Teorema della corda

In questa lezione ci occuperemo del teorema della corda, da cui discende un teorema fondamentale della trigonometria: il teorema dei seni

 

Teorema della corda (trigonometria)

 

Enunciato: in una circonferenza, la misura di una corda è data dal prodotto della misura del diametro per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda.

 

In formule:

  

\overline{AB}= 2r\sin(\color{blue}\theta\color{black})

 

 

Dimostrazione del teorema della corda

 

Teorema della corda

 

 

Disegniamo una circonferenza di raggio generico r e sia \overline{AB} la corda che vogliamo determinare. Sia C il punto diametralmente opposto ad A. Il triangolo ABC è un triangolo rettangolo in B perché è un triangolo inscritto in una semicirconferenza.

 

Per il primo teorema dei triangoli rettangoli applicato al triangolo ABC scopriamo che:

  

\begin{matrix}\overline{AB}&=&\overline{AC}\sin(\color{blue}\theta\color{black})\\ \\ &=& 2r \sin(\color{blue}\theta\color{black})\end{matrix}

  

Ricordando ora che tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco sono uguali, abbiamo quasi la tesi; il quasi è dovuto al fatto che la dimostrazione che abbiamo proposto vale solo per gli angoli che insistono sull'arco rosso, dobbiamo mostrarlo anche per l'arco blu.

 

Consideriamo un punto D che giace sull'arco più piccolo (in blu) che congiunge i punti A e B, sia inoltre E il punto diametralmente opposto a D, si ha che il quadrilatero ADBE è inscritto nella circonferenza, conseguentemente gli angoli diametralmente opposti sono angoli supplementari, cioè la loro somma è \pi.

 

L'angolo in E vale \color{blue}\theta, perché congruo all'angolo in C, allora l'angolo in D è \color{red}\pi-\theta e per le proprietà del seno abbiamo che:

 

\sin(\color{red}\pi-\theta\color{black})= \sin(\color{blue}\theta\color{black})

 

Ora abbiamo ottenuto la tesi! :)

 

CVD


A che serve il teorema della corda?

 

Il teorema della corda ha notevoli conseguenze teoriche, tra cui spicca il teorema dei seni, che affronteremo nella prossima lezione. Implicitamente abbiamo anche dimostrato che ogni triangolo è inscrivibile in una circonferenza di raggio r! :) 

 

 


 

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Ifrit

 

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