Coniche

Le coniche, dette anche sezioni coniche, sono particolari curve piane così chiamate perché si ottengono dall'intersezione tra un piano ed un cono a due falde; una prima classificazione distingue tra coniche non degeneri (circonferenza, ellisse, parabola, iperbole) e coniche degeneri.

 

In questa lezione vedremo dapprima come si ottengono le coniche da un punto di vista geometrico, ossia come intersezione tra un piano ed un cono a due falde, per poi vedere come di definiscono le coniche come luogo geometrico; infine vi mostreremo come si riconosce una conica a partire dalla sua equazione.

 

 

Prima di entrare nel vivo occorre avere ben chiaro cos'è un cono a due falde: consideriamo una retta verticale r, detta asse del cono, e su tale retta fissiamo un punto V, il quale si dirà vertice del cono. Consideriamo poi un piano perpendicolare alla retta r e tracciamo una circonferenza avente il centro su r. Il cono a due falde è la superficie formata da tutte le rette (dette generatrici del cono) che passano per V e per un punto qualsiasi della circonferenza.

 

Cono a due falde

Cono a due falde.

 

Infine, indichiamo con \alpha l'angolo formato tra l'asse del cono ed una qualsiasi delle due generatrici.

 

Coniche non degeneri

 

Consideriamo un cono a due falde ed un piano non passante per il vertice V del cono. A seconda dell'inclinazione del piano rispetto all'asse del cono si ottengono i quattro tipi di coniche non degeneri. Nello specifico, così come mostrato nell'immagine che segue

 

 

Coniche

Coniche non degeneri.

 

 

- La circonferenza si ottiene dall'intersezione tra il cono a due falde ed un piano perpendicolare al suo asse.

 

- L'ellisse è data dall'intersezione tra il cono ed un piano che forma con l'asse del cono un angolo maggiore di \alpha ma minore di 90°, dove \alpha è l'angolo formato tra l'asse del cono ed una delle sue generatrici.

 

- La parabola si ricava dall'intersezione tra una falda del cono ed un piano parallelo ad una delle generatrici, ossia con un piano che forma con l'asse del cono un angolo uguale ad \alpha.

 

- L'iperbole è data dall'intersezione tra il cono ed un piano che forma con l'asse del cono un angolo minore di \alpha. Poiché tale piano interseca entrambe le falde del cono, l'iperbole è l'unica conica formata da due rami distinti.

 

Coniche degeneri

 

A differenza delle coniche non degeneri, le coniche degeneri si ottengono quando il piano secante il cono passa per il suo vertice V.

 

 

Coniche degeneri

Coniche degeneri.

 

 

- Un punto quando il piano forma con l'asse del cono un angolo maggiore di \alpha, dove con \alpha indichiamo sempre l'angolo formato tra l'asse del cono ed una delle sue rette generatrici.

 

- Una retta se il piano forma con l'asse del cono un angolo uguale ad \alpha; in tal caso la retta ottenuta coincide con una delle generatrici del cono.

 

- Una coppia di rette quando il piano forma con l'asse un angolo minore di \alpha; queste due rette sono rette incidenti ed il loro punto di intersezione coincide col vertice V del cono.

 

Coniche come luogo geometrico

 

Oltre che come intersezione tra piano e cono e due falde, le coniche non degeneri sono definite come luoghi geometrici dei punti del piano.

 

- La circonferenza è il luogo geometrico dei punti P del piano per cui è fissa la distanza da un dato punto O, detto centro della circonferenza.

 

- La parabola è il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco della parabola e da una retta r detta direttrice.

 

- L'ellisse è il luogo geometrico dei punti P del piano per cui è fissa la somma delle distanze da due punti fissi F_1\mbox{ e }F_2 detti fuochi dell'ellisse.

 

- L'iperbole è il luogo geometrico dei punti P del piano per cui è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi F_1\mbox{ ed }F_2 detti fuochi dell'iperbole.

 

 

Coniche come luogo geometrico

Coniche non degeneri come luoghi geometrici.

 

Equazione delle coniche

 

L'equazione di una conica è un'equazione quadratica, ossia un'equazione di secondo grado in due variabili reali che si presenta nella forma:

 

ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0

 

A seconda della relazione che intercorre tra i vari coefficienti avremo i vari tipi di coniche non degeneri. In particolare, se:

 

b^2-4ac = 0 la conica è una parabola;

 

b^2-4ac < 0, \ a\neq c \mbox{ e/o } b \neq 0 la conica è un'ellisse;

 

b^2-4ac > 0 la conica è un'iperbole;

 

a=c \mbox{ e } b=0 la conica potrebbe essere una circonferenza, ma non possiamo affermarlo con certezza.

 

 

Esempio

 

Avendo ben presente quanto detto poc'anzi, stabiliamo che tipo di conica è quella individuata dalla seguente equazione

 

x^2+xy+y^2+6x-10y+7=0

 

Svolgimento: i coefficienti che ci interessano per determinare il tipo di conica sono:

 

a=1, \ b=\frac{1}{2} \mbox{ e } c=1

 

Calcoliamo ora il valore di

 

b^2-4ac=\left(\frac{1}{2}\right)^2-4\cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{4}-4=-\frac{15}{4}

 

Poiché è un numero minore di zero ed inoltre a=c=1 possiamo concludere che la conica data è un'ellisse.

 

Per approfondire quest'argomento, gli studenti universitari possono consultare la lezione sulla classificazione delle coniche. ;)

 

 


 

Per il momento è tutto! Dalla prossima lezione inizieremo a passare a rassegna tutti i vari tipi di coniche non degeneri, dedicando a ciascuna di esse un intero formulario in cui troverete tutte le formule utili a svolgere gli esercizi sulle coniche.

 

Infine, ai soli studenti universitari, consigliamo di non perdersi le nostre guide sullo studio di una conica e sulla riduzione di una conica in forma canonica. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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