Teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo

I teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo consistono in formule della Trigonometria che mettono in relazione i cateti e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo mediante seno, coseno, tangente e cotangente degli angoli interni.

 

In questa lezione parleremo dei teoremi goniometrici per il triangolo rettangolo, i quali forniscono importanti ed utilissime relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo. Vi raccomandiamo di non sottovalutare queste formule perché ritorneranno ad ogni livello nel prosieguo dei vostri studi: vi serviranno fino alla seconda prova di Matematica e ben oltre nello studio della Matematica e della Fisica all'università! ;)

 

Prima di procedere, un piccolo appunto. Le formule trigonometriche del triangolo rettangolo estendono le formule del triangolo rettangolo studiate a partire dalle scuole medie, completandole e giustificando una parte di esse (quelle relative ai triangoli rettangoli con angoli particolari). 

 

Primo teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo

 

Enunciato: in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è data dal prodotto della misura dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto.

 

 

Triangolo rettangolo per teoremi di Trigonometria

 

 

In riferimento alla figura valgono le seguenti relazioni:

 

\\ a=c\sin(\alpha)\\ \\ b=c\sin(\beta)

 

Dimostrazione del primo teorema trigonometrico per il triangolo rettangolo

 

Qui viene il bello. La dimostrazione segue immediatamente dalla definizione di seno di un angolo. È sufficiente considerare la circonferenza goniometrica e sostituire il raggio unitario con un raggio pari alla misura dell'ipotenusa c.

 

Il seno di un angolo è infatti il rapporto tra il cateto opposto all'angolo ed il raggio della circonferenza goniometrica. Nel nostro caso

 

\\ \sin(\alpha)=\frac{a}{c}\\ \\ \\ \sin(\beta)=\frac{b}{c}

 

Suggerimento: in riferimento alla figura vi consigliamo di adottare sempre la nomenclatura proposta, perché è la più comoda in assoluto. In pratica si chiamano gli angoli con le lettere greche, indicando con \gamma l'angolo retto, e si chiamano i lati opposti agli angoli con le corrispondenti lettere del nostro alfabero.

 

Vi consigliamo anche di ricordare questo teorema goniometrico (e i successivi) a parole, in modo da poterlo applicare più facilmente nella risoluzione degli esercizi.

 

Secondo teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo

 

Enunciato: in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è data dal prodotto tra la misura dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo acuto adiacente.

 

Triangolo rettangolo per teoremi di Trigonometria

 

Prendendo in considerazione la figura precedente otteniamo le seguenti formule:

 

\\ a=c\cos(\beta)\\ \\ b=c\cos(\alpha)

 

 

Dimostrazione del secondo teorema trigonometrico del triangolo rettangolo

 

Anche in questo caso la dimostrazione è immediata e segue direttamente dalla definizione di coseno di un angolo!

 

 

Terzo teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo

 

A differenza dei primi due teoremi, in cui vengono coinvolti le misure di un cateto e dell'ipotenusa, il terzo ed il quarto teorema sui triangoli rettangoli permettono di esprimere la lunghezza di un cateto in funzione dell'altro.

 

Enunciato: in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è data dal prodotto tra la misura dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo.

 

 

Triangolo rettangolo per teoremi di Trigonometria

 

 

\\ a=b\tan(\alpha)\\ \\ b= a\tan(\beta)

 

Dimostrazione del terzo teorema goniometrico per triangoli rettangoli

 

Dal primo teorema sui triangoli rettangoli abbiamo scoperto che

 

a= c\sin(\alpha)

 

mentre dal secondo teorema abbiamo dedotto che

 

b= c\cos(\alpha)\implies c=\frac{b}{\cos(\alpha)}

 

Sostituiamo l'espressione di c di quest'ultima formula nella precedente

  

\begin{align*}a=c\cdot \sin(\alpha)&=\\ \\ &= b\cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\\ \\&=b\cdot \tan(\alpha)\end{align}

 

dove nell'ultimo passaggio abbiamo utilizzato la definizione di tangente di un angolo. In questo modo la prima formula del teorema è dimostrata.

 

La dimostrazione della seconda formula è del tutto analoga, infatti dal primo teorema abbiamo che

 

b= c\sin(\beta)

 

Grazie al secondo teorema riusciamo ad asserire che 

 

a=c\cos(\beta)\implies c=\frac{a}{\cos(\beta)}

 

Conseguentemente:

 

\begin{align*}b=c\cdot \sin(\beta)&=\\ \\ &= a\cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}=\\ \\&=a\cdot \tan(\beta)\end{align}

 

Quarto teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo

 

Esiste infine un ultimo teorema che permette di determinare le relazioni che corrono tra i cateti e uno dei due angoli acuti mediante la cotangente.

