Teorema del coseno

Il teorema del coseno, o teorema di Carnot in Trigonometria, consiste in una formula per calcolare la misura di un lato di un triangolo qualsiasi a partire dalle misure degli altri due lati e dal coseno dell'angolo tra essi compreso.

 

Il teorema del coseno o di Carnot è un teorema fondamentale della Trigonometria che permette di risolvere un qualsiasi triangolo. In questa lezione ne forniremo l'enunciato e ne daremo la dimostrazione.

 

Vedremo infine quando e come utilizzare la formula del teorema di Carnot per la risoluzione dei triangoli.

 

Teorema del coseno (o teorema di Carnot)

 

Enunciato: in un triangolo qualsiasi il quadrato della misura di un lato è dato dalla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, meno il loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell'angolo tra essi compreso. 

 

Ebbene, l'enunciato del teorema di Carnot potrebbe sembrare un po' ingarbugliato. In realtà è molto più semplice di quanto sembri: vi suggeriamo di fare riferimento alla seguente figura e di capire la logica del teorema. In questo modo non avrete problemi a ricordarne la tesi e potrete ricavare la formula del teorema del coseno in un attimo, ogniqualvolta vi serva.

 

Disegniamo un triangolo qualsiasi e adottiamo la solita nomenclatura per lati e angoli

 

 

Teorema del coseno

 

 

Il precedente enunciato si traduce in tre formule del teorema di Carnot, una per ciascuno dei tre lati del triangolo.

 

Fissiamo la nostra attenzione sul lato a. Il teorema di Carnot ci dice che il quadrato di tale lato (a^2) è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati (b^2+c^2) a cui va sottratto il loro doppio prodotto (2bc) moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso tra essi \sin(\alpha). Pertanto applicando il teorema del coseno al lato a risulta che

 

a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)

 

Ripetendo lo stesso ragionamento possiamo scrivere una formulazione del teorema del coseno anche per gli altri due lati del triangolo: per il lato b, tenendo conto che \beta è l'angolo compreso tra i lati a,c

 

b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\beta)

 

e per il lato c, tenendo presente che \gamma è l'angolo compreso tra i lati a,b

 

c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)

 

Dimostrazione del teorema del coseno

 

Proponiamoci ora di dimostrare il teorema di Carnot e per farlo vediamo come ricavare la formula relativa al lato a. Dalla generalità del ragionamento seguirà la validità dell'enunciato per ognuno dei lati del triangolo.

 

a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)

 

Disegniamo un triangolo ABC e tracciamo l'altezza relativa al lato b.

 

 

Dimostrazione teorema del coseno

 

 

Prendiamo in considerazione il triangolo rettangolo ABD e utilizziamo su di esso i teoremi goniometrici sui triangoli rettangoli, grazie ai quali possiamo esprimere:

 

- il lato BD in funzione dell'angolo α e del lato AB: 

 

BD=AB\sin(\alpha)

 

da cui si vede che il cateto BD è dato dal prodotto tra l'ipotenusa AB ed il seno dell'angolo opposto.

 

- Il lato AD in funzione di AB e del coseno di α

 

AD = AB \cos(\alpha)

 

in quanto in un triangolo rettangolo (nel nostro caso ABD) un cateto (AD) è uguale al prodotto tra l'ipotenusa (AB) e il coseno dell'angolo adiacente (α).

