Formule su Fluidostatica e Fluidodinamica

In questo formulario sui fluidi presentiamo tutte le principali formule di fluidostatica e fluidodinamica.

 

N.B.: alcune delle formule presentate in questo formulario si trovano in forma differenziale o in forma integrale per venire incontro alle necessità degli studenti universitariSe frequenti le superiori e non conosci il calcolo integrale e il calcolo differenziale, non preoccuparti: quando possibile, al fianco delle formule "incriminate", sono presenti le stesse in una forma comprensibile ad uno studente delle superiori ( che poi sono quelle che si studiano a scuola ) con relative assunzioni da fare!

 

Formulario di Fluidostatica/Fluidodinamica


Pressione Atmosferica: P0 = 1,013 · 105 Pa
Coefficiente di viscosità dell'acqua ( 0° C ): V0 = 1.79 x 10-3
Coefficiente di viscosità dell'acqua ( 20° C ):
V0 = 1 x 10-3
Coefficiente di viscosità dell'acqua ( 100° C ):
V0 = 2.82 x 10-4


F.1 Pressione

 

Data la sua forte tendenza a scorrere, un liquido non è in grado di sopportare una forza diretta parallelamente alla sua superficie. In condizioni statiche, infatti, l'unica forza che agisce è quella diretta normalmente alla superficie.
L'intensità della suddetta forza normale per unità di superficie è quella che noi definiamo pressione, una quantità scalare che si può scrivere come

 

p = \frac{\Delta F}{\Delta A}

 

Piuttosto interessante è aggiungere a questo piccolo paragrafo anche la definizione di massa volumica, così detta perché data dal rapporto tra la massa e il suo volume; in pratica si ha

 

\rho = \frac{m}{V}

 

La massa volumica però non è costante al variare della pressione e della temperatura ( anche se per i solidi una approssimazione di tal tipo non è del tutto errata ); in particolare si ha che

 

B = - \frac{\Delta p}{\Delta V / V}

 

dove B è detto modulo di comprimibilità e dipende unicamente dal materiale; lasciata fissa tale quantità ed aumentata la variazione di pressione è chiaro che il volume varierà di una certa percentuale.

 

Tornando alla pressione, è necessario notare che anche essa è una forza ( non in senso stretto, ovviamente! ) perciò compie un certo lavoro esprimibile come

 

\mathcal{L} = \int p \, dV

 

Introduciamo per finire una relazione che regola l'equilibrio statico di un certo fluido:

 

\vec{\nabla} p = \rho \vec{f}

 

in cui \vec{f} sta a rappresentare la forza sull'unità di massa mentre \nabla introduce un gradiente.

 

F.2 Legge di Stevino

 

Un fluido incomprimibile in equilibrio statico deve avere una accelerazione nulla su entrambe le dimensioni e perciò è conveniente introdurre la condizione

 

\frac{dp}{dy} = - \rho g

 

dove y indica la quota nel fluido che ci troviamo a considerare; risolvendo l'equazione differenziale sopra si trova che la pressione in un fluido in funzione dell'altezza è data dalla Legge di Stevino:

 

p(h) = p_0 + \rho g h

 

dove p_0 è un termine dato dalla somma di tutte le pressioni esterne al fluido ed agenti su di esso (quasi sempre solo quella atmosferica).
E' tuttavia interessante notare che la pressione atmosferica cambia all'aumentare della quota supponendo che la temperatura rimanga essenzialmente costante; in particolare si trova che

 

p = p_0 e^{-h/a}

 

dove a indica il fattore di riduzione della pressione e si può scrivere come

 

a = \frac{p_0}{g \rho_0}

 

La formula scaturisce dall'ipotesi di incomprimibilità e da quella di proporzionalità diretta tra pressione e massa volumica.

 

F.3 Principio di Pascal e Principio di Archimede


Principio di Pascal: la pressione applicata ad un fluido racchiuso in un recipiente si trasmette invariata a ogni parte del fluido e alle altre pareti del recipiente.

Secondo tale principio la pressione esercitata da un fluido si trasmette invariata ad ogni parte del fluido ma anche alle pareti ( e quindi a tutte le superfici a contatto con esso ).
Una utile applicazione di questo principio è data dal torchio idraulico, formato da due pistoni di superfici diverse in modo da alzare un gran peso facendo il minimo sforzo; vale, in particolare, la relazione

 

p_1 = p_2 \implies \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}

 

Principio di Archimede: un corpo totalmente o parzialmente immerso in un fluido è spinto verso l'alto da una forza di modulo uguale al peso del fluido spostato dal corpo.

 

Secondo tale principio un corpo riceve una spinta verso l'alto con modulo uguale a quello della forza peso della massa di fluido spostata ( ossia una massa con volume pari a quello immerso del corpo in questione ).
Una utile applicazione si ha quando si vuole trovare quanto volume di un certo corpo è immerso quando si trova in equilibrio statico: basta eguagliare forza di Archimede e forza peso.

