Teorema dei seni

Il teorema dei seni in Trigonometria stabilisce che in un triangolo qualsiasi il rapporto tra la misura di un lato ed seno dell'angolo opposto ad esso è costante. In altri termini i rapporti tra le lunghezze dei lati ed i seni dei rispettivi angoli opposti sono uguali.

 

Il teorema dei seni è uno dei teoremi della Trigonometria che ci permettono di risolvere un qualsiasi triangolo, ossia fornisce un utile strumento per determinare tutte le caratteristiche e le proprietà geometriche di un triangolo qualsiasi.

 

In questa lezione partiremo dall'enunciato e dalla formula del teorema dei seni, ne forniremo una dimostrazione ed infine vedremo come utilizzarlo per la risoluzione dei problemi goniometrici.

 

Teorema dei seni (trigonometria)

 

Enunciato: dato un triangolo qualsiasi il rapporto tra la misura di un lato ed il seno dell'angolo opposto è costante.

 

Con riferimento alla figura seguente possiamo esprimere il teorema dei seni con la seguente formula:

 

\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}

 

 

Teorema dei seni

 

 

Si noti che nella figura abbiamo usato l'usuale nomenclatura per lati e angoli, chiamando a,b,c i tre lati del ed indicando con \alpha,\beta,\gamma i rispettivi angoli opposti.

 

Enunciato completo del teorema dei seni

 

Dal momento che un triangolo è sempre inscrivibile in una circonferenza (il cui centro è detto circocentro ed è il punto di incontro degli assi dei lati del triangolo), possiamo enunciare il teorema dei seni in una forma equivalente e a ben vedere più esaustiva della precedente.

 

Enunciato equivalente: in un triangolo qualsiasi il rapporto tra un lato ed il seno dell'angolo opposto è costante e coincide con il diametro della circonferenza in cui è inscritto.

 

Volendo esprimere il teorema dei seni in formule, scriveremo

 

\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}=2R

 

dove con R indichiamo il raggio della circonferenza in cui è iscritto il triangolo.

 

 

Teorema dei seni con la circonferenza circoscritta

 

Dimostrazione del teorema dei seni

 

Per dimostrare il teorema dei seni è sufficiente applicare il teorema della corda ai tre lati. Se ad esempio consideriamo il lato a, possiamo scrivere

 

a=2R\sin(\alpha)

 

da cui, dividendo ambo i membri per il seno dell'angolo

 

\frac{a}{\sin(\alpha)}=2R

 

Sempre in forza del teorema della corda la misura del lato b è data dal prodotto tra il diametro della circonferenza circoscritta ed il seno dell'angolo \beta che insiste su di esso, ossia

 

b=2R\sin(\beta)

 

Dividendo ambo i membri per il seno dell'angolo:

 

\frac{b}{\sin(\beta)}=2R

 

Infine, ripetendo lo stesso ragionamento per il terzo ed ultimo lato c, abbiamo

 

c=2R\sin(\gamma)

 

il che ci porta, dopo aver diviso ambo i membri per il seno dell'angolo, ad avere

 

\frac{c}{\sin(\gamma)}=2R

 

Il teorema è così dimostrato.

 

Applicazioni ed esempi sul teorema dei seni

 

Come abbiamo anticipato all'inizio, il teorema dei seni è utile per risolvere qualsiasi triangolo. Nella pratica esso ci consente di:

 

- calcolare la misura di un lato conoscendo la misura di un altro lato e l'ampiezza di due angoli;

 

- determinare l'ampiezza di due angoli conoscendo la misura di due lati e l'ampiezza del terzo angolo;

 

- determinare la lunghezza del raggio o del diametro della circonferenza circoscritta al triangolo una volta nota l'ampiezza di un angolo e la misura del lato opposto.

 

Si noti che, a seconda dei casi, si può sempre partire dalla formula che abbiamo enunciato in precedenza ed effettuare semplici passaggi algebrici per ricavare le formule inverse del teorema dei seni, in modo che esaudire le richieste dei vari problemi.

 

 

Esempio sul teorema dei seni

 

Risolvere il triangolo caratterizzato dalle seguenti proprietà: un angolo misura 30°, il lato opposto ad esso misura 2 centimetri ed uno degli altri due lati è lungo 4 cm.

 

Svolgimento: prendendo come riferimento la figura iniziale sul triangolo, consideriamo i dati forniti dalla traccia del problema

 

\alpha=30^{\circ}, \ a=2 \ \mbox{cm}, \ b=4 \ \mbox{cm}

 

Risolvere il triangolo vuol dire trovare le misure mancanti, nel nostro caso la misura del terzo lato c e l'ampiezza degli altri due angoli. Grazie al teorema dei seni possiamo scrivere

 

\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}

 

e da tale relazione possiamo ricavare l'ampiezza dell'angolo \beta. Infatti, dividendo ambo i membri per b otteniamo

 

\frac{a}{b\sin(\alpha)}=\frac{1}{\sin(\beta)}

 

da cui passando al reciproco di entrambi i membri

 

\sin(\beta)=\frac{b \sin(\alpha)}{a}

 

Sostituendo i dati in nostro possesso e ricordando che il seno di 30° vale 1/2, si ha:

 

\sin(\beta)=\frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{2}=\frac{2}{2}=1

 

Essendo il seno di 90 pari ad 1 ne deduciamo che \beta=90^{\circ}, ossia abbiamo a che fare con un triangolo rettangolo.

 

L'ampiezza dell'angolo \gamma si può calcolare facendo ricorso alla formula sulla somma degli angoli interni di un triangolo:

 

\gamma=180^{\circ} - \alpha - \beta = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}

 

Per individuare la misura del lato c possiamo riutilizzare il teorema dei seni mediante la relazione

 

\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}

 

o, visto che il triangolo in esame è rettangolo, far ricorso alla formula del teorema di Pitagora.

 

 


 

Con questo è tutto. Nelle lezioni successive affronteremo il teorema del coseno ed il teorema delle proiezioni, ulteriori risultati geometrico-trigonometrici che possono risultare utili nella discussione dei problemi geometrici. Come di consueto vi invitiamo a usare la barra di ricerca interna per consultare tutti gli esercizi svolti di vostro interesse. ;)

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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