Teorema della corda

Il teorema della corda in Trigonometria fornisce una relazione per la misura di una corda in una circonferenza, e stabilisce che la lunghezza di una corda è data dal prodotto tra la misura del diametro e il seno di uno degli angoli che insistono sulla corda.

 

In questa lezione ci occuperemo del teorema della corda, proponendone l'enunciato, la relativa dimostrazione e commentandone l'utilità teorica e pratica.

 

Vi anticipiamo che si tratta di un risultato della Trigonometria fondamentale per ricavare ulteriori teoremi relativi ai triangoli. Come vedremo nelle lezioni successive, esso ci permetterà di dimostrare il teorema dei seni.

 

Teorema della corda (trigonometria)

 

Enunciato: in una circonferenza la misura di una corda è data dal prodotto della misura del diametro per il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste sulla corda.

 

In una formula:

 

\overline{AB}= 2r\sin(\theta)

 

Dimostrazione del teorema della corda

 

Per dimostrare il teorema della corda disegniamo una circonferenza di raggio generico r e sia \overline{AB} la corda di cui vogliamo determinare la lunghezza. Sia C il punto diametralmente opposto ad A.

 

 

Teorema della corda

 

 

Innanzitutto osserviamo che il triangolo ABC è un triangolo rettangolo in B, perché è un triangolo inscritto in una semicirconferenza.

 

Per il primo teorema trigonometrico dei triangoli rettangoli applicato al triangolo ABC risulta che:

 

\begin{matrix}\overline{AB}&=&\overline{AC}\sin(\theta)\\ \\ &=& 2r \sin(\theta)\end{matrix}

 

Ricordando ora che tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco sono uguali (cfr angoli alla circonferenza), siamo a un passo dalla tesi. La dimostrazione che abbiamo proposto vale solo per gli angoli che insistono sull'arco blu, ma per concludere la dimostrazione dobbiamo provare la tesi anche per gli angoli che insistono sull'arco rosso.

 

Consideriamo un punto D che giace sull'arco più piccolo (in blu) che congiunge i punti A e B, e sia E il punto diametralmente opposto a D. Il quadrilatero ADBE è inscritto nella circonferenza, conseguentemente gli angoli diametralmente opposti sono angoli supplementari, cioè la loro somma è \pi.

 

L'angolo in E vale \theta perché congruente all'angolo in C, per cui l'angolo in D ha ampiezza pari a \pi-\theta. Per le formule degli archi associati sappiamo che:

 

\sin(\pi-\theta)= \sin(\theta)

 

In conclusione la formula che abbiamo ricavato per l'angolo in E vale anche per l'angolo in D. Possiamo calcolare la misura della corda come prodotto della misura del diametro per il seno di un qualsiasi angolo che insiste sulla corda. La scelta dell'angolo è indifferente, e la tesi è dimostrata.

 

A cosa serve il teorema della corda?

 

Il teorema della corda ha notevoli conseguenze teoriche, tra cui spicca il teorema dei seni che affronteremo nella prossima lezione. Dal punto di vista pratico si rivela utile nella risoluzione e nella discussione dei problemi geometrici tipici della seconda prova di Matematica, oltre che in numerose dimostrazioni di teoremi in Matematica e in Fisica.

 

È importante osservare che, nel dimostrare il teorema della corda, implicitamente abbiamo anche dimostrato che ogni triangolo è inscrivibile in una circonferenza di raggio r.

 

 


 

Se volete esercitarvi vi rimandiamo alla scheda correlata di esercizi risolti. Più in generale non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di problemi e di esercizi svolti, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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