Valori delle funzioni goniometriche

Con l'espressione valori delle funzioni goniometriche si intendono valori che le funzioni trigonometriche elementari assumono in corrispondenza degli angoli notevoli. Tali valori si ricavano direttamente dalle definizioni e sono così ricorrenti da far sì che convenga ricordarli a memoria.

 

In questo formulario vi proponiamo la tabella dei valori delle funzioni trigonometriche, in modo che possiate usarla all'occorrenza nella risoluzione degli esercizi. Di più: oltre ai valori riferiti agli angoli notevoli 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360° abbiamo convenuto di riportare anche i valori per angoli non notevoli, ma tali da presentarsi più o meno sporadicamente negli esercizi di Trigonometria.

 

Vi anticipiamo che tutti i valori delle funzioni goniometriche per angoli non notevoli non vanno assolutamente ricordati a memoria. Qui li potete consultare all'occorrenza qualora vi capitassero nelle vostre esercitazioni, ma sappiate che nelle lezioni successive introdurremo diverse formule trigonometriche che potrete usare per ricavarli a partire dai valori per angoli notevoli.

 

Tabella dei valori delle funzioni goniometriche

 

La tabella che segue raccoglie tutti i valori delle funzioni goniometriche in corrispondenza degli angoli notevoli e dei più ricorrenti angoli non notevoli. I valori che riportiamo riguardano:

 

seno e coseno

 

tangente e cotangente.

 

Per la vostra comodità abbiamo espresso le ampiezze degli angoli sia in gradi che in radianti.

 

Importante: se dovete imparare a memoria i valori delle funzioni trigonometriche per gli angoli notevoli, vi suggeriamo di minimizzare gli sforzi. È sufficiente conoscere solo i valori assunti da seno e coseno, con i quali è possibile risalire ai valori assunti da tangente, cotangente, secante e cosecante.

 

È sufficiente ricordare le relative definizioni:

 

\\ \tan(a)=\frac{\sin(a)}{\cos(a)}\ \ \ ;\ \ \ \cot(a)=\frac{\cos(a)}{\sin(a)}\\ \\ \\  \sec(a)=\frac{1}{\cos(a)}\ \ \ ;\ \ \ \csc(a)=\frac{1}{\sin(a)}

 

 

Angolo in gradi

Angolo in radianti

Valore del seno

Valore del coseno

Valore della tangente

Valore della cotangente

0

0

1

0

\pm\infty

15°

\frac{\pi}{12}

\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

2-\sqrt{3}

2+\sqrt{3}

18°

\frac{\pi}{10}

\frac{\sqrt{5}-1}{4}

\sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}}

\sqrt{\frac{1}{5}(5-2\sqrt{5})}

\sqrt{5+2\sqrt{5}}

22°30' 

\frac{\pi}{8}

\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

\sqrt{2}-1

\sqrt{2}+1

30°

\frac{\pi}{6}

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{3}}{3}

\sqrt{3}

36°

\frac{\pi}{5}

\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}

\frac{\sqrt{5}+1}{4}

\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}

\sqrt{5-2\sqrt{5}}

45°

\frac{\pi}{4}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

1

1

54°

\frac{3}{10}\pi

\frac{\sqrt{5}+1}{4}

\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}

\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}

\sqrt{5-2\sqrt{5}}

60°

\frac{\pi}{3}

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{1}{2}

\sqrt{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

67°30' 

\frac{3}{8}\pi

\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

\sqrt{2}+1

\sqrt{2}-1

72°

\frac{2}{5}\pi

\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

\frac{\sqtr{6}-\sqrt{2}}{4}

2+\sqrt{3}

2-\sqrt{3}

90°

\frac{\pi}{2}

1

0

\pm \infty

0

105°

\frac{7}{12}\pi

\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}

-2-\sqrt{3}

\sqrt{3}-2

108°

\frac{3}{5}

\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

\frac{1-\sqrt{5}}{4}

-\sqrt{5+2\sqrt{5}}

-\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}

112°30'

\frac{5}{8}\pi

\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

-1-\sqrt{2}

1-\sqrt{2}

120°

\frac{2}{3}\pi

\frac{\sqrt{3}}{2}

-\frac{1}{2}

-\sqrt{3}

-\frac{\sqrt{3}}{3}

126°

\frac{7}{10}\pi

\frac{\sqrt{5}+1}{4}

-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}

-\sqrt{5-2\sqrt{5}}

-\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}

135°

\frac{3}{4}\pi

\frac{\sqrt{2}}{2}

-\frac{\sqrt{2}}{2}

-1

-1

 144°

 

