Distanza tra due punti

Con distanza tra due punti nel piano cartesiano (o distanza euclidea) ci si riferisce alla formula che permette di calcolare la distanza tra due punti a partire dalle coordinate cartesiane; tale distanza è per definizione non negativa, dunque è positiva oppure è nulla nel caso in cui i due punti coincidano.

 

In questo formulario mostriamo qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano e spieghiamo come usarla per calcolare la distanza tra due punti in un riferimento di coordinate cartesiane. Oltre a fornirne la dimostrazione mediante il teorema di Pitagora e a contestualizzarla nel caso particolare di una coppia di punti allineati orizzontalmente o verticalmente, forniremo un paio di esempi di calcolo e di risoluzione degli esercizi. A fine pagina vi rimandiamo ad una scheda di esercizi correlati e ad un comodo tool di calcolo online... ;)

 

Nota bene: la lezione è pensata per tutti, studenti di terza media, delle scuole superiori ed universitari. Nell'ultima parte ci soffermiamo su un importante approfondimento rivolto esclusivamente agli studenti universitari, in cui vedremo come estendere la formula per la distanza tra due punti nello spazio (tre dimensioni) e in N dimensioni. 

 

Formula della distanza tra due punti

 

Consideriamo due punti nel piano cartesiano, individuati ciascuno da una coppia di coordinate cartesiane del tipo (ascissa,ordinata)

 

P_1=(x_1,y_1)\ \ \ ;\ \ \ P_2=(x_2,y_2) 

 

Distanza tra due punti nel piano cartesiano

 

La formula per calcolare la distanza tra i due punti consiste in una vera e propria definizione: definiamo la distanza euclidea tra i due punti P_1, P_2, e la indichiamo con d(P_1,P_2) o con \overline{P_1P_2}, il valore dato da

 

d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

 

A parole: la distanza tra due punti del piano è la radice quadrata della somma tra il quadrato della differenza delle ascisse e il quadrato della differenza delle ordinate dei due punti.

 

Esempi sulla distanza tra due punti

 

A) Calcolare la distanza tra i punti P_1=(1,2)\mbox{ e }P_2=(3,4).

 

Svolgimento: applichiamo la formula

 

\\ d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\\ \\ =\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8} 

 

e quindi la distanza è pari alla radice di 8, che possiamo eventualmente riscrivere come 2\sqrt{2}.

 

 

B) Quanto vale la distanza tra i punti P=(1,-2)\mbox{ e }Q=(2,2)\ ?

 

Svolgimento: come prima, solo che qui dobbiamo prestare attenzione ai segni

 

\\ d(P,Q)=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}=\\ \\ =\sqrt{(2-1)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}

 

L'esempio mette in luce un aspetto importantissimo: quando impostiamo i calcoli l'uso delle parentesi è d'obbligo in presenza di un segno meno.

 

 

C) Calcolare la distanza del punto C=(5,12) dall'origine degli assi.

 

Svolgimento: applichiamo la formula tenendo conto che l'origine ha coordinate cartesiane date da O=(0,0)

 

\\ d(O,C)=\sqrt{(x_C-x_O)^2+(y_C-y_O)^2}=\\ \\ =\sqrt{(5-0)^2+(12-0)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13

 

Cifra tonda! La radice di 169 è infatti uguale a 13.

 

 

D) Determinare la distanza tra i punti A=(-1,-3)\mbox{ e }B=(5,-3).

 

Svolgimento: ormai sappiamo come procedere

 

\\ d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\\ \\ =\sqrt{(5-(-1))^2+(-3-(-3))^2}=\sqrt{36+0}=\sqrt{36}=6

 

Casi particolari nel calcolo della distanza tra due punti

 

Ora che abbiamo fornito la formula della distanza euclidea facciamo un passo in avanti e consideriamo alcuni casi particolari in cui essa assume una forma più semplice. Niente paura, sono formule semplificate che si ricavano direttamente dalla forma generale, per cui nel caso non le ricordaste potrete sempre ricorrere alla formula vista in precedenza.

 

 

1) Distanza tra due punti allineati su una retta orizzontale del tipo y=a, cioè parallela all'asse delle ascisse.