 

Enunciato: in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è dato dal prodotto tra la misura dell'altro cateto per la cotangente dell'angolo adiacente al primo.

 

 

Triangolo rettangolo per teoremi di Trigonometria

 

 

\\ a=b\cot(\beta)\\ \\ b= a\cot(\alpha)

 

Dimostrazione del quarto teorema trigonometrico per triangoli rettangoli

 

La dimostrazione è del tutto analoga a quella del terzo teorema, mutatis mutandis, e ve la affidiamo per esercizio. ;)

 

A cosa servono i teoremi di Trigonometria sui triangoli rettangoli?

 

Ok, starete pensando che le formule dei teoremi trigonometrici siano troppe da ricordare... Ma sappiate che, con un po' di furbizia, possiamo limitarci a imparare le formule del primo e del secondo teorema. Tutte le altre discendono da esse.

 

Per il resto sappiate che userete queste formule talmente tante volte da riuscire a ricordarle automaticamente e senza alcuno sforzo. Queste formule hanno notevoli conseguenze geometriche e quindi fisiche! Se è la prima volta che affrontate questi argomenti, sappiate che insieme al teorema di Pitagora nel 90% ci permetteranno di risolvere i triangoli rettangoli.

 

In parole povere ci permettono di determinare a partire da almeno due elementi dati (angolo-cateto, cateto-cateto, cateto-ipotenusa) tutte le altre caratteristiche del triangolo (cateti, ipotenusa, angoli). Che ne dite, facciamo un piccolo riepilogo?

 

 

Teorema Formule Cosa
Primo \\ a=c\sin(\alpha)\\ \\ b=c\sin(\beta) cateto
ipotenusa
angolo opposto 
Secondo \\ a=c\cos(\beta)\\ \\ b=c\cos(\alpha)

cateto
ipotenusa
angolo adiacente 

Terzo \\ a=b\tan(\alpha)\\ \\ b=a\tan(\beta) cateto
altro cateto
angolo opposto 
Quarto \\ a=b\cot(\beta)\\ \\ b=a\cot(\alpha) cateto
altro cateto
angolo adiacente 

 

 

Osservazioni interessanti sui primi due teoremi trigonometrici

 

Dal primo e dal secondo teorema goniometrico sui triangoli rettangoli siamo usciti ad estrarre due formule per lo stesso lato, in particolare:

 

\\ a=c\sin(\alpha)\\ \\a= c\cos(\beta)

  

Imponendo l'uguaglianza tra le due espressioni, otteniamo

  

\\ c\sin(\alpha)= c\cos(\beta )

 

da cui

 

\sin(\alpha)=\cos(\beta)

 

Sappiamo che in un triangolo rettangolo gli angolo acuti sono angoli complementari, per cui possiamo scrivere

 

\alpha+\beta= \frac{\pi}{2}\ \ \ \ \ (= 90^o)

 

e quindi

 

\alpha= \frac{\pi}{2}-\beta

 

Alla luce di queste osservazioni possiamo riscrivere l'uguaglianza \sin(\alpha)= \cos(\beta) nella forma

  

\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)= \cos(\beta)\ \ \ \mbox{con }\beta\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)

 

Tutto chiaro? :) Abbiamo dato una dimostrazione geometrica della formula degli archi associati per il seno nel caso degli angoli complementari.

 

Facendo lo stesso ragionamento con l'uguaglianza

 

c\sin(\beta)=c\cos(\alpha)

 

otterremo:

  

\sin\left(\beta\right)= \cos\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)\ \ \ \mbox{con }\beta\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)

  

e questo conferma la correttezza delle formule trigonometriche per gli angoli complementari nel caso del coseno.

 

 


 

Per chiudere, vi raccomandiamo di dare un'occhiata alla scheda correlata di esercizi svolti, e di proseguire con le lezioni di Trigonometria. Nella successiva presenteremo un'altra importante formula geometrico-goniometrica: la formula trigonometrica per l'area di un triangolo qualsiasi.

 

Per tutto il resto, esercizi, problemi o formulari, vi rimandiamo alla barra di ricerca interna. E in caso di necessità servitevi pure del tool per risolvere il triangolo rettangolo online. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati..........Lezione successiva


Tags: teoremi di Trigonometria per i triangoli rettangoli.

 

pbtr