Teorema del coseno

Il teorema del coseno o di Carnot è un teorema fondamentale della Trigonometria che permette di risolvere un qualsiasi triangolo. In questa lezione lo enunceremo, lo tradurremo in formule e ne daremo la dimostrazione, infine vedremo quando e come utilizzare il teorema di Carnot per la risoluzione dei triangoli.

 

Teorema del coseno (o teorema di Carnot)

 

Enunciato: in un triangolo qualsiasi, il quadrato di un lato è dato dalla somma dei quadrati degli altri lati meno il loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell'angolo ad essi compreso. 

 

Cerchiamo ora di esprimerlo in formule. Disegniamoci un triangolo qualsiasi

 

 

Triangolo per la trigonometria

 

 

e fissiamo la nostra attenzione su uno dei tre lati, ad esempio a. Il teorema di Carnot ci dice che il quadrato di questo lato (a2) è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati (b2 + c2) a cui va sottratto il doppio prodotto tra questi (2bc) moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso (che è α). Pertanto applicando il teorema del coseno al lato a abbiamo:

 

a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)

 

Ripetendo lo stesso discorso possiamo scrivere una formulazione del teorema del coseno anche per gli altri due lati del triangolo:

 

b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\beta)

 

(in quanto β è l'angolo compreso tra i lati a e c)

 

c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)

 

(essendo γ l'angolo compreso tra i lati a e b)

 

Dimostrazione del teorema del coseno

 

Proponiamoci ora di dimostrare la seguente formula:

 

a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha).

 

Per le altre si procederà in modo analogo. 

 

Disegniamoci un triangolo qualunque ABC e tracciamo l'altezza relativa al lato b.

 

 

Triangolo per il teorema di Carnot

 

 

Prendiamo in considerazione il triangolo rettangolo ABD e utilizziamo su di esso i teoremi goniometrici sui triangoli rettangoli, possiamo esprimere:

 

- il lato BD in funzione dell'angolo α e del lato AB: 

 

BD=AB\sin(\alpha)

 

ovvero il cateto BD è dato dal prodotto tra l'ipotenusa AB ed il seno dell'angolo opposto.

 

- Il lato AD in funzione di AB e del coseno di α

 

AD = AB \cos(\alpha)

 

in quanto in un triangolo rettangolo (nel nostro caso ABD) un cateto (AD) è uguale al prodotto tra l'ipotenusa (AB) ed il coseno dell'angolo adiacente (α).

 

Ora, per costruzione, il lato DC è dato dalla differenza tra AC e AD, ovvero

 

DC= AC- AD

 

Andando a sostituire, in questa relazione, il valore di AD precedentemente trovato abbiamo

 

DC= AC-AD= AC- AB\cos(\alpha) 

 

Applichiamo ora il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo BCD:

 

BC^2= DC^2+BD^2

 

Sostituendo DC con DC=AC- AB\cos(\alpha)

 

e AD con AD = AB \cos(\alpha)

 

vien fuori

 

BC^2=[AC-AB\cos(\alpha)]^2+AB^2\sin^2(\alpha)

 

Sviluppando il quadrato di binomio si ha

 

BC^2 = AC^2+AB^2\cos^2(\alpha)-2AC\cdot AB\cos(\alpha)+ AB^2 \sin^2(\alpha)

 

Raccogliendo a fattor comune il termine AB2 ci riconduciamo ad avere

 

BC^2=AC^2+AB^2[\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)]-2AC\cdot AB \cos(\alpha)

 

Infine, per la relazione fondamentale della trigonometria abbiamo

 

BC^2=AC^2+AB^2-2AC\cdot AB \cos(\alpha)

 

Ora rinominiamo AB, BC, AC come segue:

 

AB=c, \ \ BC= a, \ \ AC=b

 

La relazione

 

BC^2=AC^2+AB^2-2AC\cdot AB \cos(\alpha)

 

si riscrive come:

 

a^2= b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)

 

che è ciò che volevamo dimostrare.

 

CVD

 

 

Osservazioni 

 

1) Il teorema di Carnot può essere dimostrato anche con il teorema delle proiezioni (che implicitamente abbiamo invocato). Sarebbe didatticamente interessante che voi provaste a proporre un'opportuna dimostrazione da soli!

 

2) Il teorema del coseno altro non è se non una generalizzazione del teorema di Pitagora applicabile ai triangoli qualsiasi. Supponendo infatti che α sia un angolo retto, per tale teorema abbiamo

 

a^2= b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)

 

Essendo il coseno di 90 uguale a zero ricadiamo proprio nella formulazione del teorema di Pitagora

 

a^2= b^2+c^2

 

Infatti il lato a, essendo quello opposto all'angolo retto, è proprio l'ipotenusa e gli altri due lati b e c saranno quindi i cateti.

 

Utilizzo del teorema del coseno

 

Il teorema del coseno è utile per risolvere i triangoli qualsiasi quando:

 

- si conosce la misura di due lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso, oppure

 

- è nota la misura dei tre lati del triangolo.

 

Vediamo un esempio di applicazione del teorema del coseno.

 

Sapendo che due lati di un triangolo misurano 5 cm e 8 cm e sapendo che l'angolo tra essi compreso è ampio 60°, trova la misura del terzo lato.

 

Facendo riferimento alla figura del triangolo iniziale, supponiamo che siano

 

a=5 \ \mbox{cm}, \ b=8 \ \mbox{cm}, \ \gamma=60^{\circ}.

 

Grazie al teorema di Carnot possiamo trovare immediatamente la misura del lato c:

 

c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)=5^2+8^2-2\cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^{\circ})

 

Ricordando che il coseno di 60 vale 1/2 e facendo qualche conticino, abbiamo

 

c^2=25+64-80\cdot \frac{1}{2} = 25+64-40=49

 

la cui radice quadrata è uguale a 7, ragion per cui c=7 cm.

 

 


 

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Alla prossima

Salvatore Zungri (A.K.A Ifrit)

 

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