Formula per l'area di un triangolo qualsiasi

L'area di un triangolo qualsiasi può essere calcolata con una semplice formula trigonometrica, mediante il prodotto tra le misure di due lati consecutivi per il seno dell'angolo tra essi compresi, il tutto fratto 2. 

 

Lo studio della Trigonometria e tutti gli argomenti trattati fin qui hanno una semplice e importante applicazione: ci consentono infatti di scrivere una semplice formula per l'area di un triangolo qualsiasi.

 

Come vedremo tra poco è possibile usare la Trigonometria per calcolare l'area di un triangolo mediante le lunghezze dei lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso.

 

Area di un triangolo qualsiasi con la Trigonometria

 

Questa lezione sarà brevissima, ma prima di procedere è opportuno fare una premessa. Nel formulario sul triangolo qualsiasi abbiamo elencato tantissime formule, e tra queste anche alcune formule per il calcolo dell'area.

 

Tra le varie formule per l'area del triangolo abbiamo diverse formule specifiche, come ad esempio nel caso di un triangolo rettangolo, un triangolo isoscele o un triangolo equilatero.

 

Fino ad ora per il caso generale abbiamo potuto fare affidamento solamente alla formula di Erone: molto utile in diversi casi, ma non così agevole perché prevede ci disporre delle misure dei tre lati del triangolo.

 

Poco male: la Trigonometria viene in nostro soccorso e ci permette di ricavare una comoda formula per l'area di un triangolo qualsiasi, che ci aiuterà in tantissimi esercizi e applicazioni teoriche.

 

Enunciato: in un triangolo qualsiasi l'area è data dal prodotto della lunghezza di due lati per il seno dell'angolo tra essi compreso, il tutto fratto due.

 

 

Area di un triangolo qualsiasi per la Trigonometria

 

 

In riferimento alla figura possiamo scrivere le seguenti formule:

 

\\ A_{\mbox{Triangolo}}=\frac{b\cdot c \sin(\alpha)}{2}\\ \\ \\ A_{\mbox{Triangolo}}=\frac{a\cdot b\sin(\gamma)}{2}\\ \\ \\ A_{\mbox{Triangolo}}=\frac{a\cdot c \sin(\beta) }{2}

 

All'occorrenza queste relazioni possono essere usate negli esercizi per ricavare le relative formule inverse, effettuando semplici passaggi algebrici. Non sottovalutatele: vi saranno particolarmente utili nella risoluzione dei problemi geometrici, tipici tra l'altro della seconda prova di Matematica. ;)

 

Esempi sulla formula per l'area di un triangolo qualsiasi

 

1) Calcolare l'area di un triangolo equilatero con \ell=3.

 

Svolgimento: prima procediamo con la formula per l'area del triangolo equilatero

 

A=\frac{\sqrt{3}}{4}\ell^2=\frac{9\sqrt{3}}{4} 

 

Se decidiamo di usare la formula per l'area di un triangolo qualsiasi, abbiamo

 

A=\frac{1}{2}\cdot\ell\cdot \ell\cdot\sin(60^o)=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}

 

Come potete notare è importante conoscere i valori delle funzioni goniometriche in corrispondenza degli angoli notevoli. In questo esempio è palesemente più comoda la prima formula che abbiamo utilizzato.

 

 

2) Calcolare l'area del triangolo scaleno con lati a=3,\ b=3\sqrt{3}\ c=6 e angolo compreso tra b\mbox{ e }c dato da \alpha=30^o.

 

Svolgimento: proviamo con la formula di Erone. Ci serve il semiperimetro p

 

p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}+1)

 

e quindi...

 

\\ S=\sqrt{p\cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}=\\ \\ \\ =\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}+1)\cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}+1)-3\right)\cdot\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}+1)-3\sqrt{3}\right)\cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}+1)-6\right)}

 

e quindi, niente. I conti non sono difficili, ma inutilmente faticosi. Onestamente chi avrebbe voglia di fare un calcolo del genere? ;)

 

Fortunatamente disponiamo di una validissima alternativa:

 

S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin(\alpha)=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{3}\cdot 6\cdot \sin(30^o)=\frac{9\sqrt{3}}{2}

 

Dimostrazione della formula per l'area di un triangolo qualsiasi

 

La dimostrazione della formula per l'area di un triangolo qualsiasi è abbastanza semplice. Per prima cosa ricordiamo che l'area di un triangolo generico si trova moltiplicando la misura della base per la misura dell'altezza diviso 2.

 

Consideriamo un triangolo ABC come in figura. Tracciamo l'altezza relativa alla base AB e chiamiamola h. Il triangolo ADB è un triangolo rettangolo e, grazie ai teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli, avremo che: 

 

h= c \sin(\alpha) 

 

A questo punto utilizziamo la formula dell'area e sostituiamo la precedente espressione 

 

\\ A_{\mbox{Triangolo}}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{b\cdot c\sin(\alpha)}{2}

 

Abbiamo così dimostrato la prima formula.

 

Per capire come ricavare la seconda espressione è sufficiente considerare il triangolo DBC, che è appunto rettangolo, e grazie ad uno dei teoremi goniometrici sui triangoli rettangoli risulta che:

 

h= a\sin(\gamma) 

 

e conseguentemente  

 

A_{\mbox{Triangolo}}= \frac{b\cdot a\sin(\gamma)}{2} 

 

Per dimostrare l'ultima formula è sufficiente prendere come base il lato c e costruirne l'altezza relativa ad esso. In questo modo otteniamo un triangolo rettangolo sul quale possiamo applicare i teoremi goniometrici sui triangoli rettangoli, ottenendo:

 

A_{\mbox{Triangolo}}= \frac{c\cdot a \sin(\beta)}{2} 

 

 


 

Fine! Nella lezione successiva ci occuperemo del teorema della corda. Come al solito, se siete in cerca di problemi risolti o di esercizi potete usare la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti nel dettaglio, e non solo: c'è anche un comodo tool per l'area del triangolo online. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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