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Formule trigonometriche

Questo formulario riassume tutte le più importanti formule trigonometriche: dall'identità fondamentale della Trigonometria, alle formule di bisezione e di duplicazione, fino ad arrivare alle formule di Werner, alle formule di Prostaferesi e alle formule parametriche per seno, coseno e tangente. 

 

Nota: ogni formula trigonometrica e la relativa dimostrazione è trattata nel dettaglio in una lezione a parte.

 

 

Le principali formule trigonometriche

 

Se sei alla ricerca dei valori notevoli delle funzioni goniometriche - click!

 

 

Identità fondamentale della trigonometria

 

L'identità fondamentale permette di riscrivere, negli esercizi, il seno in termini del coseno e viceversa. Si tratta di una formula molto semplice e molto importante, come d'altra parte suggerisce il nome.

 

\sin^2({x})+\cos^2{(x)}=1

 

A seconda delle esigenze capita di doverla usare nelle forme

 

\sin^2{(x)}=1-\cos^2{(x)}

 

\cos^2{(x)}=1-\sin^2{(x)}

 

 


 

 

Formule per gli archi associati per seno e coseno

 

Grazie alle formule sugli angoli associati possiamo ricavare il valore di seno e coseno di particolari angoli, detti archi associati. Qui riporteremo solo i valori per seno e coseno, ma nel formulario del primo link troverete le formule sugli archi associati per tutte le funzioni goniometriche, vi faremo vedere come ricavarle e sveleremo anche un trucchetto per ricordarle. ;)

 

\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\cos{(\alpha)};\ \ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\sin{(\alpha)}

\sin{\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\cos{(\alpha)};\ \ \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=-\sin{(\alpha)}

\sin{\left(\pi-\alpha\right)}=\sin{(\alpha)};\ \ \cos\left(\pi-\alpha\right)}=-\cos{(\alpha)}

\sin{\left(\pi+\alpha\right)}=-\sin{(\alpha)};\ \ \cos\left(\pi-\alpha\right)}=-\cos{(\alpha)}

\sin{\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)}=-\cos{(\alpha)};\ \ \cos\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)}=-\sin{(\alpha)}

\sin{\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)}=-\cos{(\alpha)};\ \ \cos\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)}=\sin{(\alpha)}

\sin{(-\alpha)}=-\sin{(\alpha)};\ \ \cos(-\alpha)}=\cos{(\alpha)}

 

 


 

 

Formule di sommazione degli angoli per seno, coseno, tangente

 

Le formule di sommazione per archi permettono di riscrivere le funzioni goniometriche applicate alla somma di due angoli (o alla differenza) disaccoppiando gli angoli.

 

\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{(\alpha)}\cos{(\beta)}+\cos{(\alpha)}\sin{(\beta)}
\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{(\alpha)}\cos{(\beta)}-\cos{(\alpha)}\sin{(\beta)}
\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{(\alpha)}\cos{(\beta)}-\sin{(\alpha)}\sin{(\beta)}
\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{(\alpha)}\cos{(\beta)}+\sin{(\alpha)}\sin{(\beta)}

\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\tan{(\alpha)}+\tan{(\beta)}}{1-\tan{(\alpha)}\tan{(\beta)}}

 

\mbox{dove }\ \alpha, \ \beta, \ \alpha + \beta\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\mbox{, }\ k\in\mathbb{Z}

\tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{(\alpha)}-\tan{(\beta)}}{1+\tan{(\alpha)}\tan{(\beta)}}

 

\mbox{dove }\ \alpha, \ \beta, \ \alpha - \beta \neq\frac{\pi}{2}+k\pi\mbox{, }\ k\in\mathbb{Z}

 

 


 

 

Formule di duplicazione

 

Le formule di duplicazione permettono di esprimere in modo alternativo una funzione trigonometrica applicata al doppio di un angolo.

 

\sin{(2\alpha)}=2\sin{(\alpha)}\cos{(\alpha)}
\cos{(2\alpha)}=\cos^2{(\alpha)}-\sin^2{(\alpha)}

\tan{(2\alpha)}=\frac{2\tan{(\alpha)}}{1-\tan^2{(\alpha)}}

 

\mbox{dove }\ \alpha\neq\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\ \wedge\ \alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\mbox{, }\ k\in\mathbb{Z}

 

 


 

 

Formule parametriche per funzioni trigonometriche

 

Le formule parametriche sono essenziali nella risoluzione delle equazioni goniometriche e disequazioni trigonometriche, come pure in esercizi ben più avanzati (come ad esempio gli integrali di funzioni trigonometriche).

 

\sin{(\alpha)}=\frac{2t}{1+t^2}

 

\mbox{dove }\ t=\tan{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\mbox{ e }\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi

\cos{(\alpha)}=\frac{1-t^2}{1+t^2}

 

\mbox{dove }\ t=\tan{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\mbox{ e }\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi
\tan{(\alpha)}=\frac{2t}{1-t^2}

 

\mbox{dove }\ t=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\mbox{ e }\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\ \wedge\ \alpha\neq\pi+2k\pi

 

 


 

 

Formule di bisezione

 

Le formule di bisezione sono uguaglianze tramite le quali possiamo riscrivere le funzioni trigonometriche applicate alla metà di un angolo.

 

\sin{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{(\alpha)}}{2}}
\cos{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
 =\pm\sqrt{\frac{1+\cos{(\alpha)}}{2}}

\tan{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
 =\pm\sqrt{\frac{1-\cos{(\alpha)}}{1+\cos{(\alpha)}}}

 

\mbox{dove }\ \alpha \neq \pi+2k\pi,\ \ k \in \mathbb{Z}

 

 


 

 

Formule di Werner

 

Le formule di Werner costituiscono una sorta di rappresentazione inversa delle formule di sommazione e sottrazione degli angoli per i possibili prodotti tra seno e coseno di due angoli distinti.

 

\sin{(\alpha)}\sin{(\beta)}=\frac{1}{2}[\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}]

\cos{(\alpha)}\cos{(\beta)}=\frac{1}{2}[\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\alpha+\beta)}]
\sin{(\alpha)}\cos{(\beta)}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha-\beta)}+\sin{(\alpha+\beta)}]

 

 


 

 

Formule di Prostaferesi

 

Le formule di Prostaferesi servono a riscrivere le somme e le differenze tra seno e coseno applicati a due angoli come prodotti di seno e coseno.

 

\sin{(p)}+\sin{(q)}=2\sin{\left(\frac{p+q}{2}\right)}\cos{\left(\frac{p-q}{2}\right)}

 

\sin{(p)}-\sin{(q)}=2\cos{\left(\frac{p+q}{2}\right)}\sin{\left(\frac{p-q}{2}\right)}

 

\cos{(p)}+\cos{(q)}=2\cos{\left(\frac{p+q}{2}\right)}\cos{\left(\frac{p-q}{2}\right)}

 

\cos{(p)}-\cos{(q)}=-2\sin{\left(\frac{p+q}{2}\right)}\sin{\left(\frac{p-q}{2}\right)}

 

 

Nelle successive lezioni trovi anche le formule trigonometriche per i triangoliWink

 

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati............Lezione successiva


Tags: formule trigonometriche: identità fondamentale della trigonometria, formule di bisezione e formule di duplicazione, formule di Prostaferesi e formule di Werner, formule di sommazione per angoli e formule parametriche per le funzioni goniometriche.

 

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