Funzioni goniometriche e inverse goniometriche

Le funzioni goniometriche e le inverse trigonometriche sono definite a partire dalle funzioni che vengono introdotte in Trigonometria: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante, arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante e arcocosecante.

 

Questo articolo, più che una lezione, è una scheda di riepilogo sulle funzioni trigonometriche (comprese le inverse goniometriche) ed è pensata per gli studenti delle scuole superiori e per gli universitari che hanno bisogno di consultare una panoramica con le definizioni e i grafici di tutte queste funzioni.

 

 

Prima di procedere ci teniamo a sottolineare che qui ci occuperemo delle funzioni goniometriche intese come funzioni reali di variabile reale, e non delle loro definizioni mediante la circonferenza goniometrica. Se siete interessati a quest'ultime potete leggere:

 

seno e coseno

 

tangente e cotangente

 

secante e cosecante

 

Riepilogo sulle funzioni goniometriche

 

Riproponiamo le definizioni delle funzioni trigonometriche ed i rispettivi grafici, utili per chi affronta studi di funzione o esercizi di vario tipo che coinvolgono tali funzioni.

 

In ciascun caso metteremo in evidenza il dominio e l'immagine di ogni funzione. Per tutte le altre proprietà vi rimandiamo alle schede relative a ciascuna funzione, a cui potete accedere con un semplice click.

 

 

Funzione seno

 

La funzione goniometrica y=\sin(x) è una funzione da \mathbb{R} \ \mbox{in} \ \mathbb{R}, che associa ad ogni x il cosiddetto seno di x

 

\\ \sin(x): \mathbb{R} \to [-1,1]\\ \\ x\mapsto\sin(x)

 

Il suo dominio è tutto \mathbb{R} ed ha come immagine l'intervallo chiuso e limitato [-1,1].

 

 

Funzione seno

Grafico della funzione seno

 

 

Funzione coseno

 

Le funzione coseno, insieme al seno, è la seconda ed unica funzione che non viene definita a partire da altre funzioni goniometriche

 

\\ \cos(x): \mathbb{R} \to[-1,1]\\ \\ x\mapsto\cos(x)

 

Il suo dominio è tutto \mathbb{R} ed ha come immagine l'intervallo [-1,1].

 

 

Funzione coseno

Grafico della funzione coseno

 

 

Funzione tangente

 

La funzione tangente y=\tan(x) è definita come rapporto tra le funzioni seno e coseno:

 

\tan(x):=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

 

Il suo dominio è dato da \mathbb{R} ad esclusione dei valori che annullano il coseno

 

x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

mentre la sua immagine è \mathbb{R}

 

\\ \tan(x): \mathbb{R}-\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi \right\} \to \mathbb{R}\\ \\ \\ x\mapsto\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

 

 

Funzione tangente

Grafico della funzione tangente

 

 

Funzione cotangente

 

La funzione cotangente si indica con y=\cot(x) ed è strettamente legata alla funzione tangente. Si definisce infatti come il rapporto tra coseno e seno o, equivalentemente, come il reciproco della tangente:

 

\cot(x):=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{1}{\tan(x)}

 

Essa è definita su tutto l'asse reale ad eccezione dei punti che annullano il seno

 

x=k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

ed ha come immagine tutto \mathbb{R}

 

\\ \cot(x): \mathbb{R}-\left\{k\pi \right\} \to \mathbb{R}\\ \\  x\mapsto\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}

 

 

Funzione cotangente

Grafico della funzione cotangente

 

 

Funzione secante

 

La funzione secante si indica con y=\sec(x) ed è definita come il reciproco del coseno. Attenzione a non farvi trarre in inganno dal nome e dall'assonanza tra il termine secante e il termine seno

 

\sec(x):=\frac{1}{\cos(x)}

 

Essa è definita su tutto l'asse reale ad eccezione dei punti che annullano il coseno

 

x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

e la sua immagine è data da \mathbb{R} escluso l'intervallo (-1,1)

 

\\ \sec(x): \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi \right\} \to \mathbb{R}-(-1,1)\\ \\ x\mapsto\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}

 

 

Funzione secante

Grafico della funzione secante

 

 

Funzione cosecante

 

Anche qui attenzione al nome. Sebbene sia evidente l'assonanza con il termine coseno, la funzione cosecante è definita come reciproco del seno. Generalmente si indica con y=\csc(x) e talvolta viene indicata con y=\mbox{cosec}(x).

 

\csc(x):=\frac{1}{\sin(x)}

 

Il dominio è tutto \mathbb{R} ad eccezione dei punti che annullano il seno

 

x=k\pi, \ k\in \mathbb{Z}

 

e, proprio come per la secante, la sua immagine è data dall'asse reale ad esclusione dell'intervallo (-1,1)

 

\\ \csc(x): \mathbb{R}-\left\{k\pi \right\} \to \mathbb{R}-(-1,1)\\ \\ x\mapsto\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}

 

 

Funzione cosecante

Grafico della funzione cosecante

 

 

Funzioni goniometriche inverse

 

Continuiamo ora la rassegna delle funzioni goniometriche e passiamo alle definizioni e ai grafici delle funzioni trigonometriche inverse.