 

In tal caso i due punti devono avere coordinate della forma P_1=(x_1,a),\ P_2=(x_2,a), per cui sostituendo i valori delle coordinate nella formula generale

 

d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(a-a)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2}

 

ossia, estraendo la radice quadrata

 

d(P_1,P_2)=|x_2-x_1|

 

Non dimentichiamoci mai il valore assoluto, che è fondamentale perché in generale non possiamo sapere se la differenza x_2-x_1 sia positiva o negativa. A proposito: non avete notato nulla di strano nell'esempio D)? :)

 

 

2) Distanza tra due punti allineati su una retta verticale del tipo x=a, cioè parallela all'asse delle ordinate.

 

In tale eventualità le coordinate dei due punti devono essere della forma P_1=(a,y_1),\ P_2=(a,y_2), e con un procedimento del tutto analogo al caso precedente si ricava

 

d(P_1,P_2)=|y_2-y_1|

 

 

3) Distanza di un punto dall'origine degli assi

 

Tutto molto semplice. Basta applicare la formula generale per la distanza tra due punti e, tenendo conto che uno dei due punti è l'origine O=(0,0), dette P(x_P,y_P) le coordinate dell'altro punto

 

d(P,O)=\sqrt{x_P^2+y_P^2}

 

Ehi, che ne dite di riguardare l'esempio C)? :)

 

Dimostrazione della formula per la distanza tra due punti nel piano

 

Abbiamo già fornito la dimostrazione dei casi particolari per la distanza tra punti allineati orizzontalmente o verticalmente, nonché per il caso della distanza dall'origine. Non ci resta che fornire la dimostrazione della formula per la distanza tra due punti nel caso generale e per farlo ci serviremo del teorema di Pitagora.

 

Consideriamo un terzo punto C allineato orizzontalmente a P_1, dunque con la stessa ordinata di P_1, e verticalmente a P_2, dunque con la stessa ascissa di P_2:

 

C=(x_C,y_C)=(x_2,y_1)

 

e ragioniamo sul triangolo di vertici P_1,\ P_2,\ C.

 

Dimostrazione formula della distanza tra due punti

 

Per come è stato costruito è evidente che P_1P_2C è un triangolo rettangolo in C. Con questa semplice osservazione possiamo calcolare la distanza \overline{P_1P_2} come lunghezza dell'ipotenusa del triangolo rettangolo P_1P_2C con angolo retto in C.

 

Applichiamo il teorema di Pitagora

 

\overline{P_1P_2}=\sqrt{\overline{P_1C}^2+ \overline{CP_2}^2}

 

e scriviamo le lunghezze dei due cateti come semplici differenze. Per P_1C come differenza tra le ascisse dei due punti

 

\overline{P_1C}=|x_C-x_1|=|x_2-x_1|

 

e per CP_2 come differenza tra le ordinate dei due punti

 

\overline{CP_2}=|y_2-y_C|=|y_2-y_1|

 

Sostituendo il tutto nella formula del teorema di Pitagora, ricaviamo

 

\overline{P_1P_2}=\sqrt{(|x_2-x_1|)^2+(|y_2-y_1|)^2}

 

Non ci resta che eliminare il valore assoluto, che è superfluo dal momento che abbiamo un elevamento al quadrato

 

\overline{P_1P_2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

 

e la formula per la distanza tra due punti è dimostrata. :)

 

Proprietà della distanza tra due punti

 

A partire dalla definizione di distanza euclidea è possibile dedurre alcune proprietà fondamentali che la contraddistinguono. Da qui in poi la lettura è facoltativa per gli studenti di terza media, consigliata per gli studenti delle scuole superiori e obbligatoria per gli universitari. :P

 

d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

 

Se ci facciamo caso, la distanza tra due punti è definita mediante la radice quadrata, e ad un'analisi approfondita notiamo che:

 

 

1) il radicando è una somma di quadrati e pertanto è necessariamente positivo o, eventualmente, nullo nel caso in cui i due punti coincidano (x_1=x_2\mbox{ e }y_1=y_2). Ne consegue che la definizione di distanza è ben posta perché non ci troveremo mai a calcolare la radice quadrata di un numero negativo.

