Formulario di Termodinamica

In questo formulario presentiamo tutte le formule della Termodinamica che si possono incontrare sia negli studi liceali che in quelli universitari. Alcune delle formule presentate in questo formulario si trovano in forma differenziale o in forma integrale per venire incontro alle necessità degli studenti universitari.

 

Se frequenti le superiori e non conosci il calcolo integrale e il calcolo differenziale, non preoccuparti: quando possibile, al finaco delle formule "incriminate", sono presenti le stesse in una forma comprensibile ad uno studente delle superiori ( che poi sono quelle che si studiano a scuola ) con relative assunzioni da fare!

 

Formule della Termodinamica

 

 

Temperatura di fusione dell'acqua: Tf = 273,15 K
Temperatura di ebollizione dell'acqua: Te = 373,15 K
Punto triplo dell'acqua: Ttriplo = 273,16 K
Punto critico dell'acqua: Tcritico = 647 K

 

T.1 Temperatura

 

La temperatura è una caratteristica che il corpo assume in base a scambi di calore con ambiente, altri oggetti, ecc.. Essa può essere misurata in diverse maniere, ma in questo piccolo paragrafo parleremo unicamente delle scale di temperatura e quindi dei termometri.
Esistono diverse scale di temperatura ma la più importante è quella Kelvin ( l'unica utilizzata in termodinamica ) seguita dalla Celsius e dalla Fahrenheit.

 

t(^{\circ}C) = T(K) - 273,15 \implies T(K) = t(^{\circ}C) + 273,15

 

La conseguenza più importante di questa relazione che lega le prime due scale è che la differenza di temperatura è la stessa espressa sia in Kelvin che in Celsius: le due scale hanno quindi la stessa gradazione!

 

T(^{\circ}F) = t(^{\circ}C}) \cdot 1,8 + 32 \implies T(^{\circ}F) = T(K) \cdot 1,8 - 459,67

 

E' piuttosto interessante notare che la terza scala non presenta la stessa gradazione delle altre due; di questa però non ne faremo uso nella termodinamica ma è sempre bene tenere a mente almeno la conversione.

 

T.2 Dilatazione termica di solidi e liquidi

 

Solidi o Liquidi sottoposti ad una variazione di temperatura tendono a dilatarsi o a contrarsi secondo una legge approssimativamente lineare ( approssimativamente perché, chiaramente, nella realtà le cose sono un pochino diverse ).

 

Coefficiente di dilatazione lineare:         \lambda = \frac{1}{L} \frac{dL}{dT} \implies \lambda = \frac{1}{L} \frac{\Delta L}{\Delta T}

 

\text{(I)} \, \, dL = \lambda L \, dT \implies \Delta L = \lambda L \Delta T \qquad \qquad \text{(II)} \, \, L = L_0 \cdot(1 + \lambda \Delta T)


Coefficiente di dilatazione volumica:         \alpha = \frac{1}{V} \frac{dL}{dV} \implies \alpha = \frac{1}{V} \frac{\Delta L}{\Delta V}

 

\text{(I)} \, \, dV = \lambda V \, dT \implies \Delta V = \alpha V \Delta T \qquad \qquad \text{(II)} \, \, V = V_0 \cdot(1 + \alpha \Delta T)

 

Per materiali isotropi vale \alpha = 3 \lambda.

 

T.3 Calorimetria

 

Capacità termica di un corpo:

 

C = \frac{\mathfrak{d} Q}{dT} \implies C = \overbrace{\frac{Q}{T}}^{\mathfrak{d} Q, dT \to \text{kost}}

 

Calore specifico:

 

c_m = \frac{C}{m} = \frac{1}{m}\frac{\mathfrak{d}Q}{dT} \implies C = \overbrace{\frac{Q}{mT}}^{\mathfrak{d}Q, dT \to \text{kost}}

 

Cambiamenti di fase:

 

Q = m \lambda

 

dove m è la massa che affronta il cambiamento di fase e \lambda un coefficiente; nota che durante il cambiamento di fase la temperatura non varia.

 

N.B. Il simbolo \mathfrak{d} indica un differenziale non esatto(*): la quantità di calore scambiato ed i calori specifici dipendono infatti dal tipo di trasformazione.

 

T.4 Conduzione di calore


Passaggio di calore attraverso un solido per conduzione ( Legge di Fourier ):

 

dQ = - k \cdot \frac{dT}{dx} S \Delta t

 

dove k è il coefficiente di conducibilità termica, dT / dx il gradiente di temperatura, S è la superficie ed infine \Delta t il tempo.

