Teorema dei seni

Il teorema dei seni è uno dei teoremi della Trigonometria che ci permettono di risolvere i triangoli qualunque. In questa lezione partiremo dall'enunciato, poi ci occuperemo della dimostrazione ed infine vedremo come utilizzare il teorema dei seni per la risoluzione dei problemi di trigonometria. 

 

Teorema dei seni (trigonometria)

 

Dato un triangolo qualsiasi il rapporto tra la misura di un lato ed il seno dell'angolo opposto è costante.

 

 

triangolo qualsiasi trigonomertria

 

 

Ovvero detti a, b e c i tre lati di un triangolo qualsiasi ed indicati con α, β e γ i rispettivi angoli opposti, si ha:

 

\frac{{\color{red}a}}{\sin({\color{red}\alpha})}=\frac{{\color{blue}b}}{\sin({\color{blue}\beta})}=\frac{{\color{DarkGreen}c}}{\sin({\color{DarkGreen}\gamma})}

 

Ora, dal momento che un triangolo è sempre inscrivibile in una circonferenza (il cui centro è il punto di incontro degli assi dei lati del triangolo), possiamo enunciare il teorema dei seni come segue.

 

Enunciato del teorema dei seni: in un triangolo qualsiasi, il rapporto tra un lato ed il seno dell'angolo opposto è costante e coincide con il diametro della circonferenza in cui è inscritto.

 

 

Teorema dei seni

 

Volendo esprimere il teorema dei seni in formule scriveremo:

 

\frac{{\color{red}a}}{\sin({\color{red}\alpha})}=\frac{{\color{blue}b}}{\sin({\color{blue}\beta})}=\frac{{\color{DarkGreen}c}}{\sin({\color{DarkGreen}\gamma})}=2R

 

dove con R indichiamo il raggio della circonferenza in cui è iscritto il triangolo.

 

Dimostrazione del teorema dei seni

 

Per dimostrare il teorema dei seni è sufficiente applicare il teorema della corda ai tre lati, in particolare avremo per il lato a:

 

{\color{red}a}=2R\sin({\color{red}\alpha})

 

da cui, dividendo ambo i membri per sin(α):

 

\frac{{\color{red}a}}{\sin({\color{red}\alpha})}=2R

 

Per il lato b, grazie al teorema della corda la sua misura è data dal prodotto tra il diametro della circonferenza circoscritta ed il seno dell'angolo β che insiste su esso, ovvero 

 

{\color{blue}b}=2R\sin({\color{blue}\beta})

 

Dividendo ambo i membri per sin(β):

 

\frac{{\color{blue}b}}{\sin({\color{blue}\beta})}=2R

 

Ed infine, ripetendo lo stesso ragionamento per il terzo ed ultimo lato c abbiamo:

 

{\color{DarkGreen}c}=2R\sin({\color{DarkGreen}\gamma})

 

Che ci porta, dopo aver diviso ambo i membri per sin(γ) ad avere

 

\frac{{\color{DarkGreen}c}}{\sin({\color{DarkGreen}\gamma})}=2R

 

E questo dimostra il teorema! 

 

Esempi sul teorema dei seni

 

Come abbiamo anticipato all'inizio il teorema dei seni è utile per risolvere i triangoli qualsiasi. In particolare grazie ad esso possiamo:

 

- trovare la misura di un lato conoscendo la misura di un altro lato e l'ampiezza di due angoli;

 

- conoscendo la misura di due lati e l'ampiezza di un angolo trovare l'ampiezza degli altri due angoli;

 

- determinare la lunghezza del raggio o del diametro della circonferenza circoscritta al triangolo una volta nota l'ampiezza di un angolo e la misura del lato opposto.

 

Facciamo un esempio di utilizzo del teorema dei seni.

 

Risolvere un triangolo qualsiasi sapendo che un angolo misura 30°, il lato ad esso opposto misura 2 cm ed uno qualsiasi degli altri due lati è lungo 4 cm.

 

Prendendo come riferimento la figura iniziale sul triangolo qualsiasi supponiamo che 

 

\alpha=30^{\circ}, \ a=2 \ \mbox{cm}, \ b=4 \ \mbox{cm}

 

Risolvere il triangolo vuol dire trovare la misura del terzo lato c e l'ampiezza degli altri due angoli.

 

Grazie al teorema dei seni possiamo affermare che

 

\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}

 

e da tale relazione possiamo ricavare l'ampiezza del lato β. Infatti dividendo ambo i membri per b si ha:

 

\frac{a}{b\sin(\alpha)}=\frac{1}{\sin(\beta)}

 

da cui

 

\sin(\beta)=\frac{b \sin(\alpha)}{a}

 

Essendo a=2 cm, b=4 cm, α=30° e ricordando che il seno di 30 vale 1/2 si ha:

 

\sin(\beta)=\frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{2}=\frac{2}{2}=1

 

Di conseguenza essendo il seno di 90 pari ad 1 abbiamo che \beta=90^{\circ}, ovvero abbiamo a che fare con un triangolo rettangolo.

 

L'ampiezza di γ si può trovare facendo ricorso alla formula sulla somma degli angoli interni di un triangolo, cioè

 

\gamma=180^{\circ} - \alpha - \beta = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}

 

Per trovare invece la misura del lato c possiamo riutilizzare il teorema dei seni mediante la relazione

 

\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}

 

o, visto che il nostro triangolo è rettangolo, far ricorso al teorema di Pitagora.

 

 


 

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Alla prossima!

Salvatore Zungri (A.K.A. Ifrit)

 

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