Archi associati

Con l'espressione archi associati si indica un insieme di formule che permettono di semplificare il calcolo delle funzioni goniometriche, riducendo determinati tipi di angoli agli archi associati nel primo quadrante.


Saper riconoscere e rappresentare gli archi associati ci permette di calcolare facilmente seno e coseno di angoli particolari. In questa lezione elenchiamo e dimostriamo le formule sugli archi associati, che ci permettono di valutare velocemente le principali funzioni goniometriche in corrispondenza di specifiche somme e differenze di angoli.

 

Se avete fretta potete consultare il formulario successivo, in cui presentiamo la tabella sugli angoli associati senza particolari spiegazioni; ma se volete capire a fondo e non dipendere dalle formule... Proseguire la lettura! ;)

 

Formule per gli archi associati

 

Con archi associati ad un'angolo \alpha intendiamo somme e differenze di tale angolo con i principali angoli della circonferenza goniometrica: \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi. Elenchiamoli:

 

\frac{\pi}{2}+\alpha\ ;\ \frac{\pi}{2}-\alpha\ ;\ \pi-\alpha\ ;\ \frac{3}{2}\pi+\alpha\ ;\ \frac{3}{2}\pi-\alpha\ ;\ 2\pi-\alpha=-\alpha 

 

Riportiamo tutti questi angoli sulla circonferenza goniometrica:

 

 

Archi associati

In ciascuno degli archi associati evidenziamo solamente \alpha.

 

 

Il nome archi associati (o angoli associati) deriva dal fatto che stiamo considerando, fissato un angolo \alpha, tutti i possibili angoli ottenuti come somma o differenza dell'angolo \alpha con gli angoli notevoli della circonferenza. Esaminiamo un caso alla volta.

 

Archi associati del tipo \frac{\pi}{2}+\alpha

 

Sulla circonferenza goniometrica abbiamo:

 

 

Archi associati della forma Pi greco mezzi + angolo

 

 

Evidenziamo il valore del seno e del coseno di \alpha

 

 

Seno di pi greco mezzi + angolo

 

 

Concentriamoci su \alpha: il seno è in rosso e il coseno è in verde.

 

Se spostiamo l'attenzione su \frac{\pi}{2}+\alpha vediamo che il suo coseno (il segmento opposto all'angolo, in rosso), coincide proprio con il seno di \alpha, mentre il seno di \frac{\pi}{2}+\alpha (in verde) coincide con il coseno di \alpha.

 

L'unica cosa a cui dobbiamo prestare attenzione è che il coseno di \frac{\pi}{2}+\alpha è negativo, dunque:

 

\\ \sin{\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\cos{(\alpha)}\\ \\ \cos{\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=-\sin{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo \frac{\pi}{2}-\alpha

  

Procediamo come prima:

 

 

Arco associato Pi greco mezzi - angolo

 

 

In questo caso si ha:

 

\\ \sin{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\cos{(\alpha)}\\ \\ \cos{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\sin{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo \pi+\alpha

 

Spostiamoci all'altezza di \pi, abbiamo

 

 

Pi greco + angolo

 

 

\\ \sin{(\pi+\alpha)}=-\sin{(\alpha)}\\ \\ \cos{(\pi+\alpha)}=-\cos{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo \pi-\alpha

 

Sulla circonferenza goniometrica

 

 

Pi greco - angolo

 

 

\\ \sin{(\pi-\alpha)}=\sin{(\alpha)}\\ \\ \cos{(\pi-\alpha)}=-\cos{(\alpha)}

  

Archi associati del tipo \frac{3}{2}\pi+\alpha

 

Procediamo di 45° sulla circonferenza goniometrica e ripetiamo lo stesso ragionamento:

 

 

Tre mezzi pi greco + angolo

 

 

\\ \sin{\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)}=-\cos{(\alpha)}\\ \\ \cos{\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)}=\sin{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo \frac{3}{2}\pi-\alpha

 

 

Tre mezzi pi greco - angolo

 

\\ \sin{\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)}=-\cos{(\alpha)}\\ \\ \cos{\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)}=-\sin{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo 2\pi-\alpha=-\alpha

 

Ultimo passaggio:

 

Due pi greco - angolo

 

 

\\ \sin{(-\alpha)}=-\sin{(\alpha)}\\ \\ \cos{(-\alpha)}=\cos{(\alpha)}

 

 


 

Non sottovalutate mai la potenza degli archi associati: le formule che abbiamo appena visto sono una vera e propria manna dal cielo nella risoluzione di tantissimi esercizi di Trigonometria, e più in generale nel prosieguo degli studi della Matematica. A tal proposito, se volete esercitarvi, vi rimandiamo alla scheda correlata di esercizi sugli archi associati. ;)

 

Come promesso, nella lezione successiva riepilogheremo tutte le formule degli archi associati in una tabella facile da consultare e utile per la risoluzione degli esercizi. Prima però una chicca per voi: nel caso servisse, il tool per risolvere le espressioni online vi permette anche di verificare le formule per gli angoli associati. Provate ad esempio a riportare cos(pi/2+x) come input... ;) 

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: rappresentare gli archi associati nella circonferenza goniometrica per valutare le principali funzioni goniometriche in corrispondenza degli angoli associati.