Convertire i gradi in radianti e viceversa

La conversione dei gradi in radianti, e viceversa, è un procedimento che consente di esprimere la misura di un angolo dai gradi ai radianti (e viceversa) mediante semplici operazioni algebriche.

 

Il primo argomento di Trigonometria che trattiamo è propedeutico. Dato che non vogliamo omettere proprio nulla, né sottovalutare alcuna possibile lacuna degli studenti, vogliamo riallacciarci a un argomento che viene studiato alle scuole medie e che torna prepotentemente in Trigonometria. Ci stiamo riferendo alla misura degli angoli.

 

Come avrete modo di vedere nel seguito tutta la Trigonometria verte sulla nozione di angolo e dunque è bene non sottovalutare le operazioni algebriche che coinvolgono gli angoli. Tra queste ve n'è una in particolare che riguarda la conversione delle misure angolari, e che crea molti dubbi anche negli studenti più preparati... Non sottovalutiamola! ;)

 

Come passare dai gradi ai radianti, e viceversa

 

Sappiamo bene che esistono due tipi di misure degli angoli: i gradi e i radianti, entrambi utilizzati sia nelle applicazioni pratiche (soprattutto il grado) che per le questioni teoriche (principalmente il radiante). Da qui nasce l'esigenza di un metodo che consenta di passare dai gradi ai radianti e viceversa dai radianti ai gradi.

 

Tenete presente che in Goniometria vi capiterà di affrontare misure angolari espresse indifferentemente nell'una e nell'altra forma, quindi saperle gestire e convertire all'occorrenza è estremamente importante per la risoluzione degli esercizi.

 

Siano g^\circ la misura di un angolo espressa in gradi e r^{\mbox{ rad}} la misura dello stesso angolo espressa in radianti. Esse soddisfano la proporzione:

 

g^{\circ}:180^\circ= r^{\mbox{rad}}: \pi^{\mbox{rad}}

 

Da qui possiamo applicare la proprietà fondamentale

 

g^{\circ}\times \pi^{\mbox{rad}}=180^{\circ}\times r^{\mbox{rad}}

 

e, a seconda del dato da ricavare, trattare la precedente uguaglianza come un'equazione per ricavare la misura angolare di nostro interesse. Possiamo così scrivere le seguenti relazioni.

 

Per passare dai radianti ai gradi

 

g^{\circ}\color{black}= \frac{r^{\mbox{ rad}}\color{black}\times 180^{\circ}}{\pi^{\mbox{ rad}}}

 

Per passare dai gradi ai radianti

 

r^{\mbox{ rad}}=\frac{g^{\circ}\color{black}\times \pi^{\mbox{ rad}}}{180^\circ}

 

Attenzione: la formula per la conversione dai gradi ai radianti preve che la misura in gradi sia espressa sotto forma di numero decimale. Di conseguenza per convertire le misure in gradi, primi e secondi, con primi e secondi non nulli, andranno espresse come misura decimale in gradi. In questo senso si può ricorrere alla formula

 

\mbox{misura decimale in gradi}=\mbox{gradi}+\frac{\mbox{primi}}{60}+\frac{\mbox{secondi}}{3600}

 

che deriva direttamente dalla definizione di sistema sessagesimale: 60 secondi formano un primo, 60 primi formano un grado.

 

Esempi di conversione dai gradi ai radianti e dai radianti ai gradi

 

1) Vogliamo esprimere 1 radiante in gradi.

 

Svolgimento: utilizziamo la prima formula

 

\frac{1^{\mbox{rad}}\times 180^\circ}{\pi^{\mbox{rad}}}\simeq 57.2958^\circ

 

A questo punto possiamo esprimere la misura in gradi che abbiamo ottenuto in forma normale (se non ricordate come procedere, date un'occhiata alla lezione sulla misura degli angoli in forma normale e su gradi, primi e secondo).

 

57.2958^\circ\longrightarrow 57^\circ\,\, 17'\,\, 44.8''

 

 

2) Supponiamo ora di voler esprimere in radianti la misura 30^\circ\,\, 15'\,\, 30''.

 

Svolgimento: per prima cosa scriviamo la misura in gradi in forma di numero decimale

 

30^\circ\,\, 15'\,\, 30''= 30^\circ + \left(\frac{15}{60}\right)^\circ+ \left(\frac{30}{3600}\right)^{\circ}= 30.2583^\circ

 

dopodiché utilizziamo la relazione:

 

\frac{30.2583^\circ\times \pi^{\mbox{rad}}}{180^\circ}=0.528107\mbox{ rad}

 

 


 

 

Abbiamo concluso: niente di difficile, vero? :) Nel caso vogliate fare un ripasso potrebbe anche tornarvi utile la lezione sulle operazioni con gli angoli, in caso contrario vi aspettiamo nella lezione successiva, in cui parleremo della circonferenza goniometrica. ;)

 

In caso di necessità potete inoltre servirvi di due comodi tool per passare:

 

- dai gradi ai radianti online

 

- dai radianti ai gradi online

 

Ricordatevi sempre che YouMath è una miniera d'oro per gli studenti e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

Alla prossima, ragazzi!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Lezione successiva


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