Formula per l'area di un triangolo qualsiasi

Grazie alle principali formule della Trigonometria possiamo determinare l'area di un triangolo qualsiasi in funzione dei lati e dell'angolo compreso!

 

Area di un triangolo qualsiasi con la Trigonometria

 

Enunciato: in un triangolo qualsiasi, l'area è data dal prodotto della lunghezza di due lati per il seno dell'angolo compreso tra di essi, il tutto fratto due.

 

Prendendo in considerazione la figura:

 

Triangolo qualsiasi per la Trigonometria

 

Possiamo scrivere le formule:

 

\begin{matrix}A_{\mbox{Triangolo}}&=&\displaystyle \frac{\color{blue}b\color{black}\cdot\color{green} c\color{black} \sin(\color{red}\alpha\color{black} )}{2}\\ \\A_{\mbox{Triangolo}}&=&\displaystyle\frac{\color{red}a\cdot\color{blue}b\color{black}\sin(\color{green}\gamma\color{black})}{2}\\ \\ A_{\mbox{Triangolo}}&=&\displaystyle\frac{\color{red}a\color{black}\cdot\color{green}c \color{black}\sin(\color{blue}\beta\color{black}) }{2}\end{matrix}

 

Dimostrazione della formula per l'area di un triangolo qualsiasi

 

La dimostrazione è abbastanza semplice. Per prima cosa ricordiamo che l'area di un triangolo generico si trova moltiplicando la misura della base per la misura dell'altezza diviso 2. Consideriamo un triangolo ABC come in figura. Tracciamo l'altezza relativa alla base AB e chiamiamola h. Il triangolo ADB è un triangolo rettangolo e grazie ai teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli, avremo che: 

 

h= \color{green}c\color{black} \sin(\color{red}\alpha\color{black}) 

 

e quindi utilizzando la formula dell'area: 

 

\begin{matrix}A_{\mbox{Triangolo}}&=&\displaystyle\frac{\color{blue}b\color{black}\cdot \overbrace{h}^{\color{green}c\color{black} \sin(\color{red}\alpha\color{black})}}{2}\\ \\ &=&\displaystyle\frac{\color{blue}b\color{black}\cdot\color{green}c\color{black}\sin(\color{red}\alpha\color{black})}{2}\end{matrix}

 

Abbiamo dimostrato la prima formula! Per capire da dove viene la seconda espressione, è sufficiente considerare il triangolo DBC che è appunto rettangolo e grazie ad uno dei teoremi goniometrici sui triangoli rettangoli si ha che: 

 

h= \color{red}a\color{black}\sin(\color{green}\gamma\color{black}) 

 

e conseguentemente  

 

A_{\mbox{Triangolo}}= \frac{\color{blue}b\color{black}\cdot \color{red}a\color{black}\sin(\color{green}\gamma\color{black})}{2} 

 

Per dimostrare l'ultima formula è sufficiente prendere come base il lato c e costruirne l'altezza relativa. Otterrete un triangolo rettangolo sul quale potrete applicare i teoremi goniometrici sui triangoli rettangoli. Otterremo facilmente che: 

 

A_{\mbox{Triangolo}}= \frac{\color{green}c\color{black}\cdot \color{red}a \color{black}\sin(\color{blue}\beta\color{black})}{2} 

 

C.V.D.

 

 


 

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Ifrit

 

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