 

 

2) Il valore d(P_1,P_2) è necessariamente non negativo, perché tale deve essere una radice quadrata. In altri termini la distanza euclidea è per definizione positiva oppure nulla, ed è nulla se e solo se il radicando è nullo, cioè se e solo se i due punti tra cui si calcola la distanza coincidono. In simboli

 

d(P_1,P_2)\geq 0\ \ ;\ \ d(P_1,P_2)=0\mbox{ sse }P_1=P_2

 

 

3) I più attenti si staranno certamente ponendo la seguente domanda: cambiando l'ordine dei punti tra cui si calcola la distanza, cambia anche il risultato? Ad intuito risponderemmo di no, altrimenti il concetto di distanza non avrebbe un gran significato... E in effetti così è: la distanza euclidea non dipende dall'ordine con cui si considerano i punti, nel senso che

 

d(P_1,P_2)=d(P_2,P_1)

 

Per capirlo è sufficiente notare che le differenze tra ascisse e ordinate sono elevate al quadrato sotto radice, per cui

 

\\ d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\\ \\ =\sqrt{[-(x_1-x_2)]^2+[-(y_1-y_2)]^2}=

 

Grazie alle proprietà delle potenze

 

=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=d(P_2,P_1)

 

In termini tecnici si suol dire che la distanza euclidea è simmetrica.

 

 

4) Un piccolo gioco di prestigio: vi ricordate le varie proprietà del triangolo? Tra queste sappiamo che, in un triangolo qualsiasi, la lunghezza di un lato è sempre minore della somma delle lunghezze degli altri due lati. Consideriamo i tre vertici di un triangolo qualsiasi come punti nel piano cartesiano e chiamiamoli P_1,\ P_2,\ P_3.

 

Calcoliamo le misure dei lati mediante la formula per la distanza euclidea:

 

\\ P_1P_2=d(P_1,P_2)\\ \\ P_2P_3=d(P_2,P_3)\\ \\ P_3P_1=d(P_3,P_1)

 

Qui viene il bello: la distanza euclidea tra due punti soddisfa la proprietà di disuguaglianza triangolare, nel senso che

 

\\ d(P_1,P_2)\leq d(P_2,P_3)+d(P_3,P_1)\\ \\ d(P_2,P_3)\leq d(P_1,P_2)+d(P_3,P_1)\\ \\ d(P_3,P_1)\leq d(P_1,P_2)+d(P_2,P_3)

 

A differenza della disuguaglianza triangolare geometrica, qui abbiamo usato il simbolo di maggiore-uguale e non di maggiore (stretto) per includere il caso di tre punti allineati (che ovviamente non configurerebbe un triangolo in termini geometrici).

 

Distanza tra due punti nello spazio e in più dimensioni

 

Eccoci all'approfondimento che abbiamo promesso agli universitari nell'introduzione della lezione. La formula per la distanza tra due punti nel piano (note le coordinate) si generalizza molto facilmente nel caso tridimensionale e, più in generale, in qualsiasi spazio vettoriale n-dimensionale.

 

Per la distanza tra due punti nello spazio, detti essi P_1,\ P_2

 

\\ P_1=(x_1,y_1,z_1)\ \ \ ;\ \ \ P_2=(x_2,y_2,z_2)\\ \\ d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

 

Analogamente in un qualsiasi spazio vettoriale ad n dimensioni del tipo \mathbb{R}^n\mbox{ }(n\geq 1) possiamo definire la distanza euclidea o metrica euclidea come

 

\\ P_1=(c_1,...,c_n)\ \ \ ;\ \ \ P_2=(d_1,...,d_n)\\ \\ d(P_1,P_2)=||P_2-P_1||

 

dove ||\cdot|| indica la norma di un vettore. Esplicitamente

 

d(P_1,P_2)=\sqrt{(d_1-c_1)^2+(d_2-c_2)^2+...+(d_n-c_n)^2}

 

o se preferite, sfruttando il simbolo di sommatoria

 

d(P_1,P_2)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(d_{i}-c_{i})^2}

 

Chiunque volesse approfondire ulteriormente può dare uno sguardo alla lezione dedicata al concetto di spazio euclideo.

 

 


 

È tutto! Nel formulario successivo vi mostreremo le formule per il punto medio di un segmento e, più avanti, quella per la distanza punto retta. Non perdetevi la scheda correlata di problemi ed esercizi svolti, e in caso di necessità servitevi pure del tool per calcolare la distanza tra due punti online; più in generale ricordatevi che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti dallo staff e che potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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