 

Ora, per costruzione, il lato DC è dato dalla differenza tra AC e AD, ovvero

 

DC= AC- AD

 

Sostituiamo in tale relazione l'espressione di AD scritta in precedenza

 

DC= AC-AD= AC- AB\cos(\alpha) 

 

Applichiamo ora il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo BCD

 

BC^2= DC^2+BD^2

 

e sostituiamo:

 

\\ DC\mbox{ con }DC=AC- AB\cos(\alpha)\\ \\ AD\mbox{ con }AD = AB \cos(\alpha)

 

Così facendo ricaviamo

 

BC^2=[AC-AB\cos(\alpha)]^2+AB^2\sin^2(\alpha)

 

Non ci resta che sviluppare il quadrato di binomio

 

BC^2 = AC^2+AB^2\cos^2(\alpha)-2AC\cdot AB\cos(\alpha)+ AB^2 \sin^2(\alpha)

 

raccogliere a fattor comune il termine AB2

 

BC^2=AC^2+AB^2[\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)]-2AC\cdot AB \cos(\alpha)

 

Infine, per la relazione fondamentale della trigonometria, giungiamo a scrivere

 

BC^2=AC^2+AB^2-2AC\cdot AB \cos(\alpha)

 

Abbiamo finito. Rinominando AB=c, \ \ BC= a, \ \ AC=b riusciamo a scrivere la precedente relazione nella forma

 

a^2= b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)

 

che è ciò che volevamo dimostrare.

 

 

Osservazioni sul teorema del coseno

 

1) Il teorema di Carnot può essere dimostrato anche con il teorema delle proiezioni , di cui ci occuperemo nella prossima lezione. Dopo averlo studiato sarebbe didatticamente interessante che voi provaste a proporre un'opportuna dimostrazione da soli.

 

2) Il teorema del coseno non è altro che una generalizzazione del teorema di Pitagora applicabile ai triangoli qualsiasi. Supponendo infatti che α sia un angolo retto, per tale teorema abbiamo

 

a^2= b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)

 

Essendo il coseno di 90° uguale a zero, ricadiamo proprio nella formulazione del teorema di Pitagora

 

a^2= b^2+c^2

 

infatti il lato a, essendo quello opposto all'angolo retto, è proprio l'ipotenusa e gli altri due lati b e c saranno quindi i cateti.

 

Utilizzo del teorema del coseno

 

Il teorema del coseno è utile per risolvere i triangoli qualsiasi nei seguenti casi:

 

- se si conosce la misura di due lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso

 

- se è nota la misura dei tre lati del triangolo.

 

Vi facciamo notare che non ha senso scrivere esplicitamente alcuna delle formule inverse del teorema di Carnot, dal momento che sarebbero inutilmente complicate nella loro generalità. È molto più conveniente ricordare la formulazione generale del teorema e svolgere di volta in volta i passaggi algebrici necessari per raggiungere i risultati richiesti dai problemi. ;)

 

 

Esempio di applicazione del teorema del coseno

 

Sapendo che due lati di un triangolo misurano 5 e 8 centimetri, e sapendo che l'angolo tra essi compreso è ampio 60°, calcolare la misura del terzo lato.

 

Svolgimento: facendo riferimento alla figura del triangolo iniziale, supponiamo che siano

 

a=5 \ \mbox{cm}, \ b=8 \ \mbox{cm}, \ \gamma=60^{\circ}.

 

Grazie al teorema di Carnot possiamo trovare immediatamente la misura del lato c

 

c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)=5^2+8^2-2\cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^{\circ})

 

Ricordando che il coseno di 60° vale 1/2 (valori delle funzioni trigonometriche) e facendo qualche conticino, abbiamo

 

c^2=25+64-80\cdot \frac{1}{2} = 25+64-40=49

 

la cui radice quadrata è uguale a 7, per cui c=7\ cm.

 

 


 

Concludiamo la lezione con una curiosità per gli studenti universitari: il teorema di Carnot ha tanti importanti utilizzi e tra questi, nel contesto dei vettori, risulta utile nell'applicazione della regola del parallelogramma e del metodo punta-coda.

 

Siamo quasi giunti al termine con le lezioni di Trigonometria. La successiva sarà interamente dedicata al teorema delle proiezioni e riguarderà un ultimo, importante risultato teorico utile per la risoluzione dei problemi geometrici (tipici della seconda prova di Matematica). Se volete esercitarvi vi raccomandiamo la scheda correlata di esercizi svolti, e più in generale vi ricordiamo che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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