Distanza tra due punti

Dati due punti nel piano cartesiano

 

P_1=(x_1,y_1)\mbox{ }P_2=(x_2,y_2) 

 

possiamo calcolare la distanza tra i due punti mediante la formula

 

 

d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

 

 

A parole: la distanza tra due punti del piano è la radice quadrata della somma tra il quadrato della differenza delle ascisse e il quadrato della differenza delle ordinate dei due punti.

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Distanza tra due punti nel piano cartesiano

 
 

Casi particolari nel calcolo della distanza tra due punti


1) Distanza tra due punti allineati (su una retta orizzontale y=a), del tipo P_1=(x_1,a),P_2=(x_2,a)

 

d(P_1,P_2)=|x_2-x_1|

 

2) Distanza tra due punti allineati (su una retta verticale x=a), del tipo P_1=(a,y_1),P_2=(a,y_2)

 

d(P_1,P_2)=|y_2-y_1|

 

3) Distanza di un punto dall'origine degli assi O=(0,0): detto P(x_P,y_P)

 

d(P,O)=\sqrt{x_P^2+y_P^2}

 

Dimostrazione della formula per la distanza tra due punti nel piano

 

Le dimostrazioni dei casi particolari 1) e 2) sono ovvie.

 

Per la formula generale: con il teorema di Pitagora: se infatti consideriamo il punto C=(y_1,x_2) e il triangolo di vertici P_1,P_2,C possiamo calcolare la distanza \overline{P_1P_2} come lunghezza dell'ipotenusa del triangolo rettangolo P_1P_2C con angolo retto in C:

 

\overline{P_1C}=|x_C-x_1|

 

\overline{CP_2}=|y_2-y_C|

 

e dunque

 

\overline{P_1P_2}=\sqrt{\overline{P_1C}^2+ \overline{CP_2}^2}.

 

Per il caso particolare 3), la dimostrazione è immediata. Basta applicare la formula per la distanza tra due punti qualsiasi e scegliere come coordinate di uno dei due punti O=(0,0).

 


 

Osservazione solo per gli universitari: tale formula per la distanza tra due punti nel piano (note le coordinate) non è nient'altro che l'espressione della distanza euclidea (o norma euclidea), che in qualsiasi spazio euclideo \mathbb{R}^n\mbox{ }(n\geq 1) è data da

 

P_1=(c_1,...,c_n),\ P_2=(d_1,...,d_n)\ :\ \ d(P_1,P_2)=||P_2-P_1||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(d_{i}-c_{i})^2}

 

 


 

 

Se dovessi avere dubbi, se ci fosse qualcosa che non è chiaro, se c'è un esercizio che non riesci a svolgere...non esitare e apri una discussione nel ForumLaughing

 

Namasté!

Agente Ω

 

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