 

 

Funzione arcoseno

 

Come suggerisce il nome, l'arcoseno è la funzione inversa della funzione seno.

 

Attenzione però: la funzione seno, così come l'abbiamo definita e come si può osservare immediatamente dal suo grafico, non è una funzione invertibile.

 

Per renderla invertibile restringiamo il codominio all'immagine, in modo da renderla suriettiva, e restringiamo l'insieme di definizione all'intervallo \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. In altri termini consideriamo

 

\sin(x): \ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \to [-1,1]

 

In questo modo otteniamo una nuova funzione, che è biunivoca e dunque invertibile. Solo a questo punto ha senso parlare di funzione inversa del seno di x, che prende il nome di arcoseno di x:

 

\\ \arcsin:[-1,1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\\ \\ x\mapsto\arcsin(x)

 

Essa ha come dominio l'intervallo chiuso e limitato [-1,1] e come immagine \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].

 

 

Funzione arcoseno

Grafico della funzione arcoseno

 

 

Funzione arcocoseno

 

La funzione arcocoseno è l'inversa della funzione coseno, che però nella sua definizione generale non è invertibile. Per questo motivo ragioniamo in modo analogo rispetto al caso dell'arcoseno e rendiamo la funzione coseno biiettiva. Restringiamo il codominio all'immagine e scegliamo come insieme di definizione l'intervallo [0, \pi].

 

Ciò ci permette di definire la funzione arcocoseno come

 

\\ \arccos: [-1,1] \to [0, \pi]\\ \\ x\mapsto\arccos(x)

 

L'arcocoseno ha come dominio l'intervallo [-1,1] e come immagine [0,\pi].

 

 

Funzione arcocoseno

Grafico della funzione arcocoseno

 

 

Funzione arcotangente

 

La funzione arcotangente è l'inversa della funzione tangente. Poiché quest'ultima è suriettiva ma non iniettiva, per poterne definire l'inversa dobbiamo restringere l'insieme di definizione della tangente all'intervallo \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right). Così facendo riusciamo a renderla invertibile:

 

\tan(x): \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}

 

La sua inversa prende il nome di arcotangente

 

\\ \arctan: \mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\\ \\ x\mapsto\arctan(x)

 

Essa è definita su tutto l'asse reale e presenta come immagine l'intervallo aperto e limitato \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).

 

 

Funzione arcotangente

Grafico della funzione arcotangente

 

 

Funzione arcocotangente

 

La funzione arcocotangente si indica con y=\mbox{arccot}(x) ed è l'inversa della funzione cotangente. Poiché quest'ultima non è iniettiva, ne restringiamo l'insieme di definizione all'intervallo (0, \pi) in modo da renderla biiettiva

 

\cot: (0, \pi) \to \mathbb{R}

 

L'arcocotangente avrà quindi come insieme di definizione tutto \mathbb{R} e come immagine l'intervallo (0, \pi)

 

\\ \mbox{arccot}(x): \mathbb{R} \to \left(0, \pi \right)\\ \\ x\mapsto\mbox{arccot}(x)

 

 

Funzione arcocotangente

Grafico della funzione arcocotangente 

 

 

Funzione arcosecante

 

Ormai dovreste aver capito come funziona. Per rendere la funzione secante invertibile restringiamo il codominio all'immagine e consideriamo come insieme di definizione un intervallo del suo dominio in cui è iniettiva

 

\sec: \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] \to (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)

 

L'inversa di tale funzione viene chiamata arcosecante, è definita in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) e ha come immagine \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]

 

\\ \mbox{arcsec}(x):(-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \to \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]\\ \\ x\mapsto \mbox{arcsec}(x)

 

 

Funzione arcosecante

Grafico della funzione arcosecante

 

 

Funzione arcocosecante

 

Per rendere la funzione cosecante invertibile restringiamo il suo insieme di definizione e la sua immagine nel modo seguente:

 

\csc:\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] \to (-\infty,-1] \cup [1,+\infty)

 

In questo modo possiamo definire la funzione arcocosecante, ossia l'inversa della cosecante, la quale ha come dominio (-\infty,-1] \cup [1,+\infty) e come immagine \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]

 

\\ \mbox{arcscs}(x):(-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \to \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]\\ \\ x\mapsto \mbox{arccsc}(x)

 

 

Funzione arcocosecante

Grafico della funzione arcocosecante

 

 


 

È tutto ragazzi! Vi ricordiamo che, per tutte le proprietà sulle funzioni goniometriche e sulle loro inverse viste in questa lezione di riepilogo, avete a disposizione delle ricche schede di approfondimento. Non ci resta che rimandarvi alla scheda correlata di esercizi svolti e suggerirvi di usare la barra di ricerca interna in caso di necessità: qui su YM ci sono migliaia di problemi e di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su Youmath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.............Esercizi correlati


Tags: funzioni trigonometriche e loro inverse - tutti i grafici sulle funzioni goniometriche e delle loro inverse - definizione, dominio e immagine delle funzioni goniometriche.

 

pbtr