Funzioni goniometriche e inverse goniometriche

Questo articolo, più di una lezione, è una scheda di riepilogo sulle funzioni goniometriche (comprese le inverse goniometriche) pensata soprattutto per gli studenti di Scuola Superiore e per gli universitari che hanno spesso bisogno di aver raccolto in un'unica scheda definizioni e grafici di tutte queste funzioni.

 

Prima di procedere ci teniamo a sottolineare che qui ci occuperemo delle funzioni goniometriche intese come funzioni reali di variabile reale e non della loro definizione attraverso la circonferenza goniometrica che, in ogni caso, avrete sotto mano con tre semplici click:

 

seno e coseno;

 

tangente e cotangente;

 

secante e cosecante.

 

Riepilogo sulle funzioni goniometriche

 

Come già anticipato riproponiamo la definizione di ogni funzione goniometrica ed il grafico, utile per chi affronta studi di funzione o esercizi di vario tipo che coinvolgono tali funzioni. Metteremo ben in evidenza quale sia il dominio e l'immagine di ogni funzione e, per favorire questo aspetto evidenzieremo in rosso  gli intervalli del dominio sull'asse x ed in blu gli intervalli dell'immagine sull'asse y.

 

Per la scheda approfondita dedicata ad ogni funzione vi basta un click sul nome. Dopo queste premesse possiamo partire... Wink

 

Funzione seno: la funzione goniometrica y=\sin(x) è una funzione da \mathbb{R} \ \mbox{in} \ \mathbb{R}, che ad x associa quello che prende il nome di seno di x, ovvero:

 

\sin(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \in \mathbb{R} \mapsto \sin(x) \in [-1,1]

 

Il suo dominio è tutto \mathbb{R}, è cioè definita per ogni x che varia nei reali, mentre ha come immagine l'intervallo chiuso e limitato [-1,1]

 

 

Funzione seno

 

 

Funzione coseno: insieme alla funzione seno sono le uniche due che non si definiscono a partire da altre funzioni goniometriche. Il suo dominio è tutto \mathbb{R} ed anch'essa ha, come immagine, l'intervallo [-1,1]. Ovvero

 

\cos(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \in \mathbb{R} \mapsto \cos(x) \in [-1,1]

 

 

Funzione coseno

 

 

Funzione tangente: si dice funzione tangente e si indica con y=\tan(x) il rapporto tra le funzioni seno e coseno. Ovvero:

 

\tan(x):=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

 

Basta osservare com'è definita per capire che il suo dominio è tutto \mathbb{R} ad eccezione dei valori che annullano il coseno \left(x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z}\right) mentre la sua immagine è tutto \mathbb{R}. Volendoci esprimere in matematichese:

 

\tan(x): \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi \right\} \to \mathbb{R}, \ x \in \mathbb{R}-\left\{ \frac{\pi}{2} + k \pi\right\} \mapsto \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \in \mathbb{R}.

 

Il grafico della funzione tangente è il seguente (osservate che sull'asse x abbiamo evidenziato il dominio escludendo con un pallino vuoto i punti dove non è definita).

 

 

Funzione tangente

 

 

Funzione cotangente: si indica con y=\cot(x) ed il nome non delude le aspettative; la funzione cotangente è infatti strettamente legata alla funzione tangente. Si definisce come il rapporto tra coseno e seno o, equivalentemente come 1 su tangente:

 

\cot(x):=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{1}{\tan(x)}

 

Essa è quindi definita in tutto l'asse reale ad eccezione dei punti che annullano il seno (x=k \pi, \ k \in \mathbb{Z}) ed ha come immagine tutto \mathbb{R}. Scriveremo quindi:

 

\cot(x): \mathbb{R}-\left\{k\pi \right\} \to \mathbb{R}, \ x \in \mathbb{R}-\left\{k \pi\right\} \mapsto \cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)} \in \mathbb{R}.

 

 

Funzione cotangente

 

 

Funzione secante: si indica con y=\sec(x) ed è definita come 1 fratto coseno. Attenzione quindi, in questo caso, a non farsi trarre in inganno dal nome. Sebbene il termine secante abbia una certa assonanza con il termine seno, queste due funzioni non hanno nulla a che fare, infatti

 

\sec(x):=\frac{1}{\cos(x)}

 

È definita su tutto l'asse reale ad eccezione dei punti che annullano il coseno \left(x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z}\right) e la sua immagine è invece tutto \mathbb{R} escluso l'intervallo (-1,1). Avremo allora

 

\sec(x): \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi \right\} \to \mathbb{R}-(-1,1),

 

x \in \mathbb{R}-\left\{ \frac{\pi}{2} + k \pi\right\} \mapsto \sec(x)=\frac{1}{\cos(x)} \in \mathbb{R}-(-1,1).

 

 

Funzione secante

 

 

Funzione cosecante: anche qui occhio al nome; sebbene infatti sia lampante l'assonanza con il termine coseno, la funzione cosecante è definita dal rapporto di 1 su seno. Generalmente si indica con y=\csc(x) ma potete trovare anche la nomenclatura y=\mbox{cosec}(x).