 

F_{Archimede} = - \rho \vec{g} V_{immerso}

 

Nel caso in cui il corpo abbia una forza di Archimede superiore alla sua forza peso, il corpo comincerà a riemergere; nel caso contrario ad affondare.

 

F.4 Attrito Interno

 

Prima di passare alla trattazione della fluidodinamica, bisogna definire l'attrito interno di un fluido in modo da separare fludi ideali da fluidi reali perché il comportamento che li caratterizza è decisamente differente.

 

 F_{attrito} = \eta A \frac{dv}{dy} = \eta A \frac{v}{D}

 

dove \eta rappresenta il coefficiente di viscosità che, per quanto riguarda i fluidi ideali, è sempre nullo mentre può assumere valori anche molto grandi in quelli reali.

 

F.5 Fluidodinamica Ideale

 

Siamo arrivati finalmente alla fluidodinamica, prima però di passare a quella riferita ai fluidi ideali ( \eta = 0 ), è interessante enunciare alcune delle sue proprietà:

 

  1. Il regime di flusso può essere stazionario o turbolento. Il primo regime si ottiene quando le grandezze come la pressione, la massa volumica, lavelocità di spostamento, ecc.. si mantengono costanti nel tempo ma non per forza nello spazio.
    La seconda condizioni, tipica dei fluidi reali, si realizza non appena la velocità di scorrimento raggiunge un valore più o meno alto.
  2. Il fluido può essere comprimibile o incomprimibile. Per un liquido le variazioni di massa volumica sono talmente trascurabili da poter ritenere lo stesso incomprimibile anche nel caso in cui non si tratta di un fluido ideale.
  3. Il fluido può essere viscoso o non viscoso. La viscosità, assumibile all'attrito per i corpi solidi, tende a trasformare energia cinetica di spostamento in energia interna.
  4. Il fluido può essere rotazionale o irrotazionale. Il moto del primo caso è estremamente complesso da descrivere dal punto di vista fisico perciò assumeremo il moto sempre irrotazionale: alla fine della fluidodinamica ci saranno però dei cenni sul moto rotazionale ;) !

 

Passando alla trattazione dei fluidi reali, la prima grandezza che dobbiamo definire è la portata, il volume di fluido che passa nell'unità di tempo

 

Q = vS

 

dove S individua la superficie del fluido preso in considerazione. Tale grandezza appena definita, la si può anche esprimere in massa moltiplicando la precedente per la massa volumica:

 

Q_{massa} = \rho vS

 

La proprietà più importante della portata è che si tratta di una invariante del moto di un fluido ideale: presi due punti qualsiasi in un condotto, la portata rimane sempre la stessa! Si ha cioé:

 

Q_1 = Q_2 \implies v_1 S_1 = v_2 S_2

 

Per le pressioni esiste una certa legge che ne regola la conservazione all'interno di un condotto percorso da un fluido ideale: la Legge di Bernoulli.

 

p_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = \text{costante}

 

Ci dice cioé che la somma delle tre pressioni ( agente sulla parte di condotto, quella idrostatica e quella idrodinamica ) si conserva presi due punti qualsiasi di un condotto.

 
 

F.5 Moto Rotazionale

 

Una massa liquida messa in rotazione tende ad assumere una forma concava con il punto di minima quota che corrisponde con il punto della superficie libera che si trova in corrispondenza dell'asse di rotazione.

 

I fluidi in rotazione non vengono generalmente trattati se non tramite qualche piccolo esperimento circa la quota, perciò è sufficiente tenere bene a mente la Superficie di Equilibrio:

 

z = \frac{\omega^2}{2g} \cdot r^2 + h

 

dove r indica la distanza dall'asse di rotazione ed h la profondità del liquido relativa al valore r = 0 ( ovvero sull'asse di rotazione ).
La rotazione inoltre, genera una pressione idrodinamica della quale si deve necessariamente tenere conto; in tal modo è possibile definire il Gradiente di Pressione:

 

\frac{\partial p}{\partial z} = - \rho g \qquad \qquad \frac{\partial p}{\partial r} = \rho \omega^2 r

 

F.6 Fluidi Reali

 

I fluidi reali sono quei fluidi in cui il coefficiente di viscosità non è nullo ( {tex}\eta \neq 0 ): ciò accade sempre in natura, sebbene l'acqua ( e simili ) possano essere trattati con buona approssimazione come ideali.

 

Una applicazione pratica della viscosità si verifica nello scorrimento di un fluido in un tubo a sezione circolare. Il flusso si mantiene laminare nonostante gli strati di fluido siano essenzialmente cilindrici e di raggio variabile.

 

Una importante conseguenza è data dal fatto che i vari strati non si muovono con la stessa velocità: il massimo valore di v si ha lungo l'asse del tubo mentre il valore minimo che assumiamo, con ottima approssimazione, a zero si ha lungo le pareti del tubo.

Con queste assunzioni siamo in grado di trovare facilmente la velocità che assume il fluido in funzione della distanza dall'asse del tubo:

 

v(r) = \frac{\Delta p}{4 \eta L} (R^2 - r^2)

 

dove \Delta p indica la caduta di pressione, L la lunghezza del condotto, R il raggio del cilindro ed r la distanza dall'asse del cilindro.

