Teorema delle proiezioni

Dopo aver visto come calcolare l'area di un triangolo generico, ci avventureremo in un nuovo argomento: teorema delle proiezioni. Esso ci permetterà di esprimere un lato in funzione degli altri due e degli angoli adiacenti al primo.

 

Teorema delle proiezioni


Enunciato: in un triangolo qualsiasi, ogni lato è somma dei prodotti tra ciascuno degli altri lati per il coseno dell'angolo che essi formano con il primo.

 

Triangolo qualsiasi per teorema delle proiezioni

 

Traduciamo in matematichese il teorema:

  

\begin{matrix}\color{red}a\color{black}&=&\color{blue}b\color{black}\cos(\color{green}\gamma\color{black})+\color{green}c\color{black}\cos(\color{blue}\beta\color{black})\\ \\ \color{blue}b\color{black}&=&\color{red}a\color{black}\cos(\color{green}\gamma\color{black})+\color{green}c\color{black}\cos(\color{red}\alpha\color{black})\\ \\ \color{green}c\color{black}&=& \color{blue}b\color{black}\cos(\color{red}\alpha\color{black})+\color{red}a\color{black}\cos(\color{blue}\beta\color{black})\end{matrix}

  

La dimostrazione avverrà in due tempi, nella prima lavoreremo con un triangolo acutangolo, nella seconda lavoremo con un triangolo ottusangolo.

 

 

Dimostrazione del teorema delle proiezioni per un triangolo acutangolo

 

Consideriamo il triangolo ABC, e tracciamo il segmento BD, altezza relativa al lato AB. 

 

triangolo-qualsiasi-trigonometria

 

Possiamo osservare che il piede dell'altezza suddivide il segmento AC in due parti, rispettivamente AD e DC. Possiamo inoltre scrivere AC come somma di questi segmenti: AC= AD+DC. 

 

Lavoriamo ora con i triangoli rettangoli ABD e BDC, entrambi retti in D. Per i teoremi sul triangolo rettangolo scopriamo che 

  

\begin{matrix}\mbox{AD}&=&\mbox{ AB}\cos(\color{red}\alpha\color{black})\\ \\ \mbox{DC}&=& \mbox{BC}\color{black}\cos(\color{green}\gamma\color{black})\end{matrix}

  

Sommando membro a membro le due uguaglianze:

  

\mbox{AC}=\mbox{AD}+\mbox{DC}=\mbox{ AB}\cos(\color{red}\alpha\color{black})+\mbox{BC}\color{black}\cos(\color{green}\gamma\color{black})

 

Poniamo \color{red}a\color{black}=\mbox{BC}, \color{blue}b\color{black}=\mbox{ AC}, \color{green}c\color{black} =\mbox{AB} allora l'espressione

 

\mbox{AC}=\mbox{AD}+\mbox{DC}=\mbox{ AB}\cos(\color{red}\alpha\color{black})+\mbox{BC}\color{black}\cos(\color{green}\gamma\color{black})

 

diventa

 

\color{blue}b\color{black}=\color{red}a\color{black}\cos(\color{green}\gamma\color{black})+\color{green}c\color{black}\cos(\color{red}\alpha\color{black})

  

Abbiamo dimostrato la seconda formula, per le altre, la dimostrazione è pressoché identica! :)

 

 

Dimostrazione del teorema delle proiezioni per un triangolo ottusangolo

 

Consideriamo il triangolo ABC come in figura: 

 

Triangolo ottusangolo per il teorema delle proiezioni

 

 

Per costruzione il triangolo ABD è un triangolo rettangolo in D, e per il teorema sui triangoli rettangoli avremo che:

  

\mbox{AD}= \mbox{AB}\cos(\color{red}\alpha\color{black})

 

Concentriamoci, ora sul triangolo rettangolo CDB. Per il teorema sui triangoli rettangoli possiamo scrivere:

  

\mbox{CD}=\mbox{ BC}\cos(\pi-\gamma)=- \mbox{BC}\cos(\color{green}\gamma\color{black})

 

Di conseguenza:

  

\mbox{AC}= AD-CD=AB\cos(\color{red}\alpha\color{black})-(-\mbox{BC}\cos(\color{green}\gamma\color{black}))

 

Cambiando in modo opportuno il segno e ribattezzando i nomi dei lati come segue:

  

 \color{red}a\color{black}=\mbox{BC}, \color{blue}b\color{black}=\mbox{ AC}, \color{green}c\color{black} =\mbox{AB}

 

 abbiamo la tesi:

 

\color{blue}b\color{black}= \color{green}c\color{black}\cos(\color{red}\alpha\color{black})+\color{red}a\color{black}\cos(\color{green}\gamma\color{black})

 

CVD

 

Ci rendiamo conto che sembra difficile imparare le formule, ma se ci facciamo furbi e riusciamo a tradurre dall' "italiano al matematichese" saremo in grado di ricordarle tutte semplicemente imparando l'enunciato! Figo no?! Laughing

 

 


 

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Ifrit

 

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Tags: teorema delle proiezioni per triangoli acutangoli e per triangoli ottusangoli.

 

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