Teorema delle proiezioni

Il teorema delle proiezioni, in Trigonometria, è un teorema che fornisce una formula per il calcolo della misura di un qualsiasi lato di un triangolo, esprimendola come somma tra i prodotti degli altri due lati per i coseni dei rispettivi angoli adiacenti al primo lato.

 

Dpo aver studiato il teorema dei seni ed il teorema del coseno ci avventuriamo in un nuovo argomento: il teorema delle proiezioni. Esso ci permetterà di esprimere un lato in funzione degli altri due e degli angoli adiacenti al primo.

 

Qui di seguito proponiamo l'enunciato, la formula del teorema delle proiezioni e la relativa dimostrazione. Cominciamo. :)

 

Teorema delle proiezioni

 

Enunciato: in un triangolo qualsiasi ogni lato è somma dei prodotti tra ciascuno degli altri lati per il coseno dell'angolo che essi formano con il primo.

 

 

Teorema delle proiezioni

 

 

Traduciamo il teorema delle proiezioni in formule:

 

\\ a=b\cos(\gamma)+c\cos(\beta)\\ \\ b=a\cos(\gamma)+c\cos(\alpha)\\ \\ c=b\cos(\alpha)+a\cos(\beta)

 

Dimostrazione del teorema delle proiezioni

 

La dimostrazione del teorema delle proiezioni consiste di due parti: nella prima lavoreremo con un triangolo acutangolo, nella seconda lavoremo con un triangolo ottusangolo.

 

 

Dimostrazione del teorema delle proiezioni per un triangolo acutangolo

 

Consideriamo il triangolo ABC, e tracciamo il segmento BD, altezza relativa al lato AB. 

 

 

Teorema delle proiezioni per un triangolo acutangolo

 

 

Possiamo osservare che il piede dell'altezza suddivide il segmento AC in due parti, rispettivamente AD e DC. Possiamo inoltre scrivere AC come somma di questi segmenti:

 

AC=AD+DC

 

Lavoriamo ora con i triangoli rettangoli ABD e BDC, entrambi retti in D. Per i teoremi sul triangolo rettangolo scopriamo che 

 

\\ \mbox{AD}=\mbox{AB}\cos(\alpha)\\ \\ \mbox{DC}=\mbox{BC}\cos(\gamma)

 

Sommando membro a membro le due uguaglianze:

  

\mbox{AC}=\mbox{AD}+\mbox{DC}=\mbox{AB}\cos(\alpha)+\mbox{BC}\cos(\gamma)

 

Poniamo a=\mbox{BC},\ b=\mbox{ AC},\ c =\mbox{AB}. Con queste notazioni la precedente espressione diventa

 

\mbox{AC}=\mbox{AD}+\mbox{DC}=\mbox{AB}\cos(\alpha)+\mbox{BC}\cos(\gamma)

 

diventa

 

b=a\cos(\gamma)+c\cos(\alpha)

 

Abbiamo dimostrato la seconda formula. Per le altre due vale una dimostrazione del tutto analoga.

 

 

Dimostrazione del teorema delle proiezioni per un triangolo ottusangolo

 

Consideriamo il triangolo ABC come in figura: 

 

 

Teorema delle proiezioni per un triangolo ottusangolo

 

 

Per costruzione il triangolo ABD è un triangolo rettangolo in D, e per il teorema sui triangoli rettangoli avremo che:

 

\mbox{AD}= \mbox{AB}\cos(\alpha)

 

Concentriamoci, ora sul triangolo rettangolo CDB. Per il teorema sui triangoli rettangoli possiamo scrivere:

 

\mbox{CD}=\mbox{ BC}\cos(\pi-\gamma)=- \mbox{BC}\cos(\gamma)

 

Di conseguenza:

 

\mbox{AC}= AD-CD=AB\cos(\alpha)-(-\mbox{BC}\cos(\gamma))

 

Cambiando in modo opportuno il segno e ribattezzando i nomi dei lati come segue: a=\mbox{BC},\ b=\mbox{ AC},\ c =\mbox{AB} abbiamo la tesi:

 

b= c\cos(\alpha)+a\cos(\gamma)

 

Osservazioni sul teorema delle proiezioni

 

Ci rendiamo conto che le formule del teorema delle proiezioni possano essere difficili da ricordare, e anche che l'enunciato possa risultare impegnativo ad una prima lettura. Come al solito vi consigliamo di fare appello alla vostra furbizia: l'importante è comprendere l'idea alla base del teorema, aiutandosi con le figure, per poi tradurre l'idea passando dal concetto alle formule. In questo modo tutto risulterà più semplice. ;)

 

Riguardo alle applicazioni del teorema delle proiezioni menzioniamo le sempreverdi discussioni di problemi geometrici, tipiche della seconda prova di Matematica, e un discreto numero di applicazioni teoriche in Matematica e in Fisica con particolare riferimento all'uso nelle dimostrazioni.

 

 


 

Nella lezione successiva chiudiamo la sezione di Trigonometria con un importante riepilogo su funzioni goniometriche e inverse goniometriche. Qui abbiamo finito: non perdetevi la scheda correlata di esercizi svolti e per qualsiasi necessità usate pure la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;) 

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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Tags: teorema delle proiezioni per triangoli acutangoli e per triangoli ottusangoli.

 

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