Considerando il flusso lungo ciascuno dei sottili strati cilindrici si trova facilmente che la portata massica totale vale

 

\frac{dm}{dt} = \frac{\rho \pi R^4 \Delta p}{8 \eta L}

 

ed ancora più facilmente si può definire la portata volumica tramite la famose Legge di Poiseuille:

 

Q = \frac{\pi R^4 \Delta p}{8 \eta L}

 

Una interessante caratteristica dei fluidi reali è data dal regime turbolento. Esso consiste essenzialmente in un moto irregolare ( volendo esagerare, quasi browniano ) delle particelle ( e dei vari strati di fluido ) dovuti in genere all'incontro con un ostacolo.
Quando in un fluido reale la velocità aumenta superando un certo limite, gli strati non slittano più l'uno sull'altro senza problemi e il moto diventa e.

 

Tramite vari calcoli si può giungere ad una formula tramite la quale possiamo trovare a quale valore v_c, il regime diventa turbolento. Questo si può fare determinando sperimentalmente un valore detto Numero di Reynolds:

 

\mathfrak{R} = \frac{v d \rho}{\eta}

 

Superato un certo valore il regime diventa turbolento. Interessante notare che per condutture cilindriche tale numero rimane più o meno fisso:

 

\mathfrak{R} \approx 2000

 

Interessante ma poco comune, è la dissipazione per unità di lunghezza dell'energia per unità di peso di fluido di una corrente a regime uniforme in una tubazione data dalla Legge di Darcy-Weissbach:

 

i = \frac{f v_m^2}{2gd}

 

dove f indica una costante del fluido non scorrelata dal Numero di Reynolds in quanto si ha che

 

f = \frac{64}{\mathfrak{R}}

 

Infine possiamo introdurre la caduta di pressione per unità di lunghezza in una conduttura cilindrica in condizioni di regime turbolento; essa è espressa dalla legge

 

\frac{ \Delta p }{ L } = k \frac{\rho v_m^2}{2R}

 

dove k è una costante detta coefficiente di resistenza.

 

F.7 Moto di un corpo in un fluido

 

Un corpo che viene fatto cadere in un fluido si muove di un moto piuttosto particolare: inizialmente uniformemente accelerato e successivamente uniforme.
Questo accade perché la forza di resistenza è proporzionale alla velocità ed in breve raggiunge quella forza che tende a far cadere il corpo; in generale si analizza il moto di una sfera in un fluido di viscosità \eta; la forza di resistenza è data dalla Legge di Stokes:

 

 F_r = - 6 \pi \eta R \vec{v}

 

Un corpo soggetto a tale forza di resistenza arriverà ad avere, come già detto in precedenza, una velocità limite data dalla formula

 

v_{lim} = \frac{2}{9} \frac{(\rho_{sfera} - \rho_{fluido}) gR^2}{\eta}

 

dove R indica il raggio della sfera.

 

F.8 Tensione superficiale

 

Quest'ultimo paragrafo tratta un argomento spesso sottovalutato ma di grande importanza: avete mai pensato a perché piccoli oggetti galleggiano sulla superficie senza perciò che intervenga la spinta di Archimede?

 

E' dovuto tutto ad una forza / lunghezza detta tensione superficiale, caratteristica del liquido in esame e definita come la forza di superficie per unità di lunghezza oppure come rapporto tra energia potenziale e superficie:

 

\gamma = \frac{F}{L} = \frac{\Delta W}{\Delta A}

 

Dalla definizione è chiaro che il lavoro per modificare una superficie libera di un liquido è

 

dW = \gamma \, dA

 

In assenza di viscosità, è possibile calcolare la differenza di pressione attraverso la superficie di liquido tramite l'Equazione di Young-Laplace:

 

\Delta p = p_{int} - p_{est} = \gamma \frac{dA}{dV}

 

Per una superficie piana la differenza di pressione è chiaramente nulla, mentre per una superficie sferica

 

\Delta p = \frac{2 \gamma}{R}

 

alla regola però sfugge la bolla di sapone che presenta una differenza di pressione doppia rispetto ad una normale superficie sferica.
Per concludere, una superficie toroidale ha una differenza di pressione banalmente calcolabile con la formula

 

\Delta p = \gamma \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{r} \right)

 

Sempre relazionato alla tensione superficiale, è interessante parlare dell'altezza che un liquido va ad assumere in un tubo capillare; la legge che regola tale fenomeno è

 

h = \frac{2 \gamma \cos{(\alpha)}}{\rho g R}

 

dove \alpha indica l'angolo di contatto tra fluido e tubo capillare; vale zero solo se il liquido bagna le pareti.

 


 

Questo formulario cerca di racchiudere tutte le formule della Fluidostatica e della Fluidodinamica, anche quelle meno utilizzate: se trovi qualcosa che non va, oppure vuoi segnalare una formula: non esitare a farlo ;) !

 

Frank

 

Lezione successiva

 

 


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