\frac{4}{5}\pi 

 

\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} 

-\frac{\sqrt{5}+1}{4} 

 -\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}

 -\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}

 150°

 

 \frac{5}{6}\pi

 

\frac{1}{2}

-\frac{\sqrt{3}}{2}

-\frac{\sqrt{3}}{3} 

 -\sqrt{3}

157°30'

\frac{7}{8}\pi

\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

1-\sqrt{2}

-\sqrt{2}-1 

162°

\frac{9}{10}\pi

\frac{\sqrt{5}-1}{4}

-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

-\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}

-\sqrt{5+2\sqrt{5}} 

165°

\frac{11}{12}\pi

\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{4}

-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

\sqrt{3}-2

-\sqrt{3}-2 

180°

\pi

0

-1

0

\pm\infty 

195°

\frac{13}{12}\pi

\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}

-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

2-\sqrt{3}

2+\sqrt{3} 

198°

\frac{11}{10}\pi

\frac{1-\sqrt{5}}{4}

-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}

\sqrt{5+2\sqrt{5}} 

202°30'

\frac{9}{8}\pi

\frac{1-\sqrt{5}}{4}

-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

\sqrt{2}-1

\sqrt{2}+1 

210°

\frac{7}{6}\pi

-\frac{1}{2}

-\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{3}}{3}

\sqrt{3} 

216°

\frac{6}{5}\pi

-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}

-\frac{\sqrt{5}+1}{4}

\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}

\sqrt{5-2\sqrt{5}} 

225°

\frac{5}{4}\pi

-\frac{\sqrt{2}}{2}

-\frac{\sqrt{2}}{2}

1

1

234°

\frac{13}{10}\pi

-\frac{\sqrt{5}+1}{4}

-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}

\sqrt{5-2\sqrt{5}}

\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5} 

240°

\frac{4}{3}\pi

-\frac{\sqrt{3}}{2}

-\frac{1}{2}

\sqrt{3}

\frac{\sqrt{3}}{3} 

247°30'

\frac{11}{8}\pi

-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

\sqrt{2}+1

\sqrt{2}-1 

252°

\frac{7}{5}\pi

-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

\frac{1-\sqrt{5}}{4}

\sqrt{5+2\sqrt{5}}

\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5} 

255°

\frac{17}{12}\pi

-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}

2+\sqrt{3}

2-\sqrt{3} 

270°

\frac{3}{2}\pi

-1

0

\pm \infty

285°

\frac{19}{12}\pi

-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

-2-\sqrt{3}

\sqrt{3}-2 

288°

\frac{8}{5}\pi

\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

\frac{\sqrt{5}-1}{4}

-\sqrt{5+2\sqrt{5}}

-\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5} 

292°30'

\frac{13}{8}\pi

-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

-1-\sqrt{2}

1-\sqrt{2} 

300°

\frac{5}{3}\pi

-\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{1}{2}

-\sqrt{3}

-\frac{\sqrt{3}}{3} 

306°

\frac{17}{10}\pi

-\frac{\sqrt{5}+1}{4}

\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}

-\sqrt{5-2\sqrt{5}}

-\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5} 

 315°

\frac{7}{4}\pi

-\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

-1

-1

 324°

\frac{9}{5}\pi

-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}

\frac{\sqrt{5}+1}{4}

-\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}

-\sqrt{5-2\sqrt{5}} 

330°

\frac{11}{6}\pi

-\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

-\frac{\sqrt{3}}{3}

-\sqrt{3} 

337°30' 

\frac{15}{8}\pi

-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

1-\sqrt{2}

-1-\sqrt{2} 

342°

\frac{19}{10}\pi

\frac{1-\sqrt{5}}{4}

\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

-\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}

-\sqrt{5+2\sqrt{5}} 

345°

\frac{23}{12}\pi

\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}

\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}

\sqrt{3}-2

-2-\sqrt{3} 

360°

2\pi

0

1

0

\pm\infty 

 

 


 

Chi è in fase di ripasso può cimentarsi sin da subito con la scheda correlata di esercizi sulle espressioni goniometriche, oppure proseguire con la lettura delle lezioni. A voi la scelta. :)

 

In caso di necessità servitevi pure della calcolatrice online: essa consente di calcolare le funzioni trigonometriche in qualsiasi angolo e fornisce il risultato esatto (ed eventualmente approssimato) in un semplice click. Per tutto il resto ricordate che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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Tags: tabella con i principali valori delle funzioni trigonometriche, cioè i valori che le funzioni goniometriche assumono in corrispondenza degli angoli notevoli.

 

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