 

\Delta Q = \frac{k \Delta T S}{x} \cdot \Delta t

 

è una forma semplificata della legge valida nel caso in cui il fenomeno si svolga sulla sola dimensione x e il gradiente di temperatura sia costante ( per questo usiamo il delta, variazione ).

 

Passaggio di calore da un solido a temperatura T ad un liquido a temperatura T0 ( Legge di Newton ):

 

dQ = h dT S dt \implies \DeltaQ = h(T-T_0) S \Delta t


Passaggio di calore per irraggiamento ( Legge di Stefan-Boltzman ):

 

\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \sigma \varepsilon T^4

 

dove \sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \, \text{J/m}^2 \text{sK}^4 indica la costante di Stefan-Boltzman e \varepsilon l'emissitività che è compresa tra 0 ed 1, ad esempio per un corpo nero.

 

T.5 I principio della Termodinamica

 

In un sistema che compie una trasformazione Termodinamica, la quantità di calore scambiato, il lavoro scambiato e la variazione di energia interna stanno alla relazione

 

\Delta U = Q + \mathcal{L}


N.B.B. alcuni libri universitari propongono una legge diversa per quanto riguarda i segni: tutto dipende unicamente dalla convenzione che si decide di seguire; nel nostro caso si ha che

 

  • Q>0 se il calore è ceduto dall'esterno al sistema.
  • Q<0 se il calore è ceduto dal sistema all'esterno.

 

L'energia è una funzione di stato in quanto dipende solo dagli stati A e B ( iniziale e finale ); in particolare si ha che quando il ciclo è chiuso la variazione di energia interna è nulla.

Nelle trasformazioni reversibili, in ogni stato intermedio il sistema è in equilibrio termico/meccanico con l'esterno; in quelle irreversibili si passa attraverso stati intermedi di non equilibrio.

 

T.6 Gas Perfetti ( Ideali )


Equazione di stato dei gas ideali:

 

pV = nRT \qquad \qquad pV = N k_B T

 

dove p indica la pressione, V il volume, n il numero di moli, R = 8,314 \, \text{J/mol \, K} la costante dei gas e T la temperatura.
La seconda formula, del tutto equivalente alla prima, ha di diverso N che individua il numero di molecole e k_B = 1,3807 \cdot 10^{-23} \,  \text{J/K} che indica la costante di Boltzman.

 

La trattazione della Termodinamica si basa, essenzialmente, sullo studio dei gas perfetti; per completezza, comunque, a fine formulario introdurremo anche le leggi valide per i gas reali perché di grande interesse.

 

Lavoro compiuto dal gas in una trasformazione generica: ( solo università )

 

\mathcal{L} = - \int p_{est} \, dV

 

dove \p_{est} indica la somma delle pressioni che agiscono all'esterno del sistema, sul sistema stesso. Approfondiremo il lavoro quando tratteremo singolarmente le trasformazioni ma è utile sapere che si distinguono due casi.

 

Lavoro compiuto dal gas in una trasformazione reversibile

 

\mathcal{L} = - \int p_{est} \, dV = - \int \frac{nRT}{V} \, dV


Lavoro compiuto dal gas in una trasformazione irreversibile(pressione costante)

 

\mathcal{L} = - \int p_{est} \, dV = - p_{est} \Delta V


Calore specifico molare di un gas ideale

 

Volume costante:           c_v = \frac{1}{n} \left( \frac{\mathfrak{d}Q}{dT} \right)_V

 

Pressione costante:          c_p = \frac{1}{n} \left( \frac{\mathfrak{d}Q}{dT} \right)_p

 

Tali coefficienti non sono scollegati in quanto interviene una interessantissima relazione detta


Legge di Mayer:         R = c_p - c_v

 

In base a ciò, e alle relazioni precedenti, possiamo definire i calori specifici per gas monoatomici, biatomici e poliatomici!

 

Gas ideali monoatomici:

 

c_v = \frac{3}{2} R \qquad \qquad c_p = \frac{5}{2} R

 

Gas ideali biatomici:

 

c_v = \frac{5}{2} R \qquad \qquad c_p = \frac{7}{2} R

 

Gas ideali poliatomici:

 

c_v = 2 R \qquad \qquad c_p = 3 R

 

E' importante a questo punto definire la costante adiabatica \gamma come il rapporto tra calore specifico a pressione costante e calore specifico a volume costante:

 

\text{(I)} \, \, \gamma = \frac{c_p}{c_v} \qquad \qquad \text{(II)} \, \, c_v = \frac{R}{\gamma - 1} \qquad \qquad \text{(III)} \, \, c_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}

 

Si ricava facilmente che

 

n = 1 \implies \gamma = \frac{5}{3} \qquad \qquad n = 2 \implies \frac{7}{5} \qquad \qquad n > 2 \implies \frac{3}{2}

 
 

T.7 Trasformazioni

 

Prima di parlare delle trasformazioni vere e proprie dobbiamo definire la variazione di energia interna di un gas ideale.

