Teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli

In questa lezione parleremo dei teoremi trigonometrici che hanno per protagonista il triangolo rettangolo. Essi permettono di esprimere le relazioni che tra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo.

 

Primo teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo

 

Enunciato: in un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è data dal prodotto della misura dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto.

 

In riferimento alla figura 

 

Triangolo rettangolo per teoremi di Trigonometria

 

otteniamo le seguenti relazioni: 

 

\begin{matrix}\color{green}a\color{black}=\color{blue}c\color{black}\sin(\color{green}\alpha\color{black})\\ \\\color{red}b\color{black}=\color{blue}c\color{black}\sin(\color{red}\beta\color{black})\end{matrix}

 

Dimostrazione

 

La dimostrazione segue dalle definizioni di seno di un angoloLaughing

cvd!

 

Secondo teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo

 

Enunciato: in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è data dal prodotto tra la misura dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente!

 

Triangolo rettangolo per teoremi di Trigonometria

 

Prendendo in considerazione la figura precedente otteniamo le seguenti formule:

 

\begin{matrix}\color{green}a\color{black}=\color{blue}c\color{black}\cos(\color{red}\beta\color{black})\\ \\\color{red}b\color{black}=\color{blue}c\color{black}\cos(\color{green}\alpha\color{black})\end{matrix}

 

 

Dimostrazione

 

La dimostrazione segue dalla definizione di coseno di un angolo!

 

cvd

 

 

Osservazioni interessanti: dal primo e dal secondo teorema sui triangoli rettangoli siamo usciti ad estrarre due formule per lo stesso lato, in particolare:

 

\begin{matrix}a=c\sin(\alpha)\\ \\a= c\cos(\beta)\end{matrix}

  

Imponendo l'uguaglianza tra le due a:

  

c\sin(\alpha)= c\cos(\beta )\iff \sin(\alpha)=\cos(\beta) \mbox{ con }c\textgreater 0

 

E' chiaro che in un triangolo rettangolo \sin(\alpha)= \cos(\beta), ma questo lo si può evincere anche osservando che: 

 

\alpha+\beta= \frac{\pi}{2}(= 90^o)\qquad (\alpha\mbox{ e }\beta \mbox{ sono }complementari)


quindi \alpha= \frac{\pi}{2}-\beta, e l'uguaglianza \sin(\alpha)= \cos(\beta) si esprime anche come:

  

\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)= \cos(\beta)\quad \beta\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)_{(1)}

  

Abbiamo dato una dimostrazione geometrica della formula degli angoli complementari per il seno. Facendo lo stesso ragionamento con l'uguaglianza c\sin(\beta)=c\cos(\alpha) otterremo:

  

\sin\left(\beta\right)= \cos\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)

  

e questo conferma la correttezza delle formule trigonometriche per gli angoli complementari nel caso del coseno!

 

Terzo teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo

 

Il terzo teorema sui triangoli rettangoli permette di esprimere un cateto in funzione dell'altro. Vediamone insieme l'enunciato :)

 

Enunciato: in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è data dal prodotto tra la misura dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo!

 

Prendendo come riferimento la figura:

 

Triangolo rettangolo per teoremi di Trigonometria

 

\begin{matrix}\color{green}a\color{black}=\color{red}b\color{black}\tan(\color{green}\alpha\color{black})\\ \\ \color{red}b\color{black}= \color{green}a\color{black}\tan(\color{red}\beta\color{black}) \end{matrix}

 

Dimostrazione

 

Dal primo teorema sui triangoli rettangoli abbiamo scoperto che a= c\sin(\alpha) mentre dal secondo teorema abbiamo dedotto che

 

b= c\cos(\alpha)\implies c=\frac{b}{\cos(\alpha)}.  

 

Sostituiamo la c nella formula a= c\sin(\alpha):

  

\displaystyle\begin{matrix}a&=&\overbrace{ c}^{\frac{b}{\cos(\alpha)}}\cdot \sin(\alpha)=\\ \\&=& b\cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\\ \\&=&b \tan(\alpha)\end{matrix}

 

Questo dimostra la prima formula del teorema. La seconda è del tutto analoga, infatti dal primo teorema abbiamo che b= c\sin(\beta). Grazie al secondo teorema riusciamo ad asserire che 

 

a=c\cos(\beta)\implies c=\frac{a}{\cos(\beta)}

 

Conseguentemente:

\displaystyle\begin{matrix}b&=&\overbrace{ c}^{\frac{a}{\cos(\beta)}}\cdot \sin(\beta)=\\ \\&=& a\cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}=\\ \\&=&a \tan(\beta)\end{matrix} 

 

cvd

 

Quarto teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo

 

Esiste infine un ultimo teorema (elementare) che permette di determinare le relazioni che corrono tra i cateti e l'angolo espressi tramite la cotangente.

 

Enunciato: in un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è dato dal prodotto tra l'altro cateto per la cotangente dell'angolo adiacente al primo.

 

In riferimento alla figura:

 

triangolo-rettangolo-trigonometria

 

\begin{matrix}\color{green}a\color{black}=\color{red}b\color{black}\cot(\color{green}\beta\color{black})\\ \\ \color{red}b\color{black}= \color{green}a\color{black}\cot(\color{red}\alpha\color{black}) \end{matrix}

 

Dimostrazione

 

La dimostrazione è abbanstanza simile a quella del teorema 3, "mutatis mutandis". Sarebbe interessante che provaste voi a costruirne una! Wink  Nel caso aveste problemi, beh, aprite una discussione nel forum, senza se e senza ma! :)

 

Ok, starai pensando che le formule che sono presenti in questa pagina siano troppe da ricordare Undecided ma se ci facciamo furbi, possiamo imparare le formule del primo e del secondo teorema, le altre discendono da essi :)

 

A che servono i teoremi di Trigonometria sui triangoli rettangoli?

 

E' la prima domanda che probabilmente vi passa per la testa. La prima risposta che possiamo dare è che queste formule hanno notevoli conseguenze geometriche e quindi "fisiche"!  Se è la prima volta che incontrate questi argomenti, diciamo che la loro ci permettono di "risolvere i triangoli rettangoli", cioè ci permettono di determinare a partire da almeno due elementi dati (angolo-cateto, cateto- cateto, cateto-ipotenusa) tutte le altre caratteristiche del triangolo (cateti, ipotenusa, angoli). 

 

 


 

(1) Il vincolo \beta\in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) perché \alpha, \beta non superano mai l'angolo retto  e non possono essere minori dell'angolo nullo.

 


 

Se qualcosa non fosse chiaro non esitare e scrivici nel Forum, e ricorda che puoi trovare tantissimi esercizi interamente svolti e spiegati cercando quello che ti serve con la barra di ricerca.

 

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