 

\csc(x):=\frac{1}{\sin(x)}

 

il cui dominio è tutto \mathbb{R} ad eccezione dei punti che annullano il seno (k\pi, \ k\in \mathbb{Z}) e, proprio come per la secante, la sua immagine è tutto l'asse reale ad eccezione dell'intervallo (-1,1).

 

\csc(x): \mathbb{R}-\left\{k\pi \right\} \to \mathbb{R}-(-1,1),

 

x \in \mathbb{R}-\left\{k \pi\right\} \mapsto \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)} \in \mathbb{R}-(-1,1).

 

 

Funzione cosecante

 

 

Continuiamo ora la rassegna delle funzioni goniometriche andando a vedere definizioni e grafici delle funzioni goniometriche inverse.

 

Funzioni goniometriche inverse

 

Funzione arcoseno: come suggerisce il nome è l'inversa della funzione seno. Attenzione però! La funzione seno così come l'abbiamo definita e come si può osservare immediatamente dal grafico non è una funzione invertibile. Cosa facciamo quindi?

 

Restringiamo il codominio all'immagine della funzione (in modo da renderla suriettiva) e come insieme di definizione, si sceglie, per convenzione, l'intervallo \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], ovvero consideriamo:

 

\sin(x): \ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \to [-1,1]

 

che sarà, in questo modo, una funzione iniettiva e suriettiva (e quindi invertibile).

 

Solo a questo punto ha senso parlare di funzione inversa e quindi dall'arcoseno che è definito come:

 

\arcsin:[-1,1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \ x \in [-1,1] \mapsto \arcsin(x) \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

 

la quale ha quindi come dominio l'intervallo chiuso e limitato [-1,1] e come immagine \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

 

Ecco il grafico:

 

 

Funzione arcoseno

 

 

Funzione arcocoseno: funzione inversa della funzione coseno la quale, proprio come è accaduto per la funzione seno, così com'è non è invertibile. Ragion per cui, con lo stesso procedimento visto poco fa, la si rende biiettiva restringendo il codominio all'immagine e scegliendo come insieme di definizione, per convenzione, l'intervallo [0, \pi]. Avremo allora:

 

\arccos: [-1,1] \to [0, \pi], \ x \in [-1,1] \mapsto \arccos(x) \in [0, \pi]

 

L'arcocoseno ha quindi come dominio l'intervallo [-1,1] e come immagine [0,\pi].

 

Questo è il suo grafico:

 

 

Funzione arcocoseno

 

 

Funzione arcotangente: è l'inversa della funzione tangente la quale, come si intuisce semplicemente osservando il grafico, è suriettiva ma non iniettiva. Restringendone però, per convenzione, l'insieme di definizione all'intervallo \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), ovvero considerando

 

\tan(x): \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}

 

viene resa una funzione invertibile. La sua inversa prende il nome di arcotangente

 

\arctan: \mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \ x \in \mathbb{R} \mapsto \arctan(x) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

 

definita su tutto l'asse reale ed avente come immagine l'intervallo aperto e limitato \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

 

 

Funzione arcotangente

 

 

Funzione arcocotangente: la si indica con y=\mbox{arccot}(x) ed è l'inversa della funzione cotangente la quale, non essendo iniettiva, la si considera (per scelta) definita nell'intervallo (0, \pi) in modo da avere una funzione biiettiva

 

\cot: (0, \pi) \to \mathbb{R}

 

L'arcocotangente avrà quindi come insieme di definizione tutto \mathbb{R} e come immagine l'intervallo (0, \pi). In matematichese:

 

\mbox{arccot}(x): \mathbb{R} \to \left(0, \pi \right), \ x \in \mathbb{R} \mapsto \mbox{arccot}(x) \in \left(0, \pi\right)

 

 

Funzione arcocotangente

 

 

Funzione arcosecante: ormai dovreste aver capito come funziona. Si cerca di rendere la funzione secante una funzione invertibile restringendo il codominio all'immagine e prendendo un intervallo del suo dominio in cui è iniettiva. Considerando quindi

 

\sec: \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] \to (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)

 

la sua inversa sarà proprio l'arcosecante definita in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) ed avente come immagine \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right], cioè

 

\mbox{arcsec}(x):(-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \to \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right],

 

x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \mapsto \mbox{arcsec}(x) \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]

 

 

Funzione arcosecante

 

 

Funzione arcocosecante: per rendere la funzione cosecante una funzione invertibile restringiamo il suo insieme di definizione a \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] e il suo codominio all'immagine (-\infty,-1] \cup [1,+\infty).

 

Possiamo in questo modo definire la funzione arcocosecante (inversa della cosecante) la quale ha come dominio (-\infty,-1] \cup [1,+\infty) e come immagine \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right], ovvero:

 

\mbox{arcscs}(x):(-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \to \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right],

 

x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \mapsto \mbox{arccsc}(x) \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]

 

il cui grafico è il seguente.

 

 

Funzione arcocosecante

 

 


 

È tutto ragazzi! Vi ricordiamo che, per tutte le proprietà sulle funzioni goniometriche e sulle loro inverse viste in questa lezione di riepilogo vi basta un click sul nome. Inoltre in caso di dubbi utilizzate la barra di ricerca (in alto a destra in ogni pagina) e, se non dovesse bastare, non esitate a contattarci nel Forum Wink

 

 

Buon proseguimento su Youmath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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