ ;\ \ \ B=(b_1,b_2,...,b_n)\\ \\ M=\left(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2},...,\frac{a_n+b_n}{2}\right)

 

In sintesi ogni coordinata è data dalla media aritmetica delle corrispondenti coordinate dei due punti.

 

 


 

Nel formulario successivo parliamo del baricentro di un insieme di punti nel piano cartesiano, concetto che include ed estende la nozione di punto medio di un segmento (inteso come baricentro di un insieme di due punti). Nel caso foste in cerca di esercizi sul punto medio vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna, dal momento che qui su YM ci sono migliaia di problemi ed esercizi svolti e spiegati nel dettaglio; non solo, tra le altre cose c'è anche un comodo tool per calcolare il punto medio online. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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