 

\text{(I)} \, \, dU = n c_v dT \qquad \qquad \text{(II)} \, \, c_v = \frac{1}{n} \frac{dU}{dT} \qquad \qquad \text{(III)} \, \, U = n c_v \Delta T + c

 

  • Trasformazione Adiabatica Reversibile

 

Q = 0 \implies \mathcal{L} = \Delta U = n c_v (T_B - T_A) \implies  \mathcal{L} = \frac{1}{\gamma - 1} (p_B V_B - p_A V_A)

 

Nella adiabatica reversibile valgono le Equazione di Poisson

 

\left\{ \begin{array}{l l} pV^{\gamma} = k_1 \\ TV^{\gamma-1} = k_2 \\ Tp^{\frac{1 - \gamma}{\gamma}} = k_3 \end{array} \right.

 

che stabiliscono quali sono le grandezze a rimanere costanti tra i due stati ( iniziale e finale ) della adiabatica.

 

  • Trasformazione Isoterma Reversibile

 

T_A = T_B \implies \Delta U = 0 \qquad \qquad Q = - \mathcal{L} = - nRT \log{\left( \frac{V_B}{V_A} \right)}

 

  • Trasformazione Isocora ( Volume costante )
     

V_A = V_B \implies \mathcal{L} = 0 \qquad \qquad Q = \Delta U = n c_v (T_B - T_A)

 

  • Trasformazione Isobara ( Pressione costante )

 

p_A = p_B \implies Q = n c_p (T_B - T_A) \qquad \qquad \mathcal{L} = - p_A \Delta V = - nR(T_B - T_A)


Entalpia:

 

H = U + pV \qquad \qquad dH = n c_p dT \qquad \implies \qquad H = \text{Funz. di Stato}

 

  • Trasformazione Ciclica

 

\Delta U_{ciclo} = 0 \qquad \qquad Q_{ciclo} = - \mathcal{L}_{ciclo}

 

Q_{ciclo} = Q_{assorbito} + Q_{ceduto} = Q_{assorbito} - |Q_{ceduto}|

 

\mathcal{L}_{ciclo} = \mathcal{L}_{compiuto} + \mathcal{L}_{subito} = \mathcal{L}_{subito} - |\mathcal{L}_{compiuto}|


Rendimento di una macchina termica:        \eta = \frac{|W_{ciclo}|}{|Q_{assorbito}|} = 1 - \frac{|Q_{ceduto}|}{Q_{assorbito}}


Efficienza di un ciclo frigorifero:         \xi = \frac{Q_{assorbito}}{|W_{ciclo}|}

 

E' ovvio che il rendimento di una macchina termica non può in alcun modo essere maggiore di 1 ( e come potrebbe esserlo? ) mentre l'efficienza cresce quando il lavoro svolto è minimo.

 

T.8 Macchina di Carnot

 

Una macchina di Carnot è una macchina termica teorica che compie un ciclo di Carnot reversibile; tale ciclo porta da uno stato A ad uno stato D ( T2 > T1 ) con le seguenti trasformazioni:

 

  1. Espansione Isoterma Reversibile a temperatura iniziale T2;
     
  2. Espansione Adiabatica Reversibile;
     
  3. Compressione Isoterma Reversibile a temperatura iniziale T1;
     
  4. Compressione Adiabatica Reversibile.
     

 

Rendimento:          \eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_1}{T_2}

 

Efficienza Macchina a funzionamento inverso ( Frigorifero di Carnot ):           \xi_{Carnot} = \frac{T_1}{T_2 - T_1}


N.B. Il Teorema di Carnot non ci dice altro che una macchina termica che scambia calore con due sorgenti termiche a temperatura T1 e T2, il rendimento è dato dalla formula sopra.
Altrettanto importante è sapere che una macchina reale ha un rendimento sempre inferiore a quello di una macchina di Carnot che scambia calore tra le medesime sorgenti.

 

T.9 Teoria Cinetica dei Gas

 

La teoria cinetica dei gas descrive un gas dal punto di vista microscopico, assumendo le particelle a dei punti materiali che sono in costante moto casuale e urtano tra di loro o con le pareti del contenitore.

 

Massa Molare:           M = m \cdot N_{Avogadro}

 

Pressione:            p = \frac{Nm}{V} \frac{\overline{v^2}}{3} = \frac{2}{3} \frac{N \overline{E_k}}{V}

 

Dalla pressione si possono ricavare gli altri parametri di stato; a questo punto possiamo introdurre il libero cammino medio che ci viene dato dalla semplice formula

 

\lambda = \frac{k_BT}{\sqrt{2} \pi d^2 p}

 

Sostituendo la pressione nella precedente formula, si può ricavare un'altra espressione per Lambda; è interessante a questo punto introdurre la distribuzione delle velocità di Maxwell ( e qui credo si possa dire che mai un formulario fu più utile :P ); nella sua forma differenziale

 

dN(\mathbf{v}) = N_0 \sqrt{ \frac{m}{2 \pi k_B T} } e^{- m \mathbf{v}/ 2k_B T} \, d\mathbf{v}

 

e nella sua forma esatta, adatta agli studenti delle superiori ( ma anche all'università ):

 

N(v) = 4 \pi N \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} v^2 e^{-mv^2/2k_B T}

 

Numero Molecole totali:           N = \int_{0}^{\infty} N(v) \, dv

 

Come conseguenze di questa distribuzione di Maxwell, ci sono quattro tipi di velocità ed una energia cinetica che riguarda le particelle; altri risultati interessanti saranno presenti in tale lista:

 

  • Velocità più probabile

 

v_p = \sqrt{ \frac{2k_BT}{m} }

 

  • Velocità Media

 

\overline{v} = \frac{1}{N} \int_{0}^{\infty} vN(v) \, dv = \sqrt{ \frac{8 k_B T}{\pi m} } = \sqrt{ \frac{8RT}{\pi M} }

 

  • Velocità Quadratica Media

 

\overline{v^2} = \frac{1}{N} \int_{0}^{\infty} v^2N(v) \, dv = \frac{3k_BT}{m}

 

v_{q.m.} = \sqrt{ \overline{v^2} } = \sqrt{ \frac{3RT}{M} }

 

  • Energia Cinetica Traslazionale per ogni molecola

 

K_{trasl} = \frac{3}{2} k_B T

 

Ma è interessante notare che ogni grado di libertà ha una energia eguale associata, pari a

 

K = \frac{1}{2} k_B T

 

il che ci consente di trovare facilmente l'energia cinetica traslazionale anche quando i gradi di libertà sono più di 3.

 

T.10 Entropia

 

L'entropia altro non è che la misura del disordine presente in un sistema fisico e rappresenta una funzione di stato; in una trasformazione da uno stato A ad uno stato B si ha:

 

\Delta S = \int_{A}^{B} \frac{\mathfrak{d}Q}{T}

 

La formula per il calcolo della variazione di entropia è piuttosto semplice ma è necessario fare attenzione a due particolarità: il differenziale del calore, come già discusso in precedenza, non è esatto; l'integrale va calcolato lungo una qualsiasi trasformazione reversibile che lega i due stati A e B.

 

Scambio di calore Q tra due sorgenti a temperatura rispettivamente T1 e T2 > T1:

 

 \Delta S_1 = \frac{Q}{T_1} \qquad \qquad \Delta S_2 = - \frac{Q}{T_2} \qquad \implies \qquad \Delta S_{univ.} = \Delta S_1 + \Delta S_2 > 0

 

Per quanto riguarda un corpo che aumenta ( diminuisce ) la sua temperatura scambiando calore con l'ambiente, si ha che

 

\Delta S_{corpo} = m c_m \int_{T_1}^{T_2} \frac{dT}{T} = m c_m \log{ \frac{T_2}{T_1} } \qquad \qquad \DeltaS_{sorgente} = - \frac{m c_m \Delta T}{T_2}

 

Dalla somma si ricava che la variazione di entropia dell'universo è sempre positiva; per un corpo che cambia fase si ha che

 

\Delta S = \frac{m \lambda}{T}

 

Adesso possiamo passare alla trattazione specifica dell'entropia. In particolare dell'Entropia di un Gas Ideale, dato dalla semplice formula

 

S = nc_v \log{(T)} + nR \log{(V)} + cost

 

Anche nelle trasformazioni avviene una variazione di entropia che si può facilmente calcolare.

 

  • Trasformazione Adiabatica Reversibile

 

\Delta S = 0

 

  • Trasformazione Isoterma Reversibile

 

\Delta S = nR \log{\frac{V_B}{V_A}}=nR\log{\frac{P_B}{P_A}}

 

  • Trasformazione Isocora ( Volume costante )

 

\Delta S = nC_V \log{\frac{T_B}{T_A}}

 

  • Trasformazione Isobara ( Pressione costante )

 

\Delta S = nC_P \log{\frac{T_B}{T_A}}

 

  • Trasformazione Ciclica

 

\Delta S_{univ.} = \Delta S_{ciclo} + \Delta S_{ambiente} = \Delta S_{ambiente} = \left\{ \begin{array}{l l} = 0 & \text{trasf. rev.} \\ > 0 & \text{trasf. irrev.} \end{array} \right.

 

Sempre relativo alla Entropia, si può enunciare il Terzo principio della Termodinamica:

 

\lim_{T \to 0} \Delta S_{rev} = 0

 

T.11 Gas Reali


Equazione di stato dei gas reali ( Van der Waals ):

 

\left( p + \frac{an^2}{V^2} \right) (V - nb) = nRT

 

dove a, b \in \mathbb{R} sono detti parametrici tipici del gas.

 

Formula di Clapeyron:           \frac{dT}{dp} = \frac{T(\mathfrak{v_2} - \mathfrak{v_1})}{\lambda}

 

Teoria Cinetica dei gas reali:          \left\{ \begin{array}{l l} a = \alpha N_A^2 \\ b = 4 \sqrt{2} \pi N_A r^3 \end{array} \right.

 

Energia interna:           dU = nc_v dT + \frac{na}{V^2} \, dV \qquad \implies \qquad U = n c_v T - \frac{na}{V} + cost

 

T.12 Costanti della Termodinamica


Presentiamo qui di seguito alcune delle costanti di maggior utilizzo in Termodinamica ed alcuni fattori di conversione che possono risultare piuttosto utili:


Numero di Avogadro: N_A = 6,023 \cdot 10^{23} \, \text{mole}^{-1}


Costante di Stefan-Boltzman: \sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \, \text{W / (m}^2 \, \text{K}^4 \text{)}


Costante dei Gas: R = 8,314 \, \text{J / (mole} \, \, \text{K)} = 8,206 \cdot 10^{-2} \, \text{atm / (mole} \, \, \text{K)}


Volume di una mole di un gas ideali a condizioni normali: V_0 = 22,414 \, \text{L}


Calore specifico ghiaccio: c_g = 0,5 \, \text{cal / (g } \, \, \text{K)}


Calore fusione H2O: \lambda_f = 79,7 \, \text{cal / g}


Calore specifico acqua: c_a = 1 \, \text{cal / (g } \, \, \text{K)}


Calore ebollizione H2O: \lambda_e = 540 \, \text{cal / g}

 

Non ci sono altre costanti che potrebbero risultare indispensabili in Termodinamica ( in caso contrario, fateci sapere ;) ) .. per quanto riguarda i fattori di conversione, i più importanti sono:

 

Litro - Metri cubi: 1 \, \text{L} = 10^{-3} \, m^3 \implies 1 \, \text{L} \to_{Peso} 1 \, \text{kg}


Pascal - Atmosfera - mmHg: 1 \, \text{Pa} = 9,87 \cdot 10^{-6} \, \text{atm} = 7,5 \cdot 10^{-3} \, \text{mmHg}


Atmosfera - Pascal - mmHg: 1 \, \text{atm} = 1,013 \cdot 10^{5} \, \text{Pa} = 760 \, \text{mmHg}


mmHg - Pascal - Atmosfera: 1 \, \text{mmHg} = 133.3 \, \text{Pa} = 1,316 \cdot 10^{-3} \, \text{atm}


Caloria - Joule / Joule - Caloria: 1 \, \text{cal} = 4,186 \, \text{J} \implies 1 \, \text{J} = 0,2389 \, \text{cal}

 


 

(*) Dimostrare che il differenziale non è esatto, è banale in quanto si ha che

 

dQ = n c_v dT + p dV

 

ma è altrettanto chiaro che

 

\frac{\partial c_v}{\partial V} = 0 \neq \frac{\partial p}{\partial T}

 

così si conclude la dimostrazione.

 

Questo formulario cerca di racchiudere tutte le formule della Termodinamica, anche quelle meno utilizzate: se trovi qualcosa che non va, oppure vuoi segnalare una formula: non esitare a farlo ;) !



Frank

 

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