Angoli associati

Ciao, cerchi le formule sugli angoli associati per le funzioni trigonometriche? Sei nel posto giusto! Qui di seguito trovi le formule relative agli archi associati per seno e coseno.

 

Per la tangente e per le altre funzioni goniometriche è inutile impararle a memoria; è infatti sufficiente ricordare le definizioni.

 

\tan(a)=\frac{\sin(a)}{\cos(a)}\mbox{; }\ \cot(a)=\frac{\cos(a)}{\sin(a)}\mbox{; }\ \sec(a)=\frac{1}{\cos(a)}\mbox{; }\ \csc(a) =\frac{1}{\sin(a)}

 

Dopo aver visto le formule sugli angoli associati per seno e coseno vi faremo vedere come ricavare le formule sugli angoli associati per tutte le funzioni goniometriche per poi mostrarvi un trucchetto utile a ricordare tutte le formule goniometriche sugli angoli associati.

 

Se vuoi leggere la lezione che tratta tutte le formule nel dettaglio → Archi associati.

 

Formule trigonometriche per gli angoli associati

 

Dato un angolo \alpha gli angoli ad esso associati sono:

 

\frac{\pi}{2}-\alpha, \ \ \ \frac{\pi}{2}+\alpha, \ \ \ \pi-\alpha, \  \ \ \pi+\alpha, \ \ \ \frac{3}{2}\pi - \alpha,  \ \ \ \frac{3}{2}\pi + \alpha, \ \ \ 2\pi -\alpha = -\alpha, \ \ \ 2\pi + \alpha= \alpha

 

I quali, come potete vedere, si ottengono addizionando e sottraendo all'angolo α i valori notevoli della circonferenza goniometrica.

 

 

Valore degli angoli associati per seno e coseno

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{\pi}{2}-\alpha : \ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos(\alpha); \ \ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{\pi}{2}+\alpha : \ \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos(\alpha); \ \ \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \pi -\alpha : \ \sin\left(\pi-\alpha\right)=\sin(\alpha); \ \ \cos\left(\pi-\alpha\right)=-\cos(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \pi + \alpha : \ \sin\left(\pi+\alpha\right)=-\sin(\alpha); \ \ \cos\left(\pi+\alpha\right)=-\cos(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{3}{2}\pi -\alpha : \ \sin\left(\frac{3}{2}\pi -\alpha\right)=-\cos(\alpha); \ \ \cos\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)=-\sin(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{3}{2}\pi+\alpha : \ \sin\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)=-\cos(\alpha); \ \ \cos\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)=\sin(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ -\alpha : \ \sin\left(-\alpha\right)=-\sin(\alpha); \ \ \cos\left(-\alpha\right)=\cos(\alpha)

 

 

Valore degli angoli associati per tangente e cotangente

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{\pi}{2}-\alpha:

 

\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=\cot(\alpha);

 

\cot\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\tan(\alpha).

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{\pi}{2}+\alpha :

 

\tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)}=-\cot(\alpha);

 

\cot\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{-\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=-\tan(\alpha).

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \pi -\alpha:

 

\tan\left(\pi-\alpha\right)=\frac{\sin\left(\pi-\alpha\right)}{\cos\left(\pi-\alpha\right)}=\frac{\sin(\alpha)}{-\cos(\alpha)}=-\tan(\alpha);

 

\cot\left(\pi-\alpha\right)=\frac{\cos\left(\pi-\alpha\right)}{\sin\left(\pi-\alpha\right)}=\frac{-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=-\cot(\alpha).

 

Penso sia inutile proseguire. Dovreste ormai aver capito che, tramite i valori di seno e coseno potete risalire a quelli di tangente e cotangente. Ad ogni modo, per i più pigri, riportiamo i soli risultati.

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \pi +\alpha: \ \tan\left(\pi+\alpha\right)=\tan(\alpha); \ \ \cot\left(\pi+\alpha\right)=\cot(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{3}{2}\pi -\alpha : \ \tan\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)=\cot(\alpha); \ \ \cot\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)=\tan(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{3}{2}\pi + \alpha : \ \tan\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)=-\cot(\alpha); \ \ \cot\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)=-\tan(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ -\alpha : \ \tan\left(-\alpha\right)=-\tan(\alpha); \ \ \cot\left(-\alpha\right)=-\cot(\alpha)

 

 

Valori degli archi associati per secante e cosecante

 

Come fatto per tangente e cotangente ricaviamo il valore degli angoli associati per secante e cosecante partendo dai valori di seno e coseno. Facciamo vedere il procedimento solo per alcuni valori riportando il solo risultato per gli altri.

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{\pi}{2}-\alpha:

 

\sec\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\frac{1}{\sin(\alpha)}=\csc(\alpha);

 

\csc\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\frac{1}{\cos(\alpha)}=\sec(\alpha).

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{\pi}{2}+\alpha :

 

\sec\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{1}{-\sin(\alpha)}=-\csc(\alpha);

 

\csc\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{1}{\cos(\alpha)}=\sec(\alpha).

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \pi -\alpha:

 

\sec\left(\pi-\alpha\right)=\frac{1}{\cos\left(\pi-\alpha\right)}=\frac{1}{-\cos(\alpha)}=-\sec(\alpha);

 

\csc\left(\pi-\alpha\right)=\frac{1}{\sin\left(\pi-\alpha\right)}=\frac{1}{\sin(\alpha)}=\csc(\alpha).

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \pi +\alpha: \ \sec\left(\pi+\alpha\right)=-\sec(\alpha); \ \ \csc\left(\pi+\alpha\right)=-\csc(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{3}{2}\pi -\alpha : \ \sec\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)=-\csc(\alpha);\ \  \csc\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)=-\sec(\alpha);

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{3}{2}\pi + \alpha : \ \sec\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)=\csc(\alpha); \ \ \csc\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)=-\sec(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ -\alpha : \ \sec\left(-\alpha\right)=\sec(\alpha); \ \ \csc\left(-\alpha\right)=-\csc(\alpha)

 

Come ricordare le formule sugli angoli associati

 

In realtà c'è un piccolo stratagemma che permette di ricordare le formule sugli angoli associati delle funzioni goniometriche.

 

Abbiamo visto che gli angoli associati, esprimendone le ampiezze in radianti, sono

 

\frac{\pi}{2}-\alpha, \ \ \ \frac{\pi}{2}+\alpha, \ \ \ \pi-\alpha, \  \ \ \pi+\alpha, \ \ \ \frac{3}{2}\pi - \alpha,  \ \ \ \frac{3}{2}\pi + \alpha, \ \ \ 2\pi -\alpha = -\alpha, \ \ \ 2\pi + \alpha= \alpha

 

Come possiamo osservare alcuni di essi sono definiti da una frazione, \frac{\pi}{2} \ \mbox{e} \ \frac{3}{2}\pi, mentre gli altri sono definiti da un multiplo intero \pi \ \mbox{e} \ 2\pi.

 

Ora la regoletta mnemonica prevede che per gli angoli associati in cui compare \frac{\pi}{2} \ \mbox{o} \ \frac{3}{2}\pi, la funzione si trasforma, in caso contrario resta la stessa. In parole povere il seno diventa coseno, la tangente si trasforma in cotangente, la secante diviene cosecante e, viceversa, il coseno diventa seno, la cotangente diviene tangente e la cosecante si trasforma in secante.

 

Se invece nell'arco associato compare \pi \ \mbox{o} \ 2\pi la funzione rimane la stessa.

 

Per quanto riguarda il segno basta ricordare il segno delle funzioni nei vari quadranti i quali si possono ricavare, tramite la circonferenza goniometrica, dal segno di seno e coseno:

 

 

Segno di seno e coseno nei vari quadranti

 

 

Ad esempio, sfruttando questa regoletta, ricaviamo il valore del

 

\sin\left(\frac{3}{2}\pi + \alpha\right) 

 

Poiché compare il \frac{3}{2}\pi la funzione seno si trasforma nella funzione coseno. Inoltre, essendo α un angolo del primo quadrante, \frac{3}{2}\pi+\alpha vive nel quarto quadrante, dove la funzione seno è negativa. Per questo motivo

 

\sin\left(\frac{3}{2}\pi + \alpha\right)={\color{red}-}\cos(\alpha)

 

Allo stesso modo, ad esempio

 

\tan(\pi-\alpha)=-\tan(\alpha)

 

dove dato che compare \pi la funzione rimane inalterata e, poiché siamo nel secondo quadrante in cui il seno è positivo ed il coseno è negativo, la tangente è negativa.

 

Ancora

 

\csc(\pi+\alpha)=-\csc(\alpha)

 

In tal caso abbiamo un \pi, per cui la funzione rimane inalterata. Con \pi +\alpha siamo inoltre nel terzo quadrante in cui il seno è negativo e dunque anche la cosecante sarà negativa.

 

Facile, vero? Wink

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati..........Lezione successiva


Tags: formule sugli angoli associati - come ricordare le formule per gli angoli associati.

 

pbtr