Angoli associati

Gli angoli associati non sono altro che gli archi associati: essi si riferiscono alle formule che permettono di esprimere le funzioni goniometriche riducendole agli angoli del primo quadrante

 

Nella precedente lezione dedicata agli archi associati abbiamo introdotto alcune formule e ne abbiamo dimostrato la validità con semplici osservazioni di natura geometrica. Abbiamo quindi ricavato una serie di formule per seno e coseno di angoli esprimibili come somma mediante gli angoli notevoli.

 

Ora riprendiamo l'argomento da un punto di vista più pratico: ci preme capire qual è l'utilità delle formule degli angoli associati (sinonimo di archi associati) ed estenderle alle funzioni goniometriche derivate, ossia a tangente e cotangente e a secante e cosecante.

 

Formule degli angoli associati

 

Innanzitutto richiamiamo tutte le formule che abbiamo dimostrato nel precedente formulario. Ve le ricordate? Si riferivano esclusivamente al seno e al coseno di archi associati.

 

Dato un angolo \alpha, gli angoli associati ad esso ed espressi in radianti sono:

 

\\ \frac{\pi}{2}-\alpha, \ \ \ \frac{\pi}{2}+\alpha, \ \ \ \pi-\alpha, \  \ \ \pi+\alpha\\ \\ \frac{3}{2}\pi - \alpha,  \ \ \ \frac{3}{2}\pi + \alpha, \ \ \ 2\pi -\alpha = -\alpha, \ \ \ 2\pi + \alpha= \alpha

 

e, come potete vedere, si ottengono addizionando e sottraendo all'angolo \alpha gli angoli notevoli della circonferenza goniometrica.

 

Se vogliamo esprimerli gli angoli associati in gradi:

 

\\ 90^\circ-\alpha,\ \ \ 90^\circ+\alpha,\ \ \ 180^\circ-\alpha,\ \ \ 180^\circ+\alpha\\ \\ 270^\circ-\alpha,\ \ \ 270^\circ+\alpha,\ \ \ 360^\circ-\alpha=-\alpha,\ \ \ 360^\circ+\alpha=\alpha

 

Valore degli angoli associati per seno e coseno

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{\pi}{2}-\alpha : \ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos(\alpha); \ \ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{\pi}{2}+\alpha : \ \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos(\alpha); \ \ \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \pi -\alpha : \ \sin\left(\pi-\alpha\right)=\sin(\alpha); \ \ \cos\left(\pi-\alpha\right)=-\cos(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \pi + \alpha : \ \sin\left(\pi+\alpha\right)=-\sin(\alpha); \ \ \cos\left(\pi+\alpha\right)=-\cos(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{3}{2}\pi -\alpha : \ \sin\left(\frac{3}{2}\pi -\alpha\right)=-\cos(\alpha); \ \ \cos\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)=-\sin(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{3}{2}\pi+\alpha : \ \sin\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)=-\cos(\alpha); \ \ \cos\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)=\sin(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ -\alpha : \ \sin\left(-\alpha\right)=-\sin(\alpha); \ \ \cos\left(-\alpha\right)=\cos(\alpha)

 

Valore degli angoli associati per tangente e cotangente

 

Elenchiamo le formule degli angoli associati per tangente e cotangente. Attenzione: non è necessario impararle a memoria, infatti è sufficiente ricordare le definizioni.

 

\tan(a)=\frac{\sin(a)}{\cos(a)}\ \ \ ;\ \ \ \cot(a)=\frac{\cos(a)}{\sin(a)}

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{\pi}{2}-\alpha:

 

\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=\cot(\alpha);

 

\cot\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\tan(\alpha).

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{\pi}{2}+\alpha :

 

\tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)}=-\cot(\alpha);

 

\cot\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{-\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=-\tan(\alpha).

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \pi -\alpha:

 

\tan\left(\pi-\alpha\right)=\frac{\sin\left(\pi-\alpha\right)}{\cos\left(\pi-\alpha\right)}=\frac{\sin(\alpha)}{-\cos(\alpha)}=-\tan(\alpha);

 

\cot\left(\pi-\alpha\right)=\frac{\cos\left(\pi-\alpha\right)}{\sin\left(\pi-\alpha\right)}=\frac{-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=-\cot(\alpha).

 

A questo punto dovrebbe essere chiaro che, tramite i valori di seno e coseno, potete risalire a quelli di tangente e cotangente.

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \pi +\alpha: \ \tan\left(\pi+\alpha\right)=\tan(\alpha); \ \ \cot\left(\pi+\alpha\right)=\cot(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{3}{2}\pi -\alpha : \ \tan\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)=\cot(\alpha); \ \ \cot\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)=\tan(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{3}{2}\pi + \alpha : \ \tan\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)=-\cot(\alpha); \ \ \cot\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)=-\tan(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ -\alpha : \ \tan\left(-\alpha\right)=-\tan(\alpha); \ \ \cot\left(-\alpha\right)=-\cot(\alpha)

 

Valori degli archi associati per secante e cosecante

 

In modo analogo rispetto al caso di tangente e cotangente ricaviamo il valore degli angoli associati per secante e cosecante partendo dai valori di seno e coseno. Per farlo è sufficiente ricordare le definizioni:

 

\sec(a)=\frac{1}{\cos(a)}\ \ \ ;\ \ \ \csc(a) =\frac{1}{\sin(a)}

 

Esplicitiamo il procedimento solo per alcuni valori e riportiamo solamente il risultato per gli altri.

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{\pi}{2}-\alpha:

 

\sec\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\frac{1}{\sin(\alpha)}=\csc(\alpha);

 

\csc\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\frac{1}{\cos(\alpha)}=\sec(\alpha).

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{\pi}{2}+\alpha :

 

\sec\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{1}{-\sin(\alpha)}=-\csc(\alpha);

 

\csc\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{1}{\cos(\alpha)}=\sec(\alpha).

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \pi -\alpha:

 

\sec\left(\pi-\alpha\right)=\frac{1}{\cos\left(\pi-\alpha\right)}=\frac{1}{-\cos(\alpha)}=-\sec(\alpha);

 

\csc\left(\pi-\alpha\right)=\frac{1}{\sin\left(\pi-\alpha\right)}=\frac{1}{\sin(\alpha)}=\csc(\alpha).

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \pi +\alpha: \ \sec\left(\pi+\alpha\right)=-\sec(\alpha); \ \ \csc\left(\pi+\alpha\right)=-\csc(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{3}{2}\pi -\alpha : \ \sec\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)=-\csc(\alpha);\ \  \csc\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)=-\sec(\alpha);

 

\bullet \ \mbox{Per} \ \frac{3}{2}\pi + \alpha : \ \sec\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)=\csc(\alpha); \ \ \csc\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)=-\sec(\alpha)

 

\bullet \ \mbox{Per} \ -\alpha : \ \sec\left(-\alpha\right)=\sec(\alpha); \ \ \csc\left(-\alpha\right)=-\csc(\alpha)

 

Utilità degli angoli associati

 

Le formule per gli angoli associati sono estremamente utili perché ci permettono di ricondurre parecchi angoli al primo quadrante, evitandoci quindi di dover ricordare tutti i principali valori delle funzioni goniometriche.

 

Pensateci per un istante: se ci ricordiamo i valori di seno e coseno per angoli di 30°, 45° e 60° allora saremo in grado di ricavarne tutti i valori per gli angoli di ampiezze pari a 120°, 135°, 150°, 210°, 225°, 240°, 300°, 315°, 330°. Inoltre, ricordando le definizioni delle funzioni goniometriche non elementari, saremo nella condizione di calcolare una moltitudine di valori senza alcuno sforzo mnemonico. :)

 

Esempio di applicazione delle formule per gli angoli associati

 

Determinare il valore della cosecante di 300°.

 

Svolgimento: in primo luogo osserviamo che, per definizione

 

\csc(300^\circ)=\frac{1}{\sin(300^\circ)}

 

Esprimiamo 300° come angolo associato e passiamo ai radianti

 

\sin(300^\circ)=\sin(360^\circ-60^\circ)=\sin(-60^\circ)\overbrace{=}^{\mbox{A.A.}}-\sin(60^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

 

da cui otteniamo

 

\csc(300^\circ)=\frac{1}{\sin(300^\circ)}=\frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{2}{\sqrt{3}}

 

dove nell'ultimo passaggio abbiamo applicato la regola per la frazione di una frazione.

 

Come ricordare le formule sugli angoli associati

 

C'è un piccolo stratagemma che permette di ricordare le formule sugli angoli associati delle funzioni goniometriche. Abbiamo visto che gli angoli associati, espressi in radianti, sono:

 

\frac{\pi}{2}-\alpha, \ \ \ \frac{\pi}{2}+\alpha, \ \ \ \pi-\alpha, \  \ \ \pi+\alpha, \ \ \ \frac{3}{2}\pi - \alpha,  \ \ \ \frac{3}{2}\pi + \alpha, \ \ \ 2\pi -\alpha = -\alpha, \ \ \ 2\pi + \alpha= \alpha

 

Come possiamo osservare alcuni di essi sono definiti mediante una frazione, \frac{\pi}{2} \ \mbox{e} \ \frac{3}{2}\pi, mentre gli altri sono definiti da un multiplo intero \pi \ \mbox{e} \ 2\pi.

 

Il trucco mnemonico prevede che per gli angoli associati in cui compare \frac{\pi}{2} \ \mbox{o} \ \frac{3}{2}\pi la funzione si trasformi. In termini espliciti il seno diventa coseno, la tangente si trasforma in cotangente, la secante diviene cosecante e, viceversa, il coseno diventa seno, la cotangente diviene tangente e la cosecante si trasforma in secante.

 

Se invece nell'arco associato compare \pi \ \mbox{o} \ 2\pi, allora la funzione rimane la stessa.

 

Per quanto riguarda il segno basta ricordare i segni delle funzioni goniometriche nei vari quadranti. Tali segni si possono ricavare, tramite la circonferenza goniometrica, dal segno di seno e coseno:

 

 

Segno di seno e coseno nei vari quadranti

 

 

Ad esempio, sfruttando questa regoletta, ricaviamo il valore del

 

\sin\left(\frac{3}{2}\pi + \alpha\right) 

 

Poiché compare il \frac{3}{2}\pi la funzione seno si trasforma nella funzione coseno. Inoltre, essendo \alpha un angolo del primo quadrante, \frac{3}{2}\pi+\alpha è situato nel quarto quadrante, dove la funzione seno è negativa. Per questi motivi

 

\sin\left(\frac{3}{2}\pi + \alpha\right)=-\cos(\alpha)

 

Allo stesso modo, ad esempio

 

\tan(\pi-\alpha)=-\tan(\alpha)

 

dove dato che compare \pi la funzione rimane inalterata e, poiché siamo nel secondo quadrante in cui il seno è positivo ed il coseno è negativo, la tangente è negativa.

 

Ancora

 

\csc(\pi+\alpha)=-\csc(\alpha)

 

In tal caso abbiamo un \pi, per cui la funzione rimane inalterata. Con \pi +\alpha siamo inoltre nel terzo quadrante in cui il seno è negativo, e dunque anche la cosecante sarà negativa.

 

 


 

 

Se volete consultare l'elenco completo con tutte le principali formule trigonomeriche vi rimandiamo al formulario del link. Se invece volete esercitarvi potete consultare la scheda correlata di esercizi sugli angoli associati e in caso di necessità potete aiutarvi con il tool risolvi espressioni, che vi permetterà di ricavare le espressioni delle funzioni goniometriche in corrispondenza degli